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Revista Científica Ciencias Ingenieriles (2024)
Vol. 4, Núm. 1, pp. 52 – 68
ISSN: 2961-2357(En línea)
ISSN: 2961-2446(Impreso)
ARTÍCULO ORIGINAL
Brazo rígido en pórticos empleando el método de rigidez
sistematizado
Systematized rigidity method in rigid arm and shear deformation
• Marcos Rupay 1 •Yesenia Baltazar 2 •Asly Flores 3 •Anthony Reyes 4
1Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: mrupay@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7891-1838
2Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 73682950@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0005-7046-1448
3Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 72283292@uniscjsa.edu.pe
4Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 73015061@unsicjsa.edu.pe
Recibido: 10 noviembre del 2023 / Revisado: 22 diciembre del 2023 / Aprobado: 29 diciembre del 2023 / Publicado: 22 de enero del 2024
RESUMEN
La investigación y redacción del presente artículo tuvo como principal objetivo el poder aplicar el método de rigidez
sistematizado empleando baro rígido en pórticos como cálculo de forma manual. Para ello se tomó en consideración
especial los temarios que se realizaron en la materia de Análisis Estructural 1 y 2 de la UNISCJSA tales como
Sistemas Q-D, Sistema Primario, Sistema Complementario, Vectores de las Deformaciones y finalmente las Fuerzas
Internas. Hemos podido dejar como argumento que para poder establecer los grados de libertad en el Sistema Q-D,
y sus respectivas Fuerzas Internas para todas las barras que componen a la armadura que hemos seleccionado para
el desarrollo. Para su desarrollo hemos empleado el método de la rigidez sistematizado y los procedimientos propios
vistos en el curso de Análisis Estructural II en la UNISCJSA, siendo propios del sistema lo siguiente: Determinación
del Sistema Q-D [Q], Determinación del sistema q-d (Local) Determinación de los coeficientes de Rigidez [K],
Matriz de transformación, Matriz de rigidez de cada barra, Matriz de rigidez del sistema, Vector de Deformación
[D] y fuerza de cada q-d y Rigidez Lateral. La estructura de brazo rígido en pórtico, se desarrolló considerando
deformación por corte en placa y de la misma manera en todos los elementos estructurales, tanto en placa, columna
y viga. Respecto a la estructura desarrollada, tiene como características lo siguiente; es un pórtico con dimensiones
en la viga, columna y muros. Se considera el EA = ∞ en toda la estructura.
Palabras claves: Brazos rigidos; matriz de transformación; vector de deformaciones; fuerzas internas; método de
rigidez sistematizado.
ABSTRACT
The main objective of the research and writing of this article was to be able to apply the systematized rigidity method
using rigid bar in frames as a manual calculation. For this, special consideration was taken of the syllabi that were
carried out in the subject of Structural Analysis 1 and 2 of the UNISCJSA such as Q-D Systems, Primary System,
Complementary System, Deformation Vectors and finally Internal Forces. We have been able to leave as an
argument that in order to establish the degrees of freedom in the Q-D System, and their respective Internal Forces
for all the bars that make up the reinforcement that we have selected for development. For its development we have
used the systematized rigidity method and the procedures seen in the Structural Analysis II course at UNISCJSA,
the following being typical of the system: Determination of the Q-D System [Q], Determination of the q-d system
(Local) Determination of the Stiffness coefficients [K], Transformation Matrix, Stiffness Matrix of each bar, System
Stiffness Matrix, Deformation Vector [D] and force of each q-d and Lateral Stiffness. The rigid arm frame structure
was developed considering shear deformation in the plate and in the same way in all the structural elements, both in
plate, column and beam. Regarding the developed structure, it has the following characteristics: It is a porch with
dimensions in the beam, column and walls. EA = ∞ is considered throughout the structure.
Keywords: Stiff arms; transformation matrix; deformation vector; internal forces; systematized rigidity method.
https://doi.org/10.54943/ricci.v4i1.382
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1. INTRODUCCIÓN
La introducción de un método de rigidez
sistematizado en el análisis estructural es
fundamental para comprender y evaluar el
comportamiento de las estructuras ante cargas y
condiciones diversas. Este enfoque, también
conocido como el método de rigidez directa
(2018), se ha convertido en una herramienta
invaluable en ingeniería estructural debido a su
capacidad para modelar y analizar sistemas
complejos de manera eficiente y precisa. En el
análisis estructural tradicional, ()las fuerzas y
deformaciones se consideran en función de las
relaciones de equilibrio y compatibilidad. Sin
embargo, el método de rigidez sistematizado va
más allá, al permitir el análisis de la estructura en
elementos discretos y la formulación sistemática
de las matrices de rigidez asociadas a cada uno
de estos elementos.
