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Revista Científica Ciencias Ingenieriles (2024)
Vol. 4, Núm. 2, pp. 14 – 29
https://doi.org/10.54943/ricci.v4i2.511
ISSN: 2961-2357(En línea)
ISSN: 2961-2446(Impreso)
ARTÍCULO ORIGINAL
Método de rigidez directa aplicado a pórticos con sección variable
Direct rigidity method applied to frames with variable section
• Marcos Rupay 1 • Regner Parra 2 • Thalia Ortiz 3 • Jordy De la O 4 • Juan Francisco 5
1 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: mrupay@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7891-1838
2 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: Rparra@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3564-4637
3 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico:77491698@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0008-0783-6421
4 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico:74414664@unsicjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0001-0646-9112
5 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 72203159@unsicjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0002-9446-1424
Recibido: 20 junio del 2024 / Revisado: 10 de julio del 2024 / Aprobado: 28 de julio del 2024 / Publicado: 29 de agosto del 2024
RESUMEN
El propósito de este artículo de investigación tiene como objetivo “Demostrar la efectividad del método de rigidez
directa aplicado en secciones variables”, usando como material de ayuda para la verificación al análisis de la sección
variable el software SAP2000, el ámbito de nuestro producto es descriptivo y comparativo ya que demuestra el
método de rigidez directa en secciones variables siendo analizadas y comprobadas por un software. La metodología
empleada es descriptiva; el desarrollo interno se plasmó un pórtico con sección variable desarrollado manualmente
derivando a ello a un sistema Q-D, dados los parámetros del método dado por el por el método de rigidez directa,
debido a que se debe conocer la precisión de los cálculos analíticos que incluyen: el sistema principal, los factores
de transporte y luego la matriz del sistema, dando como resultado los vectores de carga, fuerzas internas, su flexión,
diagramas de momento y los diagramas de fuerza cortante. La discusión respecta; dado que a menudo se examina
los resultados en los diagramas de fuerza cortante y momento flector generalmente se determinan en decimales
cuando se analiza mediante el análisis por el método directo de rigidez manual, es necesario verificar la exactitud
de estas soluciones para poder realizar cálculos más precisos.
Palabras clave: Vector de deformación, sección variable, factores de transporte, método de rigidez directa.
ABSTRACT
The purpose of this research article is to “Demonstrate the effectiveness of the direct stiffness method applied in
variable sections”, using the SAP2000 software as aid material for the verification of the analysis of the variable
section. The scope of our product is descriptive. and comparative since it demonstrates the direct stiffness method
in variable sections being analyzed and verified by software. The methodology used is descriptive; The internal
development was a frame with a variable section developed manually, resulting in a Q-D system, given the
parameters of the method given by the direct rigidity method, because the precision of the analytical calculations
must be known, which include: the main system, the transport factors and then the system matrix, resulting in the
load vectors, internal forces, their bending, moment diagrams and the shear force diagrams. The discussion concerns;
Since results in shear force and bending moment diagrams are often determined in decimals when analyzed by direct
manual stiffness method analysis, it is necessary to verify the accuracy of these solutions in order to perform more
precise calculations.
Keywords: Strain vector, variable section, transport factors and direct stiffness method.
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1. INTRODUCCIÓN
En este reciente manuscrito se acrecentará el
método de rigidez directo que es consecuente
preciso y eficiente para determinar una estructura
de barras bajo un modelo matemático nombrado
matriz de rigidez. A medida que cambia la
sección variable, también cambia la rigidez, lo
que dificulta el análisis tradicional en pórticos
con sección variable generando ecuaciones
diferenciales parcialmente muy complejas
(Carrillo, 2018).
Resolver este problema es de gran importancia en
ingeniería civil, donde el caso de vigas con
secciones transversales variables es común en
muchas aplicaciones, como puentes en arco,
elementos estructurales compuestos y estructuras
con formas complejas. Es importante
comprender y calcular la rigidez de estas vigas ya
que es fundamental para garantizar la seguridad,
estabilidad y eficiencia de la estructura.
En el marco teórico el método de rigidez directo
según (Carrillo, 2018), consiste en delimitar a la
estructura, estos que se relacionan los
desplazamientos nodales con fuerzas exteriores
el cual los componentes de esta matriz relacionan
las fuerzas nodales equivalentes y
desplazamiento sobre los nodos; utilizado en este
trabajo se basa en la teoría de vigas y pórticos con
sección variable y el método de elementos
finitos, proporciona un potente marco para el
análisis estructural y el modelado. (Lizarza,
2011) el método de los elementos finitos permite
la discretización de elementos más pequeños, que
a su vez permiten considerar cambios
transversales en toda su longitud. Lo
fundamental hipotético y estipulación anterior de
este argumento se fundamentan en la explicación
entre la rigidez y su suficiencia para tolerar la
deformidad bajo cargas externas.
