Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2026), vol. 17, Núm. 1, pp 01-11
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v17i1.789
1
Artículo original
Desarrollo del razonamiento algebraico elemental a través de la
modelización de tablas de proporcionalidad con la hoja de cálculo de excel
The attainment of elementary algebraic reasoning capacities mediated by the
instrumentation of ratio and proportion tables within the Excel computing
platform
Cecilia Gaita Iparraguirre 1, a
Segundo Ramón Mendoza
Ancajima 2, b
Francisco Ugarte Guerra 3, c
1 Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas, Pontificia Universidad
Católica del Perú, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7827-9262
cgaita@pucp.edu.pe
2 Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas, Pontificia Universidad
Católica del Perú, Perú
b ORCID: https://orcid.org/0009-0000-3262-6372
3 Instituto de Investigación sobre Enseñanza de las Matemáticas, Pontificia Universidad
Católica del Perú, Perú
c ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8658-9471
smendozaancajima@gmail.com
fugarte@pucp.edu.pe
Resumen
El Razonamiento Algebraico Elemental (RAE) puede desarrollarse eficazmente desde los
primeros grados de la escolaridad. Este trabajo se centra en el diseño, experimentación y
análisis de respuestas a situaciones didácticas sobre proporcionalidad, modelizadas
mediante tablas dinámicas con el uso de la hoja de cálculo en Excel. Los resultados
obtenidos con estudiantes entre 11 y 12 años, constatan que las situaciones diseñadas para
hacer uso del arrastre, ayudan a transitar del lenguaje numérico, característico de las tablas
estáticas, al lenguaje simbólico, rasgo esencial de un nivel consolidado de algebrización.
Concluimos que el uso de la hoja de cálculo tiene un gran potencial para desarrollar el
RAE, pues permite modificar argumentos, basados inicialmente en generalizaciones
locales, a otros que implican generalizaciones globales. En ese proceso, además
observamos que la hoja de cálculo, propicia una evolución en el lenguaje empleado, pues
su sintaxis es un puente entre el lenguaje verbal y el simbólico.
Abstract
Elementary Algebraic Reasoning (EAR) can be developed effectively from the early
grades of school. This work focuses on the design, experimentation, and analysis of
responses to teaching situations on proportionality, modeled using dynamic tables in Excel
spreadsheets. The results obtained from students between 11 and 12 years old confirm that
situations designed to drag help them transition from the numerical language, typical of
static tables, to the symbolic language, an essential feature of a consolidated level of
algebraization. We conclude that the use of spreadsheets has great potential for developing
EAR, as it allows modifying arguments initially based on local generalizations to others
that involve global generalizations. In that process, we also observe that spreadsheets
promote an evolution in the language used, as their syntax is a bridge between verbal and
symbolic languages.
INTRODUCCIÓN
La generación de situaciones que permitan la evolución del Razonamiento Algebraico Elemental (RAE)
a lo largo de la escolaridad es un tema de interés para la comunidad de educadores matemáticos (Godino
et al., 2012; Aké y Godino, 2018; Burgos y Godino, 2019; Burgos y Godino, 2021). Así, Blanton y
Kaput (2003; 2005; 2011) definen el razonamiento algebraico como la actividad matemática
caracterizada por la generalización de ideas matemáticas, expresadas en formas cada vez más formales.
En esa misma línea, Godino et al. (2014ª) señalan que el razonamiento algebraico se relaciona
directamente con procesos de representación, generalización y formalización de patrones y
Desarrollo del razonamiento algebraico elemental a través de la modelización de tablas de proporcionalidad con la hoja de cálculo de
excel
2
regularidades en la actividad matemática. En el proceso de evolución de dicho razonamiento, se progresa
en el uso de diferentes tipos de lenguajes y formas simbólicas para resolver las tareas.
La proporcionalidad se introduce en la Educación Primaria “por medio de tablas numéricas y el
planteamiento de cuestiones dirigidas a identificar las llamadas propiedades homogénea y aditiva de la
función de proporcionalidad” (Burgos y Godino, 2019, p. 127). Modificando la información que
aparecen en las tablas de proporcionalidad se pueden generar condiciones idóneas para la formulación
de hipótesis asociadas a la relación existente entre los datos particulares mostrados en la tabla,
identificando razones internas y externas, lo que luego permitirá obtener nuevos valores que preserven
la relación. De esa manera, las situaciones asociadas a la proporcionalidad pueden contribuir al
desarrollo del RAE (Burgos, 2020).
Por lo anterior, proponemos que el diseño de situaciones sobre proporcionalidad con información dada
mediante tablas, busque propiciar que los estudiantes evolucionen hacia niveles superiores de RAE,
teniendo en cuenta unas variables didácticas, tal se explicarán en el apartado de Diseño y análisis a
priori.
