Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2026), vol. 17, Núm. 1, pp 34-39
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v17i1.792
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Artículo original
Idoneidad didáctica de un proceso de instrucción sobre optimización de
funciones reales de dos variables para estudiantes de economía
Didactic Suitability of an Instructional Process on Optimization of Real
Functions of Two Variables for Economics Students
Clever Paul Flores Huanca 1, a
Nancy Edith Saravia Molina 2, b
1 Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas,
Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú
clever.flores@pucp.edu.pe
2 Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas,
Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú
b ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2819-8835
nsaraviam@pucp.edu.pe
Resumen
La optimización matemática es un tema recurrente en carreras profesionales como la
matemática, ingeniería o economía. La investigación, empleando la noción de idoneidad
didáctica del marco teórico EOS, tiene como objetivo principal valorar la idoneidad
didáctica de un proceso de instrucción sobre optimización de funciones reales de dos
variables en alumnos de carrera de Economía. En esta investigación, de carácter
cualitativa, se identifican los significados de referencia de las derivadas parciales
involucrados en problemas de optimización, se adaptan indicadores de idoneidad didáctica
en sus seis facetas, y se lleva a cabo el análisis del proceso de instrucción implementado
por el profesor comparándolo con los indicadores de idoneidad. Se concluye que el proceso
de instrucción observado cumple en gran medida con los indicadores propuestos,
particularmente en las facetas epistémicas y cognitivas, lo cual lo convierte en un proceso
idóneo, considerando algunos aspectos de mejora en las otras facetas.
Abstract
Mathematical optimization is a recurring theme in professional careers such as
mathematics, engineering, and economics. Using the notion of didactic suitability of the
EOS theoretical framework, the main objective of this research is to assess the didactic
suitability of an instructional process on the optimization of real functions of two variables
in Economics students. In this qualitative research, the reference meanings of the partial
derivatives involved in optimization problems are identified, indicators of didactic
suitability are adapted in their six facets, and the instructional process implemented by the
teacher is analyzed by comparing it with the suitability indicators. The conclusion is that
the observed teaching process largely complies with the proposed indicators, particularly
in the epistemic and cognitive facets, which makes it a suitable process, considering some
aspects for improvement in the other facets.
INTRODUCCIÓN
La optimización matemática es un campo de estudio con amplias aplicaciones en disciplinas como la
matemática, la ingeniería, la física, la estadística y, particularmente, la economía. En este contexto, los
contenidos relacionados con el cálculo de una y de varias variables se constituyen como ejes
fundamentales en la formación matemática de los estudiantes universitarios de estas áreas. No obstante,
el aprendizaje de estos contenidos presenta múltiples desafíos, muchos de los cuales se originan en la
comprensión de conceptos previos del cálculo de una variable, en las dificultades para visualizar
representaciones en dos y tres dimensiones, en la interpretación gráfico-algebraica de los problemas de
optimización, y en la resolución de problemas contextualizados en situaciones profesionales.
Como parte del “Planteamiento del problema”, se realiza una revisión de antecedentes centrada con el
avance y desarrollo de investigaciones en la enseñanza-aprendizaje del cálculo multivariable (CMV).
Dicha revisión permite constatar la escasez de estudios didácticos específicos en esta área que no hay
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suficientes investigaciones en didáctica de las matemáticas en temas del área; muestra las dificultades
que manifiestan los estudiantes con los temas del CMV como la comprensión y resolución de problemas
con 3 variables, comprensión de las notaciones utilizadas para diferenciabilidad de funciones de varias
variables, necesidad de interpretación geométrica o gráfica para asimilar las definiciones y propiedades,
generalización o analogías inadecuadas entre propiedades de temas del cálculo de una variable con el
CMV; y presenta aquellos conocimientos con que debería contar un profesor que dicte temas de
diferenciabilidad y optimización tales como conocimientos de las propiedades de la diferenciabilidad,
uso de representaciones gráficas, uso de herramientas tecnológicas.