También destacan la relevancia de la matriz de
rigidez al mencionar que "En el análisis de
estructuras mediante el método de los elementos
finitos, la precisión de la matriz de rigidez
determina la exactitud de las predicciones de
desplazamientos y fuerzas internas" (O.C.
Zienkiewicz, 2005). Esta precisión es crucial
para asegurar que el diseño de una estructura sea
seguro y eficiente. En el desarrollo la sección
variable cualquier elemento de sección variable
debe definir la variación de las propiedades
geométricas de su sección a lo largo del eje
longitudinal de su centro de masas, y este eje
debe ser continuo. Se ha demostrado que las
vigas arqueadas pueden desarrollar ejes
centroides discontinuos, lo que resulta en el
acoplamiento de fuerzas axiales, de flexión y de
corte, los elementos de sección variable pueden
dar mejores resultados en vigas y en columnas
(COLUNGA, 2O21). este elemento se encuentra
sujeto una rotación unitaria mientras que el otro
extremo opuesto esta empotrado, el momento es
capaz de generar una rotación unitaria
correspondiente a la rigidez al giro en aquel
extremo, mientras el momento que hay en el
empotrado es proporcional al momento existente
en el extremo que, rota, en una cantidad
denominada factor de transporte. (PUCP).
Esta metodología se originó a finales del siglo
XX como una técnica efectiva y precisa de
analizar datos estructurales complejo como una
medida eficaz y precisa. Por otra parte, se ha
tenido como antecedentes Dado que existen
registros previos, como En el diseño de
rascacielos, la Torre Willis en Chicago, el
método de rigidez se utilizó para analizar la
estructura del edificio bajo cargas de viento y
sísmicas. Este enfoque permitió optimizar el uso
de materiales y asegurar la estabilidad del
edificio ( Kumar Ghosh & Anthony Fanella,
2003).
En síntesis, la aclaración expuesta en este trabajo
se escuadra en el análisis mediante el método de
rigidez con sección variable y su constatación
con el programa SAP2000, para mejorar la
comprensión, evaluación y precisión de las
secciones variables. como objetivo Demostrar la
efectividad el método de rigidez directa aplicado
en secciones variables.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
2.1. Método directo de la rigidez
Según (Rupay Vargas, 2024), el método de
rigidez directa tiene como objetivo
proporcionar un conjunto de ecuaciones que
permitan comprender las cargas nodales
para un sistema Q-D determinado. Estas
cargas nodales pueden entonces expresarse
como combinaciones lineales de los
desplazamientos, y su valor exacto depende
en parte de los grados de libertad
alcanzados. Además, dice que los
desplazamientos nodales y las
deformaciones del extremo de la barra que
resultan en el nudo garantizan la
compatibilidad con este enfoque. La
Superposición de Desplazamientos, en la
que las incógnitas representan los grados de
libertad, es la base de esta metodología.
También es necesario considerar el
equilibrio dentro del nodo evaluado.
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2.2. Estructuras simétricas con cargas antisimétricas
Según (Kassimali, 2014), Cuando una
estructura simétrica está sujeta a una carga
que es asimétrica con respecto al eje de
simetría de la estructura, la respuesta de la
estructura también es asimétrica, con los
puntos de la estructura en el eje de simetría
sin desviaciones en la dirección del eje de
simetría, por lo tanto, para determinar la
respuesta de la estructura completa,
necesitamos analizar solo la mitad de la
estructura, de un lado del eje de simetría con
las condiciones asimétricas de frontera (es
decir, las deflexiones en la dirección del eje
de simetría deben ser cero) en el eje. La
respuesta de la mitad restante está dada por
el negativo de la deflexión de la respuesta de
la mitad de la estructura analizada.
Figura 1
Estructura Simétrica sujeta a cargas antisimétricas
Nota: Análisis Estructural 5° según Kassimali, 2014
2.3. Barras de sección variable
En el libro de (Ottazzi Pasino, 2014), aclara
que el cálculo de los coeficientes de rigidez
de barras de sección variable es un tanto
más tedioso desde el punto de vista
numérico.
