40 | P á g i n a
Revista Científica Ciencias Ingenieriles (2024)
Vol. 4, Núm. 1, pp. 40 – 51
ISSN: 2961-2357(En línea)
ISSN: 2961-2446(Impreso)
ARTÍCULO ORIGINAL
Análisis de un pórtico mediante el Método de rigidez sistematizado
Analysis of a porch using the Systematized Rigidity method.
• Marcos Rupay 1 • Carlos Gonzales 2 • Jennifer Felix 3 • Juan Casimiro 4
1 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: mrupay@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7891-1838
2 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 72795452@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0007-6780-6788
3 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 72293377@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0007-6780-6788
4 Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Chanchamayo, Perú.
Correo electrónico: 61372664@uniscjsa.edu.pe
ORCID: https://orcid.org/0009-0007-6780-6788
Recibido: 09 noviembre del 2023 / Revisado: 22 dicicembre del 2023 / Aprobado: 29 diciembre del 2023 / Publicado: 22 de enero del 2024
RESUMEN
El presente artículo, consiste en la descripción y análisis de una estructura de forma manual que presenta elementos
como “barra biarticulada, sólido rígido y una viga”, que por teoría cada uno presenta diferentes propiedades y
comportamientos para ello se aplicó el Método de rigidez sistematizado, que es una derivada del método directo de
la rigidez, para posteriormente comparar los resultados con la ayuda del software Ftool, siguiendo las clases de
Análisis Estructural II de la UNISCJSA, se determinó el sistema Q-D global y el q-d local con los grados de libertad
en toda la estructura general y en cada barra, se obtuvo la Matriz de transformación [A] y las matrices de rigidez de
cada barra [Ki ] con ello se construyó la matriz de rigidez de toda la estructura [K], el vector de cargas [R] se halló
al verificar si hay cargas que actúan sobre las barras y no sobre los nodos, se analizó en el sistema q-d el vector de
carga [r], se determinó el vector de deformación de los grados de libertad [D] en el sistema global Q-D y local q-d,
por último se calcularon las fuerzas internas de cada barra, y con los resultados se arman los diagramas de fuerza
cortante, fuerza normal y momento flector, se utilizó el programa Ftool para la comprobación de los resultados y
verificar los diagramas, lo cual favoreció para las conclusiones.
Palabras clave: Método de rigidez sistematizado; matriz de transformación; fuerzas internas; ftool.
ABSTRACT
This article consists of the description and analysis of a structure manually that presents elements such as
"biarticulated bar, rigid solid and a beam", which by theory each presents different properties and behaviors, for
which the Systematized Rigidity Method was applied. , which is a derivative of the direct stiffness method, to later
compare the results with the help of the Ftool software, following the Structural Analysis II classes of the
UNISCJSA, the global Q-D system and the local q-d with the degrees of freedom were determined In the entire
general structure and in each bar, the transformation matrix [A] and the stiffness matrices of each bar [Ki] were
obtained, with this the stiffness matrix of the entire structure [K] was constructed, the load vector [R] was found by
verifying if there are loads that act on the bars and not on the nodes, the load vector [r] was analyzed in the q-d
system, the deformation vector of the degrees of freedom [D] was determined in the global Q-D and local q-d
system, finally the internal forces of each bar were calculated, and with the results the diagrams of shear force,
normal force and bending moment were created, the Ftool program was used to verify the results and verify the
diagrams, which favored the conclusions.
Keywords: Systematized stiffness method; transformation matrix; internal forces; ftool.
https://doi.org/10.54943/ricci.v4i1.381
41 | P á g i n a
1. INTRODUCCIÓN
El objetivo principal de nuestra investigación
titulado “Análisis de un pórtico mediante el
Método de rigidez sistematizado” es de analizar
la estructura de un pórtico aplicando el método
de rigidez sistematizado y realizar la
comprobación del resultado con el uso del
software Ftool, asimismo generar los diagramas
respectivos del análisis de la estructura entendida
como cualquier sistema resistente y deformable
que permite la transferencia de fuerzas derivadas
de condiciones de carga, es determinar las
fuerzas y movimientos que se producen en cada
momento de la misma, desde entonces,
aplicándola se conocerán también las leyes de
resistencia de los materiales, tensiones y estados
de deformación.