Este enfoque proporciona una base matemática
sólida para representar la rigidez estructural y las
relaciones de desplazamiento entre nodos, lo que
facilita la formulación de un sistema de
ecuaciones lineales que describen el
comportamiento global de la estructura.
(2020)Al emplear matrices de rigidez para cada
elemento, se logra una representación eficiente y
modular, lo que simplifica el análisis de
estructuras complejas mediante el uso de
métodos numéricos. En esta investigación,
exploraremos en detalle el método de rigidez
sistematizado y su aplicación en el análisis
estructural 2D. Examinaremos cómo este
enfoque permite modelar con precisión una
variedad de condiciones de carga, geometrías y
materiales, brindando a los ingenieros una
herramienta versátil para evaluar la estabilidad y
el rendimiento de las estructuras en diferentes
situaciones. A medida que avanzamos en este
estudio, abordamos la implementación práctica
del método de rigidez sistematizado a través de
ejemplos específicos, destacando su utilidad en
el diseño y la optimización de estructuras.
Además, discutiremos las ventajas y limitaciones
de este enfoque, así como su relevancia en el
contexto de las tecnologías modernas de
simulación y análisis estructural. En resumen,
este trabajo busca proporcionar una comprensión
completa del método de rigidez sistematizado y
su aplicación en el análisis estructural 2D,
destacando su importancia en la ingeniería civil
y estructural contemporánea.
Cuando se aborda el análisis estructural de
edificaciones, los pórticos con brazos rígidos
representan un modelo fundamental. Estos
sistemas, compuestos por elementos verticales y
horizontales interconectados, ofrecen una
representación simplificada de estructuras más
complejas. La introducción de brazos rígidos en
los pórticos es un enfoque crucial para
comprender su comportamiento ante cargas y
fuerzas externas. (2022)El análisis de estos
pórticos con brazos rígidos implica un estudio
detallado de la distribución de cargas, momentos,
reacciones en los apoyos y desplazamientos.
(2009)La incorporación de brazos rígidos en este
contexto facilita la comprensión de la
transferencia de fuerzas a través de la estructura,
así como la resistencia y estabilidad global del
sistema. Al emplear métodos como el de rigidez
sistematizado, se logra una evaluación precisa de
la respuesta de los pórticos con brazos rígidos
frente a diferentes condiciones de carga. Esto no
solo permite comprender el comportamiento
estructural, sino que también habilita la
optimización del diseño, garantizando la
eficiencia y seguridad de la edificación. En esta
introducción al análisis de pórticos con brazos
rígidos, se destaca la importancia de comprender
cómo estos sistemas simplificados reflejan y
responden a las fuerzas y cargas que actúan sobre
las estructuras reales, brindando así una base
fundamental para el diseño y la
ingeniería estructural.
(Ottazzi Pasino, 2014) explica que la finalidad de
este método es el desarrollo de una serie de
ecuaciones para la obtención de cargas internas
desarrolladas en los extremos de los elementos,
cargas de tipo nodal. Así mismo, el autor expone
que el método en mención se basa en la
superposición de desplazamientos, los cuales son
asociados a los grados de libertad, por lo que es
muy importante definirlos correctamente. El
metodo de rigidez sistematizado en una
secuencia de operaciones matriciales que
permite conocer la matriz de rigidez de la
estructura a partir de las matrices de rigidez de
todas las componentes . Ensamblar la matriz de
rigidez de la estructura es el principal objetivo
del método. Luego se calculan los
desplazamientos en los GDL considerados en la
estructura (globales) D y se podrán conocer los
desplazamientos en los GDL de cada barra
(locales) . La relación entre ambos grados de
libertad (GDL) se puede mediante la matriz de
transformación . Se puede plantear 6 GDL
locales por barra tipo pórtico y 2 GDL por barra
tipo armadura, aunque se pueden omitir los que
serán nulos. La matriz de rigidez de cada barra es
la matriz, ya conocida, de cada barra conociendo
sus condiciones de apoyo. La matriz dependerá
de los grados de libertad que se consideran.