Figura 2
Barras de sección variable
Nota: Analisis estructural de Ottazzi Pasino, 2014
Según (Ottazzi Pasino, 2014), en algunos
casos es posible “ampliar el sistema de
coordenadas para lograr un ensamblaje de
barras de sección constante, pero esto
conllevaría a tener un mayor número de
GDL y no siempre es posible o conveniente
ampliar el sistema de coordenadas para los
elementos de sección variable, tales casos
como:
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Figura 3
Pórticos metálicos de alma llena con barras de sección variable
Nota: Analisis estructural de Ottazzi Pasino, 2014
2.4. Factores de transporte
Los factores de transporte son formulas aplicables para pasar de un sistema de deformación a otro, se tienen
los siguientes casos:
Figura 4
Factor de transporte caso 1
Figura 5
Factor de transporte caso 2
Figura 6
Factor de transporte caso 3
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Figura 7
Factor de transporte caso 4
Figura 8
MEP - Factor de transporte
Figura 9
Rigidez de barra – un tramo con sección variable
19 | P á g i n a
Tabla 1
Coeficiente de rigidez aplicado al pórtico planteado
2.5. Pórtico con sección variable sometido a
cargas de viento
El cálculo manual es el primer paso a
realizar, se analizará toda la estructura
utilizando el método de rigidez directa,
considerando en los elementos estructurales
solo deformación por flexión.
El pórtico será susceptible a cargas de viento
y tendrá las siguientes características en
conexión con la estructura: un pórtico de
dimensiones variables (C inicial = 40*40
cm, C final = 40*80 cm, V inicial = 40*80 y
V final = 40*50). A lo largo del marco, se
consideran EA= ∞ y E=cte. Para el estudio
estructural se sugirió el siguiente pórtico, y
también se conocen los valores de los
componentes estructurales que lo
conforman.
Figura 10 Figura 11
Pórtico de sección variable sometido a cargas de viento Simetría
20 | P á g i n a
2.5.1. Primer paso: sistema Q-D
El uso del sistema Q-D en la
formulación de matrices de rigidez
simplifica considerablemente el
análisis estructural, permitiendo el
manejo eficiente de sistemas con
múltiples grados de libertad” (Klaus
Jürgen, 1996). En el sistema Q-D se
identifican los grados de libertad que
pueda tener la estructura, teniendo en
cuenta las restricciones planteadas,
estos grados reflejan los movimientos
y rotaciones que sufre el pórtico
analizado sin producir fuerzas
internas. Identificados los grados de
libertad se los enumera en cualquier
orden, lo cual ayuda a su
representación matricial.
Figura 12
Sistema Q-D general
El grado de libertad 4 produce fuerza
axial por lo cual se elimina, por la
teoría de “Apoyo diferente al
empotrado y que solo llegue una
barra” se elimina el grado de libertad
2. Entonces el sistema Q-D quedaría
de la siguiente manera:
Figura 13 Figura 14
Deformación cuando D4=1 Sistema Q-D definido
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2.5.2. Segundo paso: cálculo de la rigidez
Se trabaja con la rigidez menor
considerando E como constante,
donde:
2.5.3. Tercer paso: rigidez de los
elementos
La rigidez de las estructuras es la
capacidad de un elemento estructural
para resistir las deformaciones y
soportar cargas sin deformarse o
desplazarse demasiado (Claros, s.f.).
La rigidez de los elementos juega un
papel crucial ya que nuestro pórtico al
tener sección variable, la rigidez varia
en cada elemento estructural. Para el
cálculo de rigidez de los elementos se
utilizó los factores de transporte, la
cual obtendremos de la Tabla 1.
Figura 15
Elemento de sección variable ( 1 – 2 ) factores de transporte
Una vez tengamos los factores de transporte se utiliza la siguiente fórmula para hallar la matriz de
rigidez de la columna.
2.5.4. Cuarto paso: MEP - cargas sobre la barra
Figura 16
Momentos de empotramiento elemento 2-3
22 | P á g i n a
Figura 17
MEP-Factor de transporte
Donde:
Figura 18
MEP - aplicando el factor de transporte
2.5.5. Quinto paso: sistema primario
Es el vector resultante producido por las cargas sobre la barra.
Figura 19
Cálculo de sistema primario
´
´
´
23 | P á g i n a
Donde , , entonces:
2.5.6. Sexto paso: sistema complementario
Es el vector resultante producido al generar un desplazamiento unitario (D=1) en los grados de libertad
definidos en el sistema Q-D.
Figura 20
Deformación producida al liberar el grado de libertad 1
Figura 21
Factor de transporte aplicado al caso 03
Donde:
24 | P á g i n a
Figura 22
Nuevos valores de deformación aplicando los Factores de transporte
Aplicamos las condiciones de equilibrio (ΣM=0; ΣF=0) para ubicar la matriz de rigidez del elemento
1-2.