Identificar una de estas dos características de la
respuesta estructural, ya sea tensión o
movimiento, conduce al conocimiento de la otra,
ya que ambas están relacionadas con leyes de
comportamiento.
Todos los métodos de cálculo utilizan una de dos
rutas. Entonces recordemos que el método
elástico calcula primero la fuerza, mientras que
el método rígido calcula primero los
movimientos. En este artículo, presentamos los
principios básicos del Método de rigidez
sistematizado, que viene a ser una derivada del
método directo de la rigidez. Se explicarán los
conceptos de rigidez estructural y rigidez de
diversos elementos estructurales, que son las
cantidades fundamentales en las que se basa el
método y por tanto deben entenderse antes de
continuar con su desarrollo.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
El método de rigidez sistematizado nos sirve para
obtener la matriz de rigidez de toda la estructura,
mediante la obtención de las matrices de rigidez
de todos sus GDL del sistema local (q-d) en
función a los GDL del sistema global (Q-D), en
los cuales se calculan los desplazamientos
globales (D) y locales (d), con estos datos se
obtiene la Matriz de Transformación (A).
Figura 1
GDL en el sistema global Q-D
Figura 2
GDL en el sistema local q-d
2.1. Matriz de rigidez de barra
Es la matriz, ya conocida de cada barra en el
que se consideran los grados de libertad del
sistema local q-d en función a los grados de
libertad del sistema global, conociendo sus
condiciones de apoyo. (Rupay Vargas,
2023)
2.2. Matriz de Transformación
Donde los grados de libertad del sistema Q-
D están relacionados con los grados de
libertad de cada elemento o componente (q-
d).
Figura 3
Matriz de transformación.
42 | P á g i n a
30 tn/m
/m
2.00m
3.00
m
20tn
3.00
m
8.00m
Por tanto, a partir del desplazamiento del
sistema en grados de libertad, podemos
determinar el desplazamiento en grados de
libertad (q-d) de cada componente:
2.3. Principio de Contradigencia
Este principio establece la relación entre las
cargas medidas en el sistema Q-D y las
cargas en los extremos de las barras
medidas en el sistema q-d (sistema local de
coordenadas). Establece que si los vectores
{d} y {D} están relacionados mediante la
ecuación (I), entonces los vectores{q} y
{Q} están relacionados a través de la
ecuación (II):
y son compatibles
y están en equilibrio
Demostración:
Trabajo virtual para una estructura
formada por el ensamblaje de barras
unidas en los nudos:
Principio de contragradiencia;
reemplazando (a) en (b):
Por lo tanto:
Esto demuestra también que el principio de
desplazamientos virtuales transforma las
ecuaciones de compatibilidad, en
ecuaciones de equilibrio.
2.4. Software Ftool
Creado por el doctor en Ingeniería
estructural Luis Fernando Campos, Ftool es
un programa que sirve para analizar todo
tipo de estructura de forma accesible puesto
que es gratuito, tiene como fin fomentar el
aprendizaje del análisis estructural, en el
cual nos permite calcular reacciones,
deformaciones producto de las fuerzas
internas que se producen en la estructura
con cargas aplicadas
.
Ejercicio de Aplicación
Para el desarrollo del presente análisis del pórtico
hemos considerado aplicar el método de Rigidez
Sistematizado, en el cual la estructura se
compone de un sólido rígido, una armadura el
cual es un elemento bidireccional, una columna
y una viga, la cual está sometida a una carga
distribuida de 30 ton/m.
