Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2026), vol. 17, Núm. 1, pp 47-53
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v17i1.794
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Artículo original
Más allá de la fila por columna: intervención con GeoGebra y ETM en el
aprendizaje del producto matricial en secundaria
Beyond Row-by-Column: An Intervention using GeoGebra and MWS in the
Learning of Matrix Multiplication in Secondary Education
Felix De la Cruz Serrano 1, a
1 Institución Educativa María Reiche, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0009-0000-4907-5925
feldese@gmail.com
Resumen
La enseñanza del producto de matrices en secundaria suele centrarse en la regla
algorítmica fila × columna, dejando de lado su interpretación como transformación
geométrica. Este estudio analiza el impacto de una secuencia didáctica basada en el
Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y mediada por GeoGebra en el aprendizaje del
producto matricial. Participaron diez estudiantes de quinto de secundaria en una institución
de Lima. La intervención incluyó dos sesiones de inducción y dos de implementación,
combinando actividades manuales y digitales. Los resultados muestran avances
significativos en la génesis semiótica (coordinación entre registros algebraico, gráfico y
numérico), instrumental (uso significativo de GeoGebra) y discursiva (argumentación
sobre el efecto geométrico de matrices). Se evidenció una transición desde la ejecución
mecánica hacia una comprensión conceptual más rica. El estudio propone implicancias
para el diseño de tareas visuales y el uso reflexivo de tecnología en álgebra lineal escolar.
Abstract
Teaching matrix products in secondary school tends to focus on the row × column
algorithmic rule, leaving aside its interpretation as a geometric transformation. This study
analyzes the impact of a didactic sequence based on the Mathematical Workspace (MWS)
and mediated by GeoGebra on the learning of matrix products. Ten senior students
participated from a school in Lima. The intervention included two induction sessions and
two implementation sessions, combining manual and digital activities. The results show
significant progress in semiotic (coordination between algebraic, graphical, and numerical
registers), instrumental (meaningful use of GeoGebra), and discursive geneses
(argumentation about the geometric effect of matrices). A transition from mechanical
execution to a richer conceptual understanding was evident. The study proposes
implications for the design of visual tasks and the reflective use of technology in school
linear algebra.
INTRODUCCIÓN
En el currículo de secundaria, la enseñanza del producto de matrices suele reducirse al procedimiento
“fila × columna”, sin enfatizar su interpretación geométrica como transformación lineal del plano. Este
abordaje algorítmico empobrece la comprensión conceptual: el alumnado no consigue vincular cada
entrada de la matriz con el estiramiento, la rotación o la reflexión que provoca sobre una figura, ni
entender por qué el producto matricial es no conmutativo. Observaciones en aulas de quinto de
secundaria confirman que, aunque los estudiantes resuelven operaciones, no explican el significado de
las transformaciones ni el papel de cada coeficiente; esta brecha conceptual persiste en niveles
posteriores (Hidayanti, 2020).
Frente a tal escenario, GeoGebra ofrece una vía para enriquecer la enseñanza del álgebra matricial, pues
permite visualizar en tiempo real el efecto de una matriz sobre un objeto (Turgut, 2022). Sin embargo,
la investigación advierte que la mera incorporación de tecnología no basta: sin tareas que obliguen a
Más allá de la fila por columna: intervención con geogebra y etm en el aprendizaje del producto matricial en secundaria
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coordinar los registros algebraico, gráfico y numérico y a fundamentar los resultados, GeoGebra se
convierte en un verificador mecánico (Drijvers, 2013).
Para abordar esto, el Espacio de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak (2011) aporta un marco idóneo.
Observaciones preliminares en quinto de secundaria revelaron un ETM fragmentado: ausencia de
herramientas tecnológicas en prácticas cotidianas y nula articulación entre cálculo matricial y geometría.
En este contexto, el objetivo general es analizar la evolución del ETM en estudiantes de secundaria
durante el aprendizaje del producto de matrices mediante una secuencia didáctica con GeoGebra.