En cuanto a la justificación, se destaca la relevancia del estudio de la optimización en el CMV dentro
de la formación profesional de los estudiantes de Economía, tanto por su presencia en los planes de
estudio como por su utilidad en la toma de decisiones en contextos reales. Asimismo, se muestra que la
idoneidad didáctica es una herramienta útil para la reflexión en la planificación y evaluación de un
proceso de instrucción.
La investigación pretende responder a la pregunta “¿Qué aspectos se pueden mejorar de un proceso de
instrucción sobre optimización de funciones de dos variables para estudiantes de Economía?”. Para ello,
se plantea como objetivo general “Valorar la idoneidad didáctica de un proceso de instrucción de
optimización de funciones reales de dos variables implementado con alumnos de la carrera de
Economía”.
MATERIAL Y MÉTODOS
Se trabaja el marco teórico Enfoque Ontosemiótico (EOS) desarrollado en los últimos años por Godino,
et al (2017), así como los aspectos necesarios de algunas herramientas de análisis de este marco teórico.
De los sistemas de prácticas del EOS, se describen principalmente los significados de referencia como
aquellos que se construyen a priori en el análisis o proceso de instrucción, los cuales se pueden encontrar
en los textos académicos relacionados con el cálculo multivariable. y la idoneidad didáctica. En cuanto
a la idoneidad didáctica, es aquella herramienta que mide el grado o nivel en que cierto proceso de
instrucción posee características que lo hacen óptimo o adecuado para lograr la adaptación entre
significados personales aprendidos por los estudiantes y los significados institucionales deseados o
implementados por el profesor (Godino, et al, 2020).
Asimismo, la investigación, de carácter cualitativa, pretende describir y analizar el fenómeno, el cual es
el proceso de instrucción. Para ello, se adaptan los procesos metodológicos propuestos por Hernández,
et al, (2014). A partir de los cuales, se plantean siete fases de investigación: Planteamiento del problema;
Aspectos teóricos y metodológicos; Identificación del significado de referencia; Adaptación de los
indicadores de idoneidad; Descripción y contexto del proceso de instrucción; Análisis del proceso de
instrucción; y Consideraciones finales.
RESULTADOS
En primer lugar, como parte de la “Identificación de los significados de referencia”, se analizan textos
académicos e investigaciones relacionadas con el objeto matemático. Entre estos están “Cálculo en
varias variables. Trascendentes tempranas” (Stewart, 2012); “Matemáticas para el análisis económico”
(Sydsæter et al., 2012); Balcaza, et al (2017); Tenorio y Martín, (2015). Los significados de referencia
identificados corresponden a los de las derivadas parciales que se encuentren involucrados en la
resolución de problemas de optimización y su posterior aplicación a la economía. Se identifican 4
significados: la derivada parcial como expresión algebraica; la derivada parcial para determinar planos
tangentes; la derivada parcial como tasa de variación; y la derivada parcial para hallar máximo y
mínimos de una función de dos variables. Posteriormente, se plantea la conexión entre los significados
de referencia de la derivada parcial y la optimización en la economía, donde se determina que, entre los
cuatros significados identificados recurrentemente al resolver problemas de optimización, se utilizan
principalmente dos: la derivada parcial como expresión algebraica y la derivada parcial para hallar
máximos y mínimos.
En segundo lugar, como parte de la “Adaptación de los indicadores de idoneidad”, se toman como
referencia los indicadores propuestos por Pino-Fan y Parra-Urrea (2021); y Verón, et al (2024), quienes
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economía
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analizan procesos de instrucción de funciones reales de una variable y derivadas de funciones reales de
una variable. Esta adaptación de indicadores de idoneidad se realiza para cada una de las seis facetas
(epistémica, cognitiva, interaccional, mediacional, afectiva y ecológica) tomando en cuenta los
significados de las derivadas parciales y su aplicación en la economía.