Figura 23
Nuevos valores de deformación
aplicando los Factores de transporte
Donde:
Figura 24
Deformación al liberar el grado de
libertad 2
Factor de transporte: aplicamos la formula respecto al caso 01
Figura 25
Factor de transporte aplicado al caso 01
25 | P á g i n a
Donde:
´
Figura 26
Deformación aplicada el factor de transporte
Aplicamos las condiciones de equilibrio (ΣM=0; ΣF=0) para ubicar la matriz de rigidez del
elemento 2-3.
Figura 27
Matriz de rigidez del elemento 2-3
Donde:
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura.
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3. RESULTADOS
3.1. Vector de deformaciones
Un término matemático conocido como
vector de deformación describe los cambios
que experimenta un material o estructura en
respuesta a cargas o fuerzas de fuentes
externas. Este vector puede entenderse en
términos generales como una representación
de los desplazamientos y deformaciones que
sufren ubicaciones particulares de un objeto
en relación con su estado original.
El vector de deformación es esencial en el
análisis estructural para evaluar el
comportamiento de la estructura bajo
diferentes escenarios de carga. Se utiliza
junto con la matriz de rigidez y el vector de
fuerza para resolver ecuaciones de
equilibrio y determinar el sobrepaso del
sistema (Rupay Vargas, 2024).
3.2. Fuerzas internas
Las cargas externas aplicadas a una
estructura generan fuerzas internas, para
evaluar mejor las deformaciones
necesitamos una mejor comprensión de las
fuerzas internas.
Las fuerzas internas juegan un rol muy
importante en la ingeniería civil, ya que se
requiere la aplicación de estas para que las
grandes construcciones puedan soportar
cargas externas, que son el resultado de las
interacciones entre elementos estructurales.
Los ingenieros pueden analizar y calcular
las fuerzas internas en un elemento haciendo
uso de métodos como el enfoque de
elementos finitos o el método de rigidez
directa, así cumpliendo los estándares de
seguridad.
3.3. Diagrama de momento flector
Figura 25
Diagrama de momento flector
Figura 26
Diagrama de momento flector del pórtico
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3.4. Comprobación con el programa SAP 2000
Figura 27
Diseño del pórtico con sección variable
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Figura 28
Diagrama de momento flector obtenido con el SAP 2000
4. DISCUSIÓN
El método de la rigidez es una técnica
ampliamente utilizada en el análisis estructural
para conocer el comportamiento y la respuesta de
un sistema a cargas externas. Aunque este
método es reconocido por su eficiencia y
facilidad de uso, existe un debate continuo sobre
si representa con precisión la realidad estructural
o es una simplificación excesiva que podría
conducir a resultados erróneos en comparación
con el software.
Tras haber analizado el comportamiento de la
estructura y compararla con el programa SAP, se
puede inferir lo siguiente, los factores de
transporte son formulas fiables y pueden ser
aplicados a estructuras con sección variable,
siempre y cuando cumplan con las características
establecidas, también se debe de tener en cuenta
los conceptos básicos, tales como “estructura
simétrica con carga antisimétrica” y como
aplicarlos en diversas situaciones.
Entender el comportamiento de la estructura,
saber como definir los grados de libertad
teniendo como restricción que la fuerza axial=∞,
y poder emplear los conceptos básicos de
ingeniería.
.
5. CONCLUSIÓN
Haciendo la comparación entre lo resuelto y el
modelado en el programa SAP 2000, se pude
concluir que el método de la rigidez directa
aplicado a secciones variables es confiable ya
que se tiene una variación mínima de +- 0.2, la
cual se podría inferir que es por la aproximación
de los valores decimales.
En pocas palabras, la técnica de rigidez directa
proporciona un instrumento fiable y preciso para
el estudio y diseño de estructuras en ingeniería
civil. Este enfoque, que se basa en la teoría de la
elasticidad, permite calcular las fuerzas internas
y las deformaciones de forma organizada y
sencilla. Este enfoque se recomienda para el
diseño estructural porque logra un compromiso
entre la precisión de los resultados y la facilidad
del análisis. Su versatilidad como herramienta
para ingenieros se demuestra aún más por la
amplia gama de desafíos estructurales a los que
se puede aplicar. No obstante, debe recordarse
que el enfoque de la rigidez directa puede resultar
desafiante en situaciones que involucran
estructuras no lineales o geometrías intrincadas,
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y que requiere una comprensión firme de la teoría
de la elasticidad (Godiña Poma , Lopez Yarango
, & Rupay Vargas , 2017).
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