MATERIAL Y MÉTODOS
Marco teórico
El estudio se apoya en el Espacio de Trabajo Matemático (ETM), modelo que describe cómo se organiza
la actividad matemática escolar y que ha sido formalizado por Kuzniak (2011). El ETM distingue dos
planos complementarios:
• Epistemológico: reúne los saberes, los registros de representación y los artefactos disponibles
para abordar un problema;
• Cognitivo: engloba los procesos de visualización, construcción y validación que desarrolla el
estudiante al interactuar con esos recursos.
Tabla 1
La conexión entre ambos planos se materializa mediante tres génesis
Génesis
Función en este estudio
Indicadores previstos
Semiótica
Coordinar registros algebraico, gráfico
y numérico (A–G–N) en torno al
producto de matrices.
Traducción matriz ↔ transformación de
figuras, uso de tablas de coordenadas.
Instrumental
Transformar GeoGebra de simple
artefacto a instrumento cognitivo.
Creación y uso autónomo de deslizadores,
comando AplicaMatriz, exploraciones
previas al cálculo.
Discursiva
Construir y comunicar argumentos
sobre el efecto geométrico de las
matrices.
Explicaciones orales o escritas que
justifiquen rotaciones, cizalladuras o
reflexiones.
El análisis de la génesis instrumental se apoya en la Aproximación Instrumental (Rabardel, 1995), que
diferencia entre artefacto (herramienta disponible) e instrumento (herramienta interiorizada por el
estudiante mediante esquemas de uso). Según Drijvers (2013), esta transformación requiere procesos de
instrumentalización (uso adaptado del software) e instrumentación (modificación del pensamiento
matemático a partir del uso). Para el producto de matrices, GeoGebra actúa como artefacto clave al
visualizar transformaciones geométricas y explorar la estructura de composiciones lineales, potenciando
la construcción conceptual.
Complementariamente, se considera la Teoría de los Registros de Representación Semiótica de Duval
(2006), que plantea que el aprendizaje significativo en matemáticas exige la conversión entre distintos
registros (algebraico, gráfico, numérico y verbal). En el contexto del producto de matrices, se requiere
que el estudiante relacione expresiones algebraicas con transformaciones gráficas y tablas de
coordenadas, lo que constituye un eje central en las tareas propuestas.
Marco metodológico
Metodológicamente, este estudio adopta un diseño cualitativo de estudio de caso único (Korstjens &
Moser, 2018) con 10 estudiantes de quinto de secundaria. Este enfoque es idóneo para analizar la
evolución diacrónica del ETM mediante observaciones sistemáticas y análisis de producciones
estudiantiles (tareas, registros GeoGebra), asegurando rigor a través de la triangulación de datos. Así se
cumplen criterios de credibilidad, al tiempo que se genera transferibilidad analítica mediante la
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descripción específica de cómo la mediación tecnológica modula el ETM durante el aprendizaje de
productos matriciales, revelando la transformación de sus componentes en interacciones prácticas.
La intervención didáctica se estructuró en dos fases secuenciales (preparación e implementación del
ETM), distribuidas en cuatro sesiones:
Fase 1: Fundamentos del ETM
• Sesión 0 (Inducción instrumental): Familiarización operativa con GeoGebra para garantizar
dominio básico del artefacto.
• Sesión 1 (Construcción algebraica): Deducción del algoritmo de multiplicación matricial y
análisis de propiedades, priorizando la génesis semiótica en el plano simbólico.
Fase 2: Integración del ETM mediado por tecnología
• Sesión 2 (Activación geométrica manual): Taller de transformaciones lineales mediante
multiplicación matriz-vector, graficadas en papel milimetrado para consolidar la conexión
álgebra-geometría sin mediación digital.