También la matriz de transformación es aquella
que permite relacionar los GDL del sistema
general (Q-D) con los GDL de cada componente
o barra (q-d).De esta manera, a partir de los
desplazamientos del sistema en sus GDL (Q-D)
pueden obtenerse los desplazamientos de cada
componente en sus GDL (q-d). también el brazo
rígido según Palomino (2016) el brazo rígido se
refiere a la sección central inalterable que se
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encuentra entre la conexión de elementos
estructurales. En la representación gráfica, se
ilustra la conexión entre una viga y una columna,
aplicadas en estructuras de armado concreto. En
el proceso de modelado, es posible emplear un
factor de rigidez para el nudo, variando
generalmente entre 0,7 y 0,9.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
2.1. Deformación por corte aplicado a placa
El método con el que hemos considerado
trabajar es el Rigidez Sistematizado ya que
es un tema muy conocido y aplicado en
cualquier tipo de estructura ya sean
pórticos, armaduras, articulaciones, etc.
Ante ello lo que se realizo es elaborar una
armadura estable con el mismo modulo de
elasticidad para cada barra. Lo primero a
realizar es el calculo de forma manual en
toda la estructura utilizando el método de
rigidez sistematizado con brazo rígido en el
pórtico, considerando deformación por
corte aplicado en placa, y de la misma
manera en todos los elementos
estructurales, tanto en placa, columna y
viga. Respecto a la estructura desarrollada,
tiene como características lo siguiente; es
un pórtico con dimensiones en la viga
, columna y
muros ,
,
. Se considera el EA
= ∞ en toda la estructura. La armadura
planteada para el Análisis Estructural fue la
siguiente y además se sabe que las barras
que la componen presentan los siguientes
valores:
Figura 1
Estructura con brazo rígido en pórtico.
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2.2. Modelo matemático
Figura 2
Modelo matemático de la estructura.
Hallando la proporción de placa, viga y columna:
2.2.1. Primer Paso: Sistema Q-D
La definición del Sistema QD, se
propone el sistema QD basado en los
grados de libertad de rigidez. En esta
fase inicial, es necesario identificar los
grados de libertad de rigidez presentes
en el sistema. Estos grados de libertad
reflejan los movimientos o giros que
pueden ocurrir en la estructura sin
inducir fuerzas internas. Una vez
identificados estos grados de libertad,
se procede a asignarles etiquetas o
números con el objetivo de simplificar
su representación en forma matricial.
Cada grado de libertad se designa con
una letra o número único que lo
distingue claramente en el análisis
estructural.
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Figura 3
Sistema Q1-D1
Figura 4
Sistema q-d
2.2.2. Matriz de transformación
D1
D2
D3
A =
1
0
0
0
1
0
0
0.75
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
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2.2.3. Matriz de rigidez de cada barra
En el contexto de un método de rigidez
sistematizado, la matriz de
transformación juega un papel esencial
al permitir la relación entre las
coordenadas locales y globales de un
elemento estructural. Esta matriz
facilita la transición entre el sistema de
coordenadas local, que está alineado
con el elemento estructural, y el
sistema de coordenadas global, que se
relaciona con el sistema global de la
estructura completa.
La matriz de transformación,
comúnmente denominada como K, es
una matriz cuadrada que se utiliza para
transformar los vectores de
desplazamientos, fuerzas y rigidez de
un sistema local al sistema global y
viceversa, considerando deformación
por placa la formula a aplicar en la viga
es :
;
;
Entonces:
Figura 4
Análisis de deformación por placa.
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Por equilibrio tenemos :
Figura 5
Análisis de deformación de la barra.
Figura 6
Análisis de deformación momentos.
2.2.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL
SISTEMA
La matriz de rigidez del sistema en el
contexto de un "brazo rígido" y
deformación por corte se refiere a la
representación matricial de la rigidez
estructural asociada a la capacidad de
resistir esfuerzos cortantes en un
elemento o componente particular de
una estructura. En términos generales,
la matriz de rigidez del sistema
contendrá información sobre cómo las
fuerzas cortantes aplicadas al sistema
se relacionan con los desplazamientos
resultantes en el mismo. Esta matriz se
deriva mediante consideraciones
teóricas y métodos numéricos, y su
forma exacta variará según el tipo
específico de análisis y el modelo
estructural utilizado.
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2.2.5. VECTOR DE CARGA
El vector de carga en el contexto del
análisis estructural se refiere a un
vector que representa las fuerzas
aplicadas externamente a un sistema o
estructura. Este vector tiene
componentes que indican la magnitud,
dirección y sentido de las cargas que
actúan sobre la estructura. Las cargas
pueden incluir fuerzas, momentos,
desplazamientos prescritos o cualquier
otra influencia externa que afecte el
comportamiento de la estructura.
La forma específica del vector de carga
dependerá de la naturaleza del
problema y de la estructura bajo
consideración. Por ejemplo, en el
análisis de una viga, el vector de carga
puede incluir las fuerzas concentradas
aplicadas, las cargas distribuidas a lo
largo de la viga, y posiblemente
momentos externos.
2.2.6. VECTOR DE DEFORMACIONES
El vector de deformación constituye
una expresión matemática que
caracteriza las alteraciones sufridas
por un material o estructura al
enfrentarse a fuerzas o cargas externas.
En líneas generales, este vector se
interpreta como una indicación de
cómo los puntos específicos de un
objeto experimentan desplazamientos
y deformaciones en comparación con
su condición inicial.
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2.2.7. Fuerzas internas
Figura 7
Sistema q-d, grados de libertad local.
Figura 8
Análisis del diagrama de momento flector.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(1)
(2)
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Figura 9
Diagrama de momento flector (DMF).
2.2.8. Rigidez lateral
En donde:
• F: Estará en función a la carga
externa de la estructura.
• D: Estará en función al
resultado en el vector de
deformación en el lugar que se
encuentre el grado de libertad
que es desplazamiento.
2.2.9. Vector de deformaciones
2.2.10. Deformación por corte en todos los elementos E. Placa – columna – viga
Figura 10
Estructura con brazo rígido en pórtico.
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2.2.11. Sistema q-d
Figura 11
Sistema q-d.
2.2.12. Matriz de rigidez para cada barra
Tenemos:
2.2.12.1. Placa
;
;
;
2.2.12.2. Viga
;
;
;
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Figura 12
Análisis de deformación de
la barra.
Figura 13
Análisis de deformación de la barra.
2.2.12.3. Columna
;
;
;
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Figura 13
Análisis de momentos en la barra.
2.2.13. La matriz de rigidez para cada barra:
2.2.14. Matriz de rigidez del sistema
2.2.15. Vector de carga
3. RESULTADOS
3.1. Vector de deformaciones
El vector de deformación constituye una
expresión matemática que caracteriza las
alteraciones sufridas por un material o
estructura al enfrentarse a fuerzas o cargas
externas. En líneas generales, este vector se
interpreta como una indicación de cómo los
puntos específicos de un objeto
experimentan desplazamientos y
deformaciones en comparación con su
condición inicial.
El vector de deformaciones es esencial en
el análisis estructural para evaluar el
comportamiento de la estructura ante
diferentes condiciones de carga. Se utiliza
en conjunto con la matriz de rigidez y el
vector de fuerzas para resolver ecuaciones
de equilibrio y determinar la respuesta
completa del sistema.
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3.2. Fuerzas internas
Las fuerzas internas en una estructura se
refieren a las fuerzas que actúan dentro de
los elementos individuales de la estructura
en respuesta a las cargas externas aplicadas.
Estas fuerzas internas son esenciales para
comprender cómo se distribuyen las
tensiones y deformaciones a lo largo de los
diferentes componentes de la estructura.
Estas fuerzas internas son el resultado de
las interacciones entre los elementos
estructurales y son cruciales para diseñar
estructuras que sean capaces de resistir las
cargas externas de manera eficiente y
segura. Los ingenieros estructurales
utilizan métodos como el método de rigidez
sistematizado o el método de elementos
finitos para analizar y calcular estas fuerzas
internas en una estructura, lo que les
permite diseñar estructuras que cumplan
con los criterios de seguridad y rendimiento
requeridos.
Figura 14
Sistema q-d, grados de libertad local.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(1)
(2)
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Figura 15
Análisis del diagrama de momento flector.
Figura 16
Diagrama de momento flector (DMF).
3.3. RIGIDEZ LATERAL
La rigidez lateral se refiere a la capacidad
de una estructura para resistir
desplazamientos laterales o deformaciones
debidas a fuerzas horizontales aplicadas,
como las producidas por vientos, sismos u
otras cargas laterales. En esencia, la rigidez
lateral mide la resistencia de una estructura
a moverse lateralmente en respuesta a
fuerzas laterales externas.
La rigidez lateral está relacionada con la
capacidad de la estructura para mantener su
forma y estabilidad frente a estas fuerzas
laterales. Cuanto mayor sea la rigidez
lateral de una estructura, menor será su
desplazamiento lateral bajo la influencia de
las cargas laterales, lo que contribuye a una
mayor estabilidad y resistencia sísmica.