En tercer lugar, como parte de la “Descripción y contexto del proceso de instrucción”, se describe el
contexto de la investigación, donde se detalla la información relevante a las clases observadas, el
profesor seleccionado y los temas de interés que se enseñan en estas clases. El curso dictado por el
profesor es “Matemáticas para Economía y Finanzas 2”, el cual es de carácter obligatorio en la formación
de la carrera Economía según la universidad privada donde trabaja el profesor. El tema “Optimización
de funciones de dos variables” se dicta como parte de la unidad de “Cálculo diferencial de funciones de
varias variables” según el sílabo del curso. Además, este tema se dicta como aplicación de las derivadas
parciales. La cantidad de clases observadas son seis, entre clases teóricas y prácticas durante dos
semanas.
Luego, se lleva a cabo la recopilación de la información necesaria acerca del proceso de instrucción
descrito anteriormente para el análisis de la idoneidad didáctica. Se recurre a la técnica “triangulación
de datos”, la cual consiste en emplear diferentes fuentes y técnicas de recolección de información para
enfocar la validez, amplitud y profundidad en la investigación (Jiménez, 2012; Hernández, et al, 2014).
Para ello, se utilizan las siguientes técnicas de recolección de datos:
• Observaciones de clases, las cuales se videograban desde un celular y una tablet que enfocó al
salón de clases, al profesor y a la pizarra mientras el profesor desarrollaba el tema. Los
indicadores de idoneidad didáctica sirven como guía de observación de clases.
• Entrevista semiestructurada con el profesor, la cual se realiza para complementar lo recopilado
en las videograbaciones, considerando la preparación de la clase, hasta su posterior evaluación
durante las prácticas del curso. Para ello, se elabora un cuestionario con algunas preguntas y
temas guía sobre la base de los indicadores de idoneidad didáctica construidos previamente.
• Materiales de clase didácticos, los cuales consisten en los materiales utilizados para la enseñanza
de clases como las presentaciones de clase, las hojas de ejercicios y las evaluaciones tomadas a
los alumnos.
DISCUSIÓN
Con relación a la idoneidad epistémica del proceso de instrucción, se observa que el profesor presenta
situaciones-problema variados de la derivada parcial aplicada a la optimización en economía mediante
la modelización de funciones, presenta adecuadamente las definiciones y procedimientos de
optimización para optimización sin restricciones y optimización con restricciones. Sin embargo, la gran
mayoría de problemas se limitaban a un trabajo en representación algebraica de la optimización de
funciones en comparación las representaciones gráficas de las funciones y su explicación de máximos,
mínimos y restricciones. Las representaciones gráficas únicamente se utilizan en la introducción de cada
tipo de optimización y para ejemplificar el punto silla. Además, el significado de derivada parcial como
tasa de cambio no se evidencia en los ejemplos con excepción de la interpretación del multiplicador de
Lagrange en un par de problemas. Asimismo, tampoco se evidencian espacios para que el estudiante
cree problemas de optimización o situaciones donde se pueda plantear el procedimiento de la
optimización para consolidar la comprensión del tema.
Con relación a la idoneidad cognitiva del proceso de instrucción, se observa que los estudiantes sí
cuentan con los conocimientos previos para llevar el tema de optimización de funciones de dos variables,
debido a que previamente se evaluaron temas de reglas de derivación, optimización de funciones reales
de una variable y el cálculo de derivadas parciales. Además, el profesor suele hacer analogías entre el
procedimiento utilizado para optimizar funciones de una variable con el procedimiento propuesto para
optimizar funciones de dos variables para que el estudiante pueda comprender que el tema tiene
similitudes con un tema antes visto y que, por lo tanto, no es difícil, según afirma el profesor. Según la
programación del curso y del profesor, se incluyen dos sesiones prácticas para revisar problemas
relacionados con la optimización de funciones de dos variables. Asimismo, estos conocimientos son
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evaluados en la Evaluación Continua 3 para verificar la apropiación de los significados por parte de los
alumnos, lo cual se evidencia en el análisis de las respuestas de los alumnos que lograron comprender,
en su mayoría, el procedimiento de optimización con restricciones y optimización sin restricciones pese
a los errores de cálculo relacionados con la resolución de sistemas de ecuaciones u otros. También se
encontraron problemas que exigen alta demanda cognitiva donde el estudiante requiera plantear
funciones y restricciones a partir de cierto contexto.