• Sesión 3 (Instrumentación tecnológica): Laboratorio dinámico con GeoGebra usando
deslizadores y el comando AplicaMatriz, diseñado para promover la génesis instrumental y
discursiva mediante exploración guiada de composiciones lineales."
El proceso de análisis se estructuró en tres etapas secuenciales para caracterizar la evolución del Espacio
de Trabajo Matemático (ETM) personal durante la transición del producto de matrices de operación
mecánica a objeto geométrico instrumentado:
• Primero, se aplicó una rúbrica rápida individual evaluando cuatro criterios por matriz (P-escala,
Q-rotación, R-reflexión): 1) Corrección del cálculo fila×columna (A), 2) Coherencia numérica
de coordenadas (N), 3) Precisión gráfica (G), y 4) Explicación del efecto geométrico (D). Esto
generó una matriz de doble entrada que cuantificó los aciertos por habilidad.
• Segundo, se calcularon porcentajes de éxito por criterio y matriz, sintetizados en una tabla
compacta de 12 indicadores. Esta permitió visualizar patrones de coordinación entre registros
algebraicos, numéricos, gráficos y discursivos (A-N-G-D).
• Tercero, se desarrollaron viñetas micro-ilustrativas mediante contraste de casos: un ejemplo
exitoso y otro problemático (respaldados por evidencia visual), descritos en 3 a 4 líneas para
evidenciar tanto la circulación fluida entre registros como los bloqueos en la génesis
instrumental.
Este abordaje tripartito reveló cómo la mediación tecnológica transforma la comprensión del producto
matricial, documentando su reconstrucción como objeto explorado, argumentado e internalizado en el
ETM estudiantil.
RESULTADOS
La intervención se desplegó en dos fases secuenciales y cuatro sesiones, combinando trabajo manual y
exploración digital para favorecer la transición desde un tratamiento puramente algorítmico del producto
matricial hacia un Espacio de Trabajo Matemático (ETM) integrado. La Tabla 2 resume la secuencia
didáctica, génesis predominantes y evidencias clave.
Fase de preparación: Fundamentos del ETM
• Sesión 0 (Inducción instrumental)
8 de los 10 estudiantes construyeron matrices vinculadas a deslizadores en GeoGebra sin
asistencia, evidenciando una génesis instrumental incipiente. Este dominio operativo básico fue
crucial para reducir la carga técnica en sesiones posteriores.
• Sesión 1 (Construcción algebraica)
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El 70% de los estudiantes resolvió íntegramente productos matriciales en papel mediante el
algoritmo fila×columna. Sin embargo, el trabajo se limitó al registro algebraico (A), sin
articulación con otros planos del ETM, confirmando un tratamiento fragmentario inicial.
Fase de implementación: Integración tecnológica del ETM
• Sesión 2 (Taller manual de transformaciones)
En papel milimetrado, los estudiantes aplicaron matrices de escalamiento
󰇡
󰇢, rotación 󰇡 
󰇢 y reflexión 󰇡
󰇢. Destacaron:
Articulación A-N-G: El estudiante E-03 argumentó: “El 2 en la diagonal duplica las
dimensiones preservando la forma”, coordinando registros algebraicos (A), numérico (N) y
gráfico (G).
Dificultades conceptuales: Solo 2 de 10 estudiantes intuyeron modificaciones para giro horario,
y ningún estudiante dedujo cómo generar reflexión horizontal.
Hallazgo: La actividad desencadenó génesis semiótica activa y discursiva emergente mediante
justificaciones basadas en efectos geométricos.
• Sesión 3 (Laboratorio dinámico con GeoGebra)
Usando el comando AplicaMatriz y deslizadores 󰇛󰇜:
Génesis instrumental avanzada: 70% manipuló parámetros independientemente, internalizando
GeoGebra como instrumento cognitivo.
Coordinación consolidada: Relacionaron variaciones numéricas con efectos geométricos en
tiempo real (ejemplo “Al mover , la figura se estira en el eje x”).