Figura 4
Estructura de pórtico propuesto
43 | P á g i n a
2
1
A1
4
5
A2
A3
3
1
2
Sistema (Q-D): Sistema (q-d)
Matriz de transformación:
A =
D1
D2
0
1
A1
1
0
0
-0.8
A2
1
0
A3
0
1/6
44 | P á g i n a
Matriz de rigidez de cada barra:
Elemento 1:
Elemento 2:
Elemento 3:
Ensamblaje de la matriz de rigidez:
1
2
2/3
4/9
4/3
2/3
1/2
1/4
1/2
1/4
45 | P á g i n a
Vector de carga:
Vector de deformación:
Vector de fuerzas internas:
3. RESULTADOS
3.1 Fuerzas normales
Mediante el método de rigidez
sistematizado se realizó el cálculo de forma
manual para obtener las fuerzas internas de
la estructura. Luego con la ayuda del
software Ftool se procedió a modelar para
hallar sus fuerzas normales de toda la
estructura para así poder verificar los
diagramas.
160
160
46 | P á g i n a
Figura 5
Representación del diagrama de fuerzas normales obtenidas manualmente
Nota: En la figura 5 podemos observar las fuerzas normales de la columna, viga, biela y solido
rígido que se calculó de forma manual.
Figura 6
Representación del diagrama de fuerzas normales obtenidas mediante el software Ftool.
Nota: La figura 2 representa las fuerzas normales de cada elemento de la estructura calculada
mediante el software Ftool.
47 | P á g i n a
-200
-150
-100
-50
0
COLUMNA VIGA BIELA SOLIDO
RIGIDO
MANUAL(inicio-fin) -158.0089 -9.6996 -25.9826 -126.4015
FTOOL(inicio-fin) -157.9883 -9.6557 -26.0972 -126.3534
Tnf
DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL (DFN)
MANUAL(inicio-fin) FTOOL(inicio-fin)
Tabla 1
Fuerzas normales de cada elemento de la estructura
Elemento
Cálculo manual
Software Ftool
F (Tnf)
F (tnf)
Extremo(inicio-final)
Extremo(inicio-final)
Columna
-158.0089
-157.9883
Viga
-9.6997
-9.6557
Biela
-25.9826
-26.0972
Solido rígido
-126.4015
-126.3534
Nota: La tabla 1 representa las fuerzas normales de cada elemento de la estructura calculada de forman
manual y con software Ftool
Figura 3
Comparación de las fuerzas normales obtenidas mediante el cálculo manual y el software Ftool.
Nota: La figura 2 representa un diagrama de barras donde se puede observar la fuerza normal de cada
elemento (columna, viga, biela y solido rígido). Calculado de forma manual y con software.
3.2 Fuerzas cortantes
Las fuerzas cortantes de obtuvo de forma
manual empleando el método de la rigidez
sistematizado, donde se calculó las fuerzas
internas de cada elemento y luego también
se realizó el modelado en el software Ftool
para poder hacer las comprobaciones de las
fuerzas cortantes de la estructura.
Figura 8
Representación del diagrama de fuerzas cortantes obtenidas manualmente.
48 | P á g i n a
-50
0
50
100
150
COLUMNA VIGA BIELA SOLIDO
RIGIDO
MANUAL(inicio) -30.4858 113.5985 0 29.6997
FTOOL(inicio) -30.5335 113.6466 0 29.6557
MANUAL(fin)2 -30.4858 126.6466 0 29.6997
FTOOL(fin) -30.5335 126.3534 0 29.6557
Tnf
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE (DFC)
MANUAL(inicio) FTOOL(inicio) MANUAL(fin)2 FTOOL(fin)
Figura 9
Representación del diagrama de fuerzas cortantes obtenidas mediante el software Ftool.
Nota: En la figura 9 podemos observar las fuerzas normales de la estructura que se calculó mediante el
empleo del software Ftool.