Con relación a la idoneidad interaccional del proceso de instrucción, se observa que el profesor da
espacios de autonomía a sus alumnos para resolver problemas en clase, así como da su disposición a
supervisar el proceso formativo mediante las actividades de clase en las sesiones prácticas y las
evaluaciones. Sin embargo, a pesar de que la presentación del tema es lento y calmado, pero la
organización realizada por el profesor en pizarra puede dificultar la interacción con el alumno al hacer
anotaciones. Además, no se evidencian espacios para actividades de interacción entre alumnos, como
trabajos grupales u otras dinámicas, los cuales son aspectos para tomar en cuenta debido a que son
relevantes para que la interacción sea idónea.
Con relación a la idoneidad mediacional del proceso de instrucción, se encuentra que, a pesar de contar
con los recursos tecnológicos necesarios, no es frecuentemente utilizado para presentar representaciones
gráficas de la optimización y que no se limiten únicamente a representaciones y cálculo algebraicos.
Asimismo, las condiciones del aula no son propicias debido al espacio limitado de las carpetas y
extensión del salón, el horario temprano de la clase, así como factores externos como el ruido, puesto
que estos factores pueden influir en la comprensión del estudiante e, incluso, en su ausentismo en clase.
Pese a ello, el tiempo asignado y planificado para cada sesión fue óptimo para cubrir los temas y, así,
revisar varios problemas de optimización. salvo para introducir el tema, explicar el concepto de punto
silla y ejemplificar qué es optimizar con restricciones de igualdad.
Con relación a la idoneidad afectiva del proceso de instrucción, se observa que los temas y la
introducción al tema de optimización de funciones de dos variables es orientado más hacia al área
matemática y sin enfatizar su relevancia en el área económica, sino hasta resolver problemas de
aplicación trabajados en la sesión práctica, lo cual es un aspecto que debe considerarse para un proceso
de instrucción de estudiantes que siguen la carrera de Economía. Además, Se encontró que el
procedimiento propuesto por el profesor es repetitivo como un “receta”, lo cual es favorable para que el
estudiante tenga más confianza en recordar el método, pero que los problemas no se limiten únicamente
a aplicar “recetas”, sino también a considerar análisis como es el caso de problemas donde se requiera
plantear expresiones que modelicen un contexto el cual no está explícito en el enunciado. Asimismo, el
profesor se encuentra pendiente con que el estudiante se sienta cómodo y no rechace el tema.
Con relación a la idoneidad ecológica del proceso de instrucción, se observa que los significados de las
derivadas parciales propuestos en este trabajo se implementaron adecuadamente según el sílabo del
curso y los problemas propuestos abarcan situaciones aplicadas a la economía donde se modelizan
funciones como utilidad, ingreso, costo, producción, entre otros. Sin embargo, no se evidencian espacios
hacia el uso de tecnologías que permitan que el estudiante comprenda la optimización desde otra
perspectiva y manipule gráficas. Asimismo, no se evidencia que el profesor promueva la reflexión por
la investigación del tema de optimización en la economía. Además, el profesor relaciona el tema de
optimización de funciones de dos variables con temas y cursos previos, mas no con cursos posteriores
como la “Microeconomía”, “Macroeconomía”, “Matemática avanzada para economistas” u
“Optimización y métodos dinámicos”.