Génesis discursiva sólida: 7 de 10 estudiantes formularon reglas precisas como: “b causa
inclinación izquierda-derecha; c controla inclinación arriba-abajo".
Tabla 2
Resumen de la secuencia didáctica y evolución de las génesis del ETM
Fase
Sesión
Génesis
predominante
Evidencias
clave
Preparación
1. Inducción a
GeoGebra
Instrumental incipiente
8/10 vinculan
deslizadores
sin ayuda
2. Construcción
algebraica
Semiótica inicial (solo
registro A)
70% resuelve
productos
matriciales
Implementación
3. Taller manual
Semiótica activa +
Discursiva emergente
E-03: "El 2
duplica
dimensiones"
4. Laboratorio
dinámico
Todas consolidadas:
Instrumental + Semiótica
+ Discursiva
7 de 10 verbalizan
reglas de
transformación
Felix De la Cruz Serrano
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Los resultados revelan una progresión sostenida en las tres génesis del ETM: desde un enfoque
fragmentado (Sesión 1: solo álgebra) hasta una comprensión integrada de transformaciones lineales
(Sesión 3: articulación A-N-G mediada por tecnología). Este avance confirma que el trabajo manual
preparó una instrumentalización significativa de GeoGebra, permitiendo:
• La consolidación de la génesis semiótica mediante coordinación de registros,
• La internalización tecnológica (génesis instrumental), y
• La construcción de explicaciones matemáticas robustas (génesis discursiva).
DISCUSIÓN
Los hallazgos revelan cómo la secuencia didáctica basada en el Espacio de Trabajo Matemático (ETM)
facilitó una activación progresiva y articulada de las tres génesis (Kuzniak, 2011), transformando la
comprensión del producto matricial. Este análisis se estructura en tres dimensiones clave:
1. Génesis semiótica: Articulación multimodal de registros
La coordinación algebraico-numérico-gráfica (A-N-G) en la Sesión 2 marcó un punto
de inflexión: al calcular productos matriciales y representar gráficamente
transformaciones en papel milimetrado, los estudiantes trascendieron el enfoque
algorítmico tradicional criticado por Hidayanti (2020). Casos como el de E-02, quien
vinculó el escalar 3 en 󰇡
󰇢 con el triplicado de dimensiones evidencian cómo el
trabajo manual convirtió matrices en objetos de significado visual, sentando las bases
para la modelación geométrica.
2. Génesis instrumental: Internalización tecnológica como herramienta cognitiva
La Sesión 3 demostró la transición de GeoGebra de artefacto a instrumento (Rabardel, 1995):
mediante AplicaMatriz y deslizadores, los estudiantes no solo visualizaron efectos, sino que
desarrollaron esquemas de uso reflexivo (Drijvers, 2013). Interpretaciones como "b modifica la
inclinación en x" revelan una apropiación funcional de parámetros matriciales 󰇛󰇜, donde
la tecnología operó como extensión cognitiva para explorar relaciones estructura-efecto.
3. Génesis discursiva: Del lenguaje intuitivo a la argumentación formal
La emergencia de verbalizaciones precisas, desde inferencias sobre rotaciones (E-01) hasta
descripciones paramétricas en Sesión 3 señala la consolidación de la génesis discursiva. Este
tránsito desde intuiciones locales ("cambiar signos altera el giro") hacia reglas generales ("c
controla inclinación vertical") manifiesta la construcción de un lenguaje matemático funcional,
indicador clave de internalización conceptual en el ETM.
Síntesis teórica: Integración dialéctica de génesis
Los resultados validan el principio de Kuzniak (2011), solo el desarrollo equilibrado de las tres génesis
genera comprensión profunda. La secuencia logró esta sinergia mediante:
• Fase manual (Sesión 2): Activó semiótica y discurso emergente sin mediación tecnológica,
• Fase digital (Sesión 3): Potenció instrumentalización y generalización discursiva mediante
exploración guiada.