Tabla 2
Fuerzas normales de cada elemento de la estructura
Elemento
Cálculo manual
Software Ftool
F (Tnf)
F (Tnf)
Extremo(inicio)
Extremo(final)
Extremo(inicio)
Extremo(final)
Columna
-30.4858
-30.4858
-30.5335
-30.5335
Viga
113.5985
-126.4015
113.6466
126.3534
Biela
0
0
0
0
Solido rígido
29.6997
29.6997
29.6557
29.6557
Nota: La tabla 2 representa las fuerzas cortantes en sus extremos de cada elemento de la estructura que
fueron calculadas de forman manual y con software Ftool
Figura 10
Comparación de las fuerzas normales obtenidas mediante el cálculo manual y el software Ftool.
49 | P á g i n a
Nota: La figura 10 representa un diagrama de barras donde se puede observar la fuerza cortante que
representa cada elemento (columna, viga, biela y solido rígido) calculado de forma manual y con software.
3.3 Momentos flectores
Las fuerzas cortantes de obtuvo de forma
manual empleando el método de la rigidez
sistematizado, donde se calculó las fuerzas
internas de cada elemento y luego también
se realizó el modelado en el software Ftool
para poder hacer las comprobaciones de las
fuerzas cortantes de la estructura.
Figura 11
Representación del diagrama de momento flector obtenidas manualmente.
Nota: En la figura 11 podemos observar los momentos flectores de la columna, viga y solido rígido que se
calculó de forma manual
Figura 12
Representación del diagrama de momento flector obtenidas mediante el software Ftool.
50 | P á g i n a
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
COLUMNA VIGA BIELA SOLIDO RIGIDO
MANUAL(inicio) 24.4712 -126.9862 0 0
FTOOL(inicio) 24.493 -127.107 0 0
MANUAL(fin) -66.9862 -178.1985 0 178.198
FTOOL(fin) -67.107 -177.934 0 177.934
Tnf-m
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (DMF)
MANUAL(inicio) FTOOL(inicio) MANUAL(fin) FTOOL(fin)
Nota: En la figura 12 podemos observar los momentos flectores de cada elemento de la estructura con el
software Ftool.
Tabla 3
Momentos flectores de cada elemento de la estructura.
Elemento
Cálculo manual
Software Ftool
M (Tnf.m)
M (Tnf.m)
Extremo(inicio)
Extremo(final)
Extremo(inicio)
Extremo(final)
Columna
24.4712
-66.9862
24.493
-67.107
Viga
-126.9862
-178.1985
-127.107
-177.934
Biela
0
0
0
0
Solido rígido
0
178.1985
0
177.934
Nota: La tabla 3 representa los momentos flectores de cada elemento de la estructura calculada de forman
manual y con software Ftool
Figura 13
Comparación de los momentos flectores obtenidas mediante el cálculo manual y el software Ftool.
Nota: La figura 13 representa un diagrama de barras donde se puede observar los valores de los momentos
flectores de cada elemento (columna, viga, biela y solido rígido) que fueron calculados de forma manual y
con el software Ftoll.
4. DISCUSIÓN
Según Celigüeta (2016) el método de rigidez
sistematizado consiste en la determinación de
corrimientos de los nudos y fuerzas en las barras
de una estructura de barras. Se basa en un análisis
matricial y puede usarse en estructuras
estáticamente determinadas o indeterminadas
tanto planas como tridimensionales. Como por
ejemplo nuestra estructura es viable para su
resolución mediante este método.
En el artículo “Análisis de estructuras con el
programa Ftool: una experiencia didáctica”. Los
autores destacan las ventajas de este software
para el aprendizaje del análisis estructural, como
su factibilidad de uso, su capacidad gráfica y su
versatilidad para modelar diferentes tipos de
estructuras. Es por ello que en este trabajo se
empleara el uso de software para realizas las
comparaciones de los diagramas.