Conclusiones
Se concluye que la investigación cumple con el objetivo general, el cual es valorar la idoneidad didáctica
de un proceso de instrucción de optimización de funciones reales de dos variables en alumnos de
Economía. Para ello, durante la investigación, se identifican significados de referencia de la derivada
parcial involucrados en la optimización, se adaptan indicadores de idoneidad didáctica a partir de
trabajos relacionados con el objeto matemático, y, con ello, se lleva a cabo el análisis y la valoración
mediante la comparación entre los indicadores de idoneidad y el proceso de instrucción implementado
por el profesor.
Idoneidad didáctica de un proceso de instrucción sobre optimización de funciones reales de dos variables para estudiantes de
economía
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En cuanto a los análisis de la idoneidad epistémica e idoneidad cognitiva, se concluye que el proceso de
instrucción muestra una buena representatividad entre lo que el profesor implementó en sus clases
comparado con lo que sería idóneo implementar, así como también muestra una buena relación e
instrucción de los significados de la derivada parcial y su aplicación con la optimización en los
estudiantes. Esto se debe a que varios de los indicadores se cumplen y son evidenciados según lo
analizado previamente.
En cuanto a los análisis de las idoneidades interaccional, mediacional, afectiva y ecológica, se concluye
que a pesar de que evidencia que varios indicadores se cumplen según el proceso de instrucción
observado, hay aún aspectos por mejorar, los cuales se describen a continuación. Aunque se fomente la
autonomía del estudiante y la presentación del tema sea claro y calmado, es importante considerar la
realización de interacciones grupales y mantener un orden al presentar resoluciones de problemas en
pizarra debido para, así, mantener una buena interacción en clase que asegure la comprensión del tema.
Asimismo, se evidencian otros aspectos de mejora como el horario las clases, la disposición del espacio
del aula en cuanto a su aforo y el aprovechamiento de herramientas tecnológicas más frecuentes para
que el alumno se encuentre en ambiente cómodo y mantenga su atención con el curso. Además, es
relevante considerar que en un proceso de instrucción a alumnos de economía, se debe enfatizar la
importancia de la optimización en la economía y la promoción del análisis de problemas donde se
requiera plantear expresiones que no estén explícitamente en el enunciado. Por último, hay aspectos por
mejorar como la reflexión del tema de optimización en la economía por parte de los estudiantes y la
conexión del tema con cursos posteriores para evidenciar deben ser aspectos importantes por considerar
en el dictado para que un alumno pueda mantener el interés con la carrera y, así, comprender de una
mejor manera los temas.
Algunos aspectos que limitaron este trabajo de investigación son el tiempo para coordinar las
observaciones de clase y entrevista con el profesor debido a la programación de las seis sesiones
observadas y los permisos requeridos para llevar a cabo la investigación. A pesar de que no se
encontraron suficientes investigaciones de referencia que abordaran temas del cálculo multivariable
haciendo uso de la idoneidad didáctica del EOS, el presente trabajo resulta un gran aporte a la
investigación en didáctica de las matemáticas en el cálculo multivariable, particularmente, en la
optimización de funciones de dos variables en estudiantes de Economía, puesto que propone indicadores
de idoneidad didáctica, así como la identificación de significados de referencia de la derivada parcial
involucrados en la optimización.
Se recomienda, para futuros análisis de procesos de instrucción de optimización de funciones de dos
variables, adaptar los indicadores propuestos en este trabajo para el grupo objetivo de estudiantes que
se pretenda analizar, sean alumnos de diferentes carreras o en instituciones educativas que usen otros
libros de texto. Asimismo, se plantea ampliar esta investigación a procesos de instrucción donde se
enseñe optimización de funciones de más de dos variables, así como optimización cuando las
restricciones no son de igualdad, sino de desigualdad. Además, se sugiere investigar qué otras
herramientas tecnológicas existen y se utilicen en procesos de instrucción donde se enseñe la
optimización matemática aplicada a diferentes rubros profesionales como la ingeniería o la
administración. Finalmente, se recomienda investigar qué otros métodos de optimización matemática,
donde no se utilicen las derivadas parciales, existen y cuáles son sus aplicaciones en el ámbito
profesional.
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