Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2026), vol. 17, Núm. 1, pp 44-46
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v17i1.793
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Artículo original
Conexiones de la matemática y la biología en una tarea de modelación
matemática mediado por GeoGebra
Mathematical Modelling of Biological Phenomena: A GeoGebra-Supported
Study
Laura Jannet Chablé Álvarez 1, a
Flor Isabel Carrillo Lara 2, b
1 Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios No. 10, México
a ORCID: https://orcid.org/0009-0007-3001-0823
jannet1609@gmail.com
2 Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas, Pontificia
Universidad Católica del Perú, Perú
b ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4181-3513
f.carrillo@pucp.edu.pe
Resumen
Esta comunicación tiene como objetivo analizar conexiones entre la matemática y la
biología cuando resuelven una tarea de modelación matemática mediado por GeoGebra.
El análisis de los datos se realiza desde una perspectiva cognitiva, y algunos resultados
muestran que los conocimientos previos de los estudiantes favorecen la construcción de
representaciones mentales, fortaleciendo así el proceso de modelado de la situación real.
Además, el rol que juega la tecnología refuerza las etapas de la modelación matemática,
el cual les permite desarrollar competencias para relacionar las aplicaciones de modelos
geométricos con el comportamiento de los glóbulos blancos en una herida, dejando
evidencia que no es suficiente la definición de objeto matemático si no que la visualización
contribuye a su aprendizaje.
Abstract
This paper aims to analyze connections between mathematics and biology when solving a
mathematical modeling task mediated by GeoGebra. The data analysis is carried out from
a cognitive perspective, and some results show that students’ prior knowledge favors the
construction of mental representations, thus strengthening the modeling process of the real
situation. In addition, the role played by technology reinforces the stages of mathematical
modeling, which allows students to develop competencies to relate the applications of
geometric models to the behavior of white blood cells in a wound, providing evidence that
the definition of a mathematical object is not enough, but that visualization contributes to
its learning.
INTRODUCCIÓN
Esta comunicación muestra que el aprendizaje y la enseñanza de la matemática se puede alcanzar por
medio de la modelación matemática, a su vez, esta experiencia es una evidencia de la existencia de la
relación de la matemática con situaciones reales.
Existen grupos de investigadores que definen la modelación matemática como un proceso que relaciona
situaciones de la vida y la matemática (Pollak, 1968; Kaiser-Meβmer, 1986, Blum y Niss, 1991),
asimismo, el proceso de modelación estudia o propone un modelo matemático (Niss y Blum, 2020).
Otro aspecto del proceso, es identificar etapas o fases que llevan a determinar un modelo matemático,
conocido como ciclos de la modelación (Borromeo-Ferri, 2006, 2007).
Kaiser et al., (2006) mencionan que existen distintos intereses para emplear los procesos de modelación
mediante ciclos; los modelos propuestos tengan relevancia para su aplicación, identificar qué
competencias de modelado se pueden desarrollar, atender las dificultades que enfrentan los estudiantes
durante la resolución de una tarea matemática, el uso de las herramientas tecnológicas que sirven de
Laura Jannet Chablé Álvarez y Flor Isabel Carrillo Lara
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apoyo para la resolución de un problema, también la utilidad presente de la enseñanza de la matemática
y, finalmente, forme parte de un diseño curricular.
En ese sentido, el presente escrito retoma el interés en analizar el aprendizaje de las matemáticas
considerando modelos matemáticos que tenga un estrecha relación con la Biología, tomando en
consideración que proponer tareas de modelación permiten al estudiante desarrollar competencias de
aprendizaje (Borromeo-Ferri, 2018), también, que durante el proceso de modelación el estudiante
determina e interpreta los elementos que compone un modelo matemático que representa situaciones de
la vida cotidiana (Niss y Højgaard, 2011).