Esta dialéctica corrobora que la tecnología no sustituye el razonamiento, sino que lo amplifica cuando
se inserta en diseños pedagógicos intencionados (Drijvers, 2013).
Implicaciones pedagógicas y alcance
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Más allá del producto matricial, la secuencia desarrolló competencias transversales:
• Pensamiento relacional: Conexiones A-N-G sustentadas en visualización,
• Alfabetización tecnocrítica: Uso reflexivo de GeoGebra para verificar conjeturas,
• Comunicación matemática: Argumentación basada en evidencias observables.
Estos resultados proponen un modelo replicable para enseñar álgebra lineal: integrar manipulación
concreta, exploración tecnológica y construcción discursiva, donde cada fase consolida dimensiones
complementarias del ETM.
Conclusiones y recomendaciones
Esta investigación demuestra que la articulación coherente de los registros algebraico, gráfico y
numérico en la enseñanza del producto de matrices es viable cuando se implementan secuencias
didácticas que exigen explícitamente dicha integración. El diseño híbrido (fase manual + fase digital)
resultó fundamental para que los estudiantes trascendieran una comprensión operativa del algoritmo
hacia una conceptualización geométrica de las transformaciones lineales, evidenciando la evolución del
Espacio de Trabajo Matemático (ETM) mediante tres hallazgos centrales:
1. El trabajo manual como base diagnóstica: Las tareas con papel y lápiz (Sesión 2) no solo
desarrollaron intuiciones geométricas autónomas, sino que identificaron obstáculos semióticos
críticos (ejemplo: dificultad para generalizar reflexiones horizontales), proporcionando una base
cognitiva para la posterior mediación tecnológica.
2. GeoGebra como catalizador de procesos superiores: La instrumentalización del software
(Sesión 3) potenció la visualización dinámica, facilitó la generación de conjeturas sobre
parámetros matriciales (a, b, c, d) y consolidó la argumentación matemática mediante
descripciones funcionales (ejemplo: "b modifica la inclinación en el eje x").
3. El lenguaje como indicador de apropiación conceptual: Las verbalizaciones estudiantiles
evidenciaron una progresiva internalización del producto matricial como objeto de exploración
(no solo cálculo), manifestando la consolidación de la génesis discursiva del ETM.
Si bien los resultados son promisorios, se reconocen dos limitaciones estructurales:
• El tamaño muestral reducido (10 estudiantes) y el contexto educativo específico restringen la
transferibilidad estadística de los hallazgos.
• La brevedad de la intervención (4 sesiones) imposibilita evaluar la permanencia de los
aprendizajes a mediano plazo.
Para superar estas barreras y profundizar los alcances, se proponen ampliaciones en el estudio:
• Incorporar la exploración explícita de la no conmutatividad (ejemplo: comparar efectos de
.
• Analizar el determinante como indicador de cambios de escala, orientación e invertibilidad.
En conclusión, este trabajo reafirma que la enseñanza del álgebra lineal debe fundamentarse en diseños
que articulen representaciones, herramientas y discurso matemático. La tecnología, lejos de reemplazar
el razonamiento lo potencia cuando se subordina a objetivos pedagógicos claros, se combina con fases
de manipulación no digital, y exige coordinación activa entre registros. La evolución observada en las
génesis del ETM corrobora que solo mediante esta integración multidimensional el producto de matrices
deja de ser un procedimiento abstracto para convertirse en un concepto explorado, instrumentado y
argumentado.
REFERENCIAS
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Felix De la Cruz Serrano
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Hidayanti, N. (2020). Analysis of student mistakes in completing matrix problems in the Linear Algebra
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Korstjens, I., & Moser, A. (2017). Series: Practical guidance to qualitative research. Part 4:
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Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies: Approche cognitive des instruments
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Turgut, M. (2022). Reinventing geometric linear transformations in a dynamic geometry environment:
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