51 | P á g i n a
El desarrollo del trabajo se hizo de forma manual
empleando el método de la rigidez sistematizado
y para corroborar dichos resultados se utilizó el
software Ftool, es por ello que de acuerdo a las
comparaciones realizadas como podemos
observar en la figura 2, 5 y 8 se presentan ciertas
variaciones en algunos valores, debido al cálculo
manual donde se empleó pocos decimales en el
proceso de resolución, cabe resaltar que el
software trabaja con todos los decimales.
5. CONCLUSIÓN
Al finalizar el análisis estructural del ejercicio
propuesto se realizó la verificación de los
resultados obtenidos en el software Ftool, este
software nos brinda resultados exactos al igual
que los métodos matriciales.
Se pudo determinar que tanto el diagrama de
momento cortante, flector y axial analizado por
el método de Rigidez Sistematizado verificado
con los resultados del software del Ftool son
resultados similares, con esto se demuestra que el
análisis por este método es confiable y preciso.
Por lo tanto, el uso de este software es eficaz para
realizar verificaciones del resultado obtenido
mediante el cálculo manual.
6. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
Ávila, F., Puertas, E., Martinez Castro, A., &
Gallego, R. (Marzo de 2021). Cálculo
Matricial de Estructuras. Obtenido de
https://digibug.ugr.es/bitstream/handle/104
81/67070/CalculoMatricialdeEstructuras20
21?sequence=5.
Blanco Díaz, E., Cervera Ruiz, M., & Suárez
Arroyo, B. (Junio de 2015). ANÁLISIS
MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.
Barcelona: CIMNE. Obtenido de
http://cervera.rmee.upc.edu/libros/Analisis
%20Matricial%20Estructuras.pdf.
Castro Rivera, J. P., & López Sánchez, E. J.
(2013). UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERÍA Facultad de Tecnología de la
Construcción MATRIZ DE RIGIDEZ DE
EFECTOS HORIZONTALES
HIPÓTESIS DE DIAFRAGMA RÍGIDO.
Como requisito para optar al título de:
Ingeniero Civil Tutor. Obtenido de
https://ribuni.uni.edu.ni/1024/1/39727.pdf.
Ftool. (2023). Ftool.com.br. Obtenido de
Ftool.com.br:
https://www.ftool.com.br/Ftool/.
Hurtado, J. E. (s.f.). Análisis matricial de
estructuras Curso con MATLAB. Obtenido
de
https://repositorio.unal.edu.co/bitstream/ha
ndle/unal/12205/jorgeeduardohurtadogom
ez.2013.pdf?sequence=1&isAllowed=y.
Marcelopardo. (20 de 5 de 2022). Marcelopardo.
Obtenido de
https://marcelopardo.com/matriz-de-
rigidez-de-portico-en-2-dimensiones-
metodo-matricial/.
Rupay Vargas, M. J. (30 de Octubre de 2023).
Apuntes Análisis Estructural II. Método de
Rigidez Sistematizado. La Merced,
Chanchamayo, Perú.
SlidePlayer. (2013). Dirección de Calidad
Educativa. Obtenido de Slideplayer.es:
https://slideplayer.es/slide/18127899/.
tecnun Univerdidad de Navarra. (2016). Diseño
de Estructuras - Metodo de rigidez para
calculo de estructuras reticulares. Obtenido
de
https://dadun.unav.edu/bitstream/10171/19
064/5/Metodo%20de%20rigidez.pdf.
Universidad de Huelva. (s.f.). EL MÉTODO
DIRECTO DE LA RIGIDEZ ( LECCIÓN
). Obtenido de
https://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/m
atricial.pdf.
Yuste Yuste, A. (Junio de 2020). Sistematización
del método directo para el cálculo elástico
lineal de estructuras Autor: Tutor(es).
Obtenido de
https://uvadoc.uva.es/bitstream/handle/103
24/41554/TFG-I-1557.pdf?sequence=1.