La literatura señala que la tecnología está tomando relevancia en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. En el proceso de la modelación matemática el uso de la tecnología sirve para experimentar,
simular, visualizar y calcular tareas o actividades de modelización (Blum, 2015). Greefrath (2011)
estima que el uso de herramientas tecnológicas se emplea para comprender el problema real y se
transforme a un leguaje matemático, la transformación que expresa se puede lograr mediante ciclos o
fases de modelación, debido a que emplear los recursos tecnológicos permite simplificar, relacionar,
visualizar y validar los datos del problema real a un modelo matemático. Por su parte, Molina-Toro et
al. (2019) señala que existen roles de la tecnología durante el proceso de modelación; sirve como
herramienta usándose de diferentes maneras en la resolución de fenómenos, permite reorganizar los
avances de cualquier conocimiento.
En particular, el proceso de modelación, Greefrath (2011) externa que la presencia de un ciclo de
modelación ofrece recursos para explicar las etapas o fases del proceso, en ese sentido, el uso de la
tecnología brinda soporte para comprender el problema y sea proyectado a un lenguaje matemático
porque simplifica y visualiza, en concreto la asignación de tareas digitales permite al estudiante simule
o manipule posibles soluciones. De la misma forma, la tecnología se emplea para construir
representaciones matemáticas que provienen de las ideas del estudiante, planificar los procedimientos,
construir modelos matemáticos y validar las posibles soluciones de cualquier tarea de modelación
(Daher y Shahbari, 2013).
Por lo anterior, el uso de la tecnología es un andamio para relacionar la matemática con situaciones de
la vida diaria, en específico, desarrollar competencias para resolver tarea que involucren el aprendizaje
de distintos contenidos matemáticos. Esta comunicación describe aspectos de modelación que se
observaron en el trabajo multidisciplinario entre la matemática y la biología, donde el rol que juega el
software GeoGebra fue el de construir, interpretar y visualizar el comportamiento de glóbulos blancos
en el cuerpo humano.
La propuesta de este trabajo multidisciplinario proviene de algunas problemáticas encontradas en la
literatura. Distintas investigaciones educativas atribuyen que hay diferentes dificultades para
comprender las Matemáticas. Abrate, et al., (2006) expresan que los estudiantes no reflexionan sobre
las tareas y problemas matemáticos que se les plantea, no indagan sobre datos y estrategias que los lleve
a la resolución de tareas.
Por su parte, Melgarejo et al. (2019) señala que para aprender matemática y específicamente en
Geometría no se observa avances en los procesos de razonamiento geométrico y en sus aplicaciones.
Asimismo, Sáenz et al. (2017) señala que los estudiantes enfrentan dificultades en las competencias de
pensamiento geométrico, esto se debe a que no logran interpretar y relacionar modelos gráficos con
situaciones cotidianas, sugiriendo que hay una necesidad de emplear estrategias para comprender los
diversos conceptos de Geometría.
Respecto al dominio de la Geometría, existen investigaciones que atienden las dificultades que emergen
en los estudiantes, Grando-Ortiz y Padilla-Escorcia (2020), y Pérez (2012) mencionan que mediante la
modelación el estudiante desarrolla competencias para el aprendizaje de cónicas, dado que potencializa
la comprensión de este tema, y el uso de un software permite acompañar el procedimiento de
visualización, construcción y de vistas algebraicas, así como la modelación de cónicas potencializa el
pensamiento geométrico con el uso de GeoGebra.
Por su parte, Krekic & Namestovski (2009) proponen que la simulación simbólica realizadas en
computadoras ofrecen un análisis y comportamientos de fenómenos, emplear simulación juega un rol
Conexiónes de la matemática y la biologia en una tarea de modelación matemática mediado por geogebra
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inductivo o deductivo porque se visualiza. En particular, Buteau (2016) emplea la idea de simulación en
tiempo real, en la cual analiza la epidemia de células autómata, identifica las consecuencias de la
evolución de ellas, y propone el modelo del costo para tratar la inmunización para combatir la epidemia.
Debido a las dificultades reportadas y la importancia de promover el pensamiento geométrico mediante
la modelación matemática en los antecedentes, este reporte de investigación tiene por objetivo: analizar
conexiones entre la matemática y la biología cuando resuelven una tarea de modelación matemática con
GeoGebra.