MATERIAL Y MÉTODOS
El Enfoque Ontosemiótico (EOS) propone un modelo de Razonamiento Algebraico Elemental (RAE)
que considera estadios de funcionamiento del conocimiento matemático aplicados a la resolución de
problemas, donde el cambio o variación de alguna variable en la tarea puede dar lugar no solo a nuevas
prácticas matemáticas, sino también a un progresivo nivel de algebrización (Godino et al., 2014ª).
Los niveles del RAE, adaptados a tareas de proporcionalidad (Gaita et al., 2023), se describen de la
siguiente manera: el nivel 0 de algebrización se asocia con el significado de tipo aritmético, es decir, a
tareas cuyos procedimientos de solución solo consideran cálculos aritméticos; en el nivel proto-
algebraico 1 se consideran tareas en la que se requiere el procedimiento de reducción a la unidad; el
nivel proto-algebraico 2 se asocia a tareas de valor faltante, es decir, tareas en cuya solución se requiere
el uso de incógnitas, así como al planteamiento y resolución de ecuaciones que tienen la forma  = .
En el nivel consolidado de algebrización 3 las tareas de proporcionalidad, modelizadas mediante tablas
de valores, implican que, para ser resueltas, se utilice la reducción a la unidad en el campo numérico de
los racionales positivos (Q+).
De otro lado, con respecto al uso de la hoja de cálculo en situaciones de proporcionalidad, sostenemos
que, según el uso que un estudiante le dé, permite identificar rasgos asociados a alguno de los niveles
descritos previamente. Por ejemplo, si se cuenta con valores en dos columnas y se quiere establecer la
relación que existe al dividir dos valores de una misma fila, se puede proceder de alguna de las siguientes
maneras: I) Se realiza la división de cada par de números particulares y se completa la tercera columna
con los resultados obtenidos; así como el empleo de la hoja de cálculo como una calculadora que efectúa
la operación entre cada pareja de elementos de una misma fila. Véase la Figura 1.
Figura 1
Uso de la hoja de cálculo como tabla estática y como calculadora
II)
Se define la operación para la primera fila, haciendo referencia a la posición de la celda y no al valor
numérico que contiene. Luego, se emplea el arrastre para generar los cocientes de las demás filas. Es
decir, se define la operación de manera general, tal como se puede observar en la Figura 2.
Cecilia Gaita Iparraguirre; Segundo Ramón Mendoza Ancajima; Francisco Ugarte Guerra
3
Figura 2
Uso de la herramienta arrastre
En el último caso, la celda cumple el rol de variable por lo que resulta una buena aproximación a la
noción de variable que se emplea en el álgebra con notación simbólica, tal como propone Artigue (2011).
Así, la representación del resultado de una celda como  es un paso previo al empleo de una
notación simbólica formal como , que implica no solo uso de incógnitas, sino también de
manipulación de dichas variables, rasgo esencial del nivel de razonamiento 3.
Luego, este procedimiento muestra la manipulación de valores generales y operaciones entre ellos, con
el objetivo de determinar algún valor faltante en una tabla que, por el contexto de la situación y los
valores dados, preserva la proporcionalidad directa. Por lo tanto, su uso nos muestra rasgos de un
razonamiento algebraico de nivel 3.
Metodología
El método de investigación empleado fue la ingeniería didáctica, (Godino et al., 2014b). Para lo cual, se
consideraron las siguientes fases, tal como se describen a continuación:
a) Análisis preliminar
En esta fase se realiza una revisión de la literatura acudiendo a varias fuentes de información, como
artículos de divulgación científica e investigaciones en Didáctica de las Matemáticas, en relación al
objeto matemático en cuestión.
b) Diseño y análisis a priori
Se diseña una situación didáctica sobre proporcionalidad, en un contexto de mezclas de pinturas,
modelizadas mediante tablas de valores y se adaptan tareas abordadas previamente (Tourniaire y Pulos,
1985; Gaita et al., 2023). Para la solución, se prevé el uso de estrategias que luego darán cuenta de la
evolución en el razonamiento proporcional de los estudiantes (Obando et al., 2014). Además, se definen
variables didácticas las que, al ser modificadas, provocarán un cambio en el conocimiento (Brousseau,
2007). Las variables consideradas en la investigación se refieren a las características de los datos
mostrados en la tabla y a los procedimientos que se siguen para resolver la tarea. Estas variables
didácticas son las siguientes:
• Variable 1: relación de multiplicidad entre los datos.
• Variable 2: procedimientos de cálculo, como hallar el término faltante en una igualdad de
fracciones equivalentes.
• Variable didáctica 3: exhaustividad y orden de los elementos de la tabla.