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3.4. Vector de deformaciones
El vector de deformaciones es una
representación matemática que describe las
deformaciones experimentadas por un
material o una estructura cuando se somete
a fuerzas o cargas externas. Este vector
captura cómo cambian las dimensiones y
formas del material debido a la aplicación
de fuerzas, permitiendo evaluar la respuesta
de la estructura a dichas cargas.
En el análisis estructural, el vector de
deformaciones se utiliza para cuantificar las
variaciones en los desplazamientos y
deformaciones de los puntos individuales
de una estructura. Se expresa en términos
de cambios relativos en las coordenadas de
los nodos o puntos de interés de la
estructura. Este vector puede incluir
componentes que representen
desplazamientos lineales, deformaciones
angulares y otras formas de deformación.
4. DISCUSIÓN
(HIBBELER, 2012)Se indica que, al calcular la
matriz de rigidez para cualquier elemento, es
esencial que esté completamente alineada con
sus coordenadas globales. Esto implica
considerar los desplazamientos en las
coordenadas "X" y "Y" y tener en cuenta el
número de grados de libertad por cada nodo, que
en este caso son dos, dando como resultado una
matriz de rigidez cuadrada de dimensiones 4x4.
Este concepto se alinea con la información
encontrada en el libro revisado. En resumen, se
ha generado una matriz de rigidez para cada
elemento, basada en sus coordenadas globales, y
todas estas matrices son cuadradas con igual
número de filas y columnas.
(Blanco, 2015) menciona que lo que se puede
justificarse mediante los grados de libertad es su
capacidad para determinar los desplazamientos y
rotaciones en una estructura, especialmente al
iniciar desde un punto nodal, aplicándose a
cualquier armadura plana en 2D. La cantidad de
grados de libertad se vincula directamente con el
número de nodos; para apoyos simples, se asigna
un grado de libertad, mientras que para apoyos
fijos no se considera ningún grado de libertad. Este
enfoque se ha aplicado de manera coherente en
nuestro trabajo, donde se ha tenido en cuenta el
número adecuado de grados de libertad,
dependiendo de si se trata de apoyos fijos o
simples.
5. CONCLUSIÓN
El método de rigidez sistematizado es una
técnica comúnmente utilizada para analizar
estructuras, como los pórticos con brazos rígidos.
Algunas conclusiones clave al aplicar este
método a este tipo de estructuras podrían incluir:
Determinación de fuerzas y desplazamientos: El
método de rigidez sistematizado permite calcular
tanto las fuerzas internas como los
desplazamientos en cada miembro de un pórtico
con brazos rígidos. Análisis de rigidez:
Proporciona una comprensión detallada de la
rigidez relativa de los elementos dentro del
pórtico. Menciona (Falconi, 2014), que esto es
fundamental para entender cómo se distribuyen
las cargas y cómo responde la estructura a las
fuerzas aplicadas.
Identificación de momentos y reacciones:
Permite calcular los momentos en las columnas,
vigas y conexiones, así como las reacciones en
los apoyos, lo que es esencial para el diseño
estructural y la seguridad de la construcción.
Sensibilidad a cambios: El método también
muestra cómo la estructura responde a cambios
en las condiciones de carga, geometría o
propiedades de los materiales. Esto es crucial
para evaluar la estabilidad y la capacidad de la
estructura para resistir diferentes escenarios.
Optimización del diseño: Al comprender mejor
la distribución de fuerzas y momentos, este
método puede ayudar a optimizar el diseño de los
pórticos con brazos rígidos, minimizando el
material utilizado sin comprometer la integridad
estructural. En resumen, el método de rigidez
sistematizado es una herramienta poderosa para
el análisis de pórticos con brazos rígidos,
permitiendo entender en detalle su
comportamiento bajo cargas específicas y
facilitando el diseño y la optimización de
dichas estructuras.
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6. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
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estructuras.
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Estructuras. Ecuador: Frontier Publicidad.
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Aplicaciones Mathcad. Huancayo:
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Rupay Vargas, M. G. (2018). Estructuración y
diseño sísmico de edificaciones. . En M. J.
Rupay Vargas, Estructuración y diseño
sísmico de edificaciones. . Huancayo
Rupay Vargas, M. J. (2020). Apuntes Análisis
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Intercultural de la Selva Central Juan
Santos Atahualpa.
Vargas, R. (2022). Apuntes Análisis Estructural
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Zazueta Villaseñor, J. H. (2009). Método de la
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tecnológico de Sonora ed.). Instituto
tecnológico de Sonora.