MATERIAL Y MÉTODOS
Con estudios empíricos, la investigación de Borromeo-Ferri (2018) ha aportado de manera eficaz el
aprender y enseñar matemática, a saber, la modelización matemática, la autora lo describe como el
camino para relacionar la matemática y la realidad/situaciones reales.
Asimismo, en el proceso de modelación están presente ciclos de modelación matemática, un aspecto
relevante del ciclo de modelación es que puede existir linealidad o no, es decir, se avanza y/o se
retroceder para modelar la relación de la realidad y la matemática (Borromeo-Ferri, 2018).
El ciclo de modelación desde una perspectiva cognitiva (Borromeo, 2006, 2007). A continuación, se
describen las etapas/fases presentes en el proceso de la modelación, Figura 1: Situación Real: presentar
el problema, el cual se puede describir con una figura o un texto. Después, el individuo trata de
comprender el problema apropiándose de una Representación Mental de la Situación: dependerá del tipo
de pensamiento matemático y/o experiencia que posea el estudiante permitirá que la situación problema
sea simplificada, en paralelo, se inicie el proceso de modelado. Con las dos etapas anteriores, los
conocimientos extramatemáticos que posee el estudiante produce un modelo real de la situación real,
esto es un intento de expresar esos conocimientos previos de las matemáticas guardados y ahora son
llevados para proponer una solución al problema en contexto. En consecuencia, el individuo propone un
Modelo matemático, la formalidad que exige la matemática, lo que es lo mismo, proponer un modelo
que involucre fórmulas, variables, parámetros, entre otros. En las siguientes etapas, el individuo trabaja
con los resultados que surgen del modelo matemático propuesto, llamado los resultados matemáticos.
Seguido por la interpretación de resultados a partir del modelo matemático, finalizando, con la
validación de los resultados matemáticos en la situación problema (Borromeo, 2006, 2007).
Figura 1
Ciclos de modelación
Borromeo, 2006.
Metodología
La Universidad de Guadalajara (UdG), México, la educación preuniversitaria trabaja con un diseño
curricular llamado Bachillerato General por Competencias. La unidad de aprendizaje, Matemática y
ciencia II, está diseñado para que los estudiantes desarrollen competencias disciplinares y extendidas,
con la finalidad de construir e interpretar modelos matemáticos mediante procedimientos geométricos y
variacionales para comprender situaciones reales. Estas competencias se promueven al desarrollar los
temas de elementos de geometría analítica y cónicas (Universidad de Guadalajara, 2025).
Laura Jannet Chablé Álvarez y Flor Isabel Carrillo Lara
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Con lo anterior, para evaluar los contenidos de elementos de geometría analítica y cónicas, se planteó
trabajar de manera multidisciplinaria, en este caso Matemática y Biología. En el contexto de la Biología
se consideró representar las características y el trabajo que realizan la célula en la sangre. En la médula
ósea se producen los tipos de glóbulos sanguíneo, en particular, los glóbulos blancos están en el sistema
inmunitario del cuerpo, los cuales combate infecciones y enfermedades, también son llamados
granulocitos (neutrófilos, eosinófilos y basófilos), los monocitos y los linfocitos (Instituto nacional de
cáncer, s.f.). En el trabajo que desarrollaron los alumnos fueron considerando los basófilos.
El trabajo se desarrolló con estudiantes de 4to. semestre de educación preuniversitaria (16 a 17 años).
El objetivo de la tarea fue construir e interpretar la relación existente entre representaciones geométricas
con situaciones reales, en particular, simular la función que ejercen los basófilos en una herida en la piel.
Los objetos matemáticos presentes en el desarrollo de la tarea de modelación son: esfera, circunferencia,
parábola, plano, cilindro. La construcción fue realizada usando el Software GeoGebra.
La situación es considerada bajo el proceso de modelación con el enfoque cognitivo de Borromeo-Ferri
(2018). Para el desarrollo de esta situación la profesora a cargo del grupo organizó un equipo de tres
estudiantes. Durante dos semanas los estudiantes trabajaron en equipo para construir una representación
de glóbulos blancos.