• Variable didáctica 4: relación entre valores, la cual puede ser de tipo “local” entre parejas de valores
consecutivos hasta una relación de tipo “global”, que implique determinar una regla general de
formación.
• Variable didáctica 5: campo numérico al que pertenecen los datos y la constante de
proporcionalidad.
• Variable didáctica 6: recurso empleado, el cual puede ser lápiz y papel o una hoja de cálculo.
Desarrollo del razonamiento algebraico elemental a través de la modelización de tablas de proporcionalidad con la hoja de cálculo de
excel
4
A continuación, se presenta la situación didáctica, formada por dos tareas; para cada una de ellas, se
presenta el enunciado, se explicitan los valores que toman las variables didácticas y se describen los
comportamientos matemáticos esperados. La naturaleza de la información que se presente en cada tarea
debería propiciar que la hoja de cálculo se emplee de manera distinta en cada caso.
Tarea 1
La mamá de Juan tiene una ferretería en la cual se realizan matizados de pinturas a pedido del cliente.
El día de hoy un cliente hizo un pedido de 20 litros de tono azul que, según los cálculos de la mamá de
Juan, resulta de la mezcla de 14 litros de pintura azul y 6 litros de pintura blanca. Juan se pregunta:
¿Cómo debería hacer mi mamá si otro cliente le pide otras cantidades de pintura, pero de la misma
tonalidad de azul? Bueno, a Juan se le ocurrió crear la siguiente tabla.
Blanca(litros)
4
5
6
7
8
9
10
11
275
Azul (litros)
14
¿Cómo puedes ayudar a Juan a construir dicha tabla?
Indica qué has hecho para completar dicha tabla.
Valores que toman las variables didácticas:
Variable 1: Excepto los números 6 y 9, los demás valores que aparecen en la tabla no tienen un factor
común.
Variable 2: se precisa de cálculos particulares para hallar los valores que faltan en los casilleros; se
puede utilizar la hoja de cálculo como una calculadora. El reconocimiento de la regla de formación
sugiere la reducción a la unidad.
Variable 3: la tabla de valores no es exhaustiva, pues los valores se presentan de manera dispersa y no
responden a una regla de formación. Será necesario añadir valores como la unidad.
Variable 4: la razón externa es un valor racional positivo (
 󰇜.
Variable 5: racionales positivos (Q+).
Variable 6: se usará la hoja de cálculo como calculadora y se introducirán variables con nombres de
celdas.
Comportamientos matemáticos esperados: Una posible solución es considerar que las fracciones son
equivalentes, tomando como referencia a
, aplicando productos cruzados sin necesidad de llegar a
establecer la unidad. La hoja de cálculo puede usarse como una calculadora como se muestra a
continuación.
Figura 3
Segunda solución de la tarea de proporcionalidad 1
La tarea también se puede resolver haciendo uso de fórmulas que involucran celdas y empleando el
arrastre.
Cecilia Gaita Iparraguirre; Segundo Ramón Mendoza Ancajima; Francisco Ugarte Guerra
5
Tarea 2
Juan está pensando cómo seguir obteniendo tonalidades de azul con diferentes litros de pintura blanca
y azul, respectivamente, tal como se muestra en la tabla.
Blanca(litros)
6
21
46
127
356
Azul (litros)
14
612
¿Cómo puedes ayudar a Juan a completar dicha tabla?
Indica qué has hecho para completar dicha tabla.
Valores que toman las variables didácticas:
Variable 1: Los valores que aparecen en la tabla no son múltiplos entre sí.
Variable 2: Si bien se pueden realizar cálculos particulares para hallar los valores que faltan en los
casilleros, será más eficiente realizar operaciones con las celdas.
Variable 3: la tabla de valores no es exhaustiva y no responden a una regla de formación. Para esta tarea,
el reconocimiento de la regla de formación exige, por ejemplo, la estrategia de la reducción a la unidad
que generaría el coeficiente de proporcionalidad o considerar fracciones equivalentes para hallar el
cuarto término faltante.
Variable 4: la razón externa es un valor racional positivo (
 󰇜.
Variable 5: racionales positivos (Q+).
Variable 6: luego de la identificación del coeficiente de proporcionalidad de forma explícita o implícita,
se puede usar la hoja de cálculo con la opción de arrastre.
Comportamientos matemáticos esperados: Una solución esperada es el empleo de la técnica del
producto cruzado para hallar el faltante, procedimiento que no es otro que el del uso de fracciones
equivalentes. Al emplear la hoja de cálculo, se propicia que la técnica se extienda a
 
, a través de
la referencia a las celdas que contienen los valores conocidos y desconocido: 
 
. Esto se representa
en la Figura 4.
Figura 4
Segunda solución de la tarea de proporcionalidad 2