RESULTADOS
A continuación, se describe las etapas que se llevaron a la representación de los Basófilos y su
construcción con algunas cónicas.
Tabla 1
Etapas del proceso para modelar las características de los Basófilos.
Etapas
Descripción/ procesos
Comprender
la tarea (1)
Los estudiantes externaron sus conocimientos acerca del sistema inmunitario: por
ejemplo, cuando el cuerpo descubre una sustancia extraña, varios tipos de células
entran en acción (llamado respuesta inmune), las cuales protegen al cuerpo de
sustancias extrañas, virus y bacterias. Además, previamente en su clase de Biología
estudiaron tipo de célula: Neutrófilos, Eosinófilos, Basófilos, Linfocitos y Monocitos.
En particular, tuvo lugar una discusión entre los estudiantes para la selección de las
células, mediante ensayo y error elaborar las representaciones en GeoGebra.
Finalmente, los estudiantes se centraron en los Basófilos, el cual se encarga de
aumentar la circulación de la sangre para la cicatrización de una herida.
Simplificar
la tarea (2)
Identificaron y discutieron entre las vistas graficas (𝑅2 𝑜 𝑅3) de GeoGebra les
ayudaría a crear el prototipo que simula el Basófilo. Esta etapa tuvo varias versiones
previas del prototipo. Crearon cilindros, esferas y planos en la vista 𝑅3 en GeoGebra
y deslizadores.
De los conocimientos previos, decidieron representar y simular el proceso de
cicatrización de una herida en la piel del cuerpo humano.
Matematizar
(3)
Identificaron que las esferas representarían los glóbulos blancos, dentro de una esfera
se desprende otro tipo de glóbulo (color azul). Elaboraron un cilindro (representa la
vena) considerando los radios de las esferas, el diámetro del cilindro fue una condición
para simular la circulación de los glóbulos.
Trabajando
con
matemáticas
(4)
En la vista 𝑅2 realizaron un prototipo para que los objetos matemáticos se movieran y
realizaron el comportamiento de los glóbulos, para esto emplearon ecuaciones de la
circunferencia, ecuación de parábola, calcular diámetros de las esferas, radio de las
distintas esferas, colocar condicionales en el GeoGebra (emplearon contenidos de
programación). Por otro lado, construyeron dos planos, que representan la piel y la
Conexiónes de la matemática y la biologia en una tarea de modelación matemática mediado por geogebra
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herida, calcularon la distancia entre plano rojo (herida) y el diámetro de la esfera azul
(Basófilo).
Interpretar
(5)
Emplearon el cilindro para simular el recorrido de los glóbulos blancos, cuando se
desprende otro glóbulo azul es el que hace el trabajo de cicatrizar la herida. Con esta
simulación se cumple las funciones de los basófilos.
Validar (6)
El uso de los deslizadores es relevante porque permite la animación del prototipo de
la cicatrización de una herida.
DISCUSIÓN
A continuación, se describe los resultados obtenidos durante el desarrollo de la construcción de la
representación de glóbulos blancos (Figura 2) considerando el modelo cognitivo de Borromeo-Ferri
(2006).
La situación real presente en el proceso de modelación (etapa 1): El conocimiento previo del tema de
tipos de células, las ideas de qué tipo de glóbulos blancos son los que trabajan más en el sistema inmune
del cuerpo, debido a las constaste de accidentes leves en la piel, la elección de representar/simular una
herida en la piel era la adecuada. Este proceso de modelación distingue una situación real (Borromeo,
2006, 2007), debido a la importancia que tiene el cuerpo humano, a su vez, que el software GeoGebra
les ofrece visualizar las características y el comportamiento de los glóbulos blancos.
Representaciones mentales en el proceso de modelación para simular el recorrido de los basófilos (etapa
2). Las aportaciones cognitivas de cada estudiante son consideradas representaciones mentales.
Borromeo-Ferri (2018) determina que en esta etapa el estudiante asocia el problema real con una
solución, esto lo podemos observar cuando los estudiantes emplearon GeoGebra para simular sus
representaciones mentales, es decir, usar esferas para representar los glóbulos blancos y morados. En
paralelo, un cilindro donde deberían circular los glóbulos, un plano para representar la piel, y considerar
el camino que debería recorrer el glóbulo apoyándose de una parábola.
Modelo real durante el proceso de modelación (etapa 3). Partiendo de las representaciones mentales de
cada objeto matemático ahora tiene que ejercer una acción, de acuerdo con Borromeo-Ferri (2018), un
modelo real simplifica y estructura las representaciones mentales previas. Los glóbulos blancos tenían
que circular dentro del cilindro para eso emplearon condiciones para aparecer en un determinado
parámetro. El recorrido de un glóbulo azul hacia la herida (plano) una vez que llega la herida cicatriza,
a saber, la función parábola también necesito de condiciones y parámetros.
Figura 2
Etapas del proceso de modelación.
Conocimiento extramatemático (etapa 3 y 4). Esta etapa parte de la experiencia que tenga el estudiante
(Borromeo-Ferri, 2018), el aporte de un estudiante que tiene conocimientos de programación aporto en
el dinamismo de los glóbulos blancos y azules dado que empleó condicionales y agregó casillas para
cada objeto matemáticos.
Laura Jannet Chablé Álvarez y Flor Isabel Carrillo Lara
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Interpretación de los basófilos para cura una herida (etapa 5 y 6): el prototipo de un cilindro simulando
el lugar donde están los basófilos, cuando se detecta una herida en la piel los basófilos desprenden una
esfera azul la cual hace el recorrido a través de una parábola para llegar a zona afectada (herida). Asu
vez, en esta etapa los estudiantes muestran cómo trabajan las células y repiten el procedimiento para
validar la construcción y representación de los basófilos.
Conclusiones
Con este trabajo multidisciplinario se muestra aspectos del proceso de modelación, así como la
importancia de las etapas del ciclo de modelación para construir el comportamiento y la función que
tiene los glóbulos blancos en el cuerpo humano.
En principio, en la tarea de modelación realizada por los estudiantes se evidencia que los ciclos de
modelación no se comportaron de manera lineal, en este caso, hay una estrecha vinculación entre la
situación real y las representaciones mentales, debido a que las ideas generaban representaciones
mentales instantáneas e inmediatamente era importante seleccionar la vista grafica (𝑅2 𝑦 𝑅3 ), según la
pertinencia para construir una representación geométrica que modela la situación real, la cicatrización
de la herida. Cabe señalar que durante la construcción de las representaciones las etapas 1,2 y 3 se
repitieron, dejando evidencia que estas etapas se interceptan.
Seguidamente, en las etapas 3 y 4, donde los estudiantes trabajaron con conceptos matemáticos, la
tecnología realizó el rol de herramienta para la construcción (comportamiento y características de las
células), además, se empleó para dar movimiento a los cuerpos geométricos, dejando en claro que su rol
fue representar el fenómeno. De esto se obtiene que el software GeoGebra tuvo el rol de reorganizar y
ajustar los modelos geométricos para visualizar el trabajo que hacen los glóbulos blancos cuando
detectan una herida. Se puede señalar que la construcción de distintos modelos geométricos forma parte
de la visualización y explicación de la definición de los glóbulos blancos (basófilos).
Si bien es un reto trabajar con la tecnología porque siempre hay detalles por definir y mejorar, los
estudiantes confrontaron sus dificultades por medio de ensayo y error. Durante el desarrollo de las etapas
se observaron que los intereses personales y conocimientos previos de los estudiantes aportaron tanto
en superar las dificultades como en la construcción de los modelos geométricos. La propuesta de
relacionar Matemática y Biología superó la idea de aprender solo con lápiz y papel, donde la tecnología
tuvo un rol importante en el aprendizaje de los objetos matemáticos. Además, contribuye de manera
significativa a superar las dificultades cognitivas, y proponer soluciones creativas y motivadoras.
Finalmente, se evidencia que los estudiantes incrementaron y fortalecieron sus competencias respecto a
las representaciones geométricas, y la visualización dinámica aportó a su aprendizaje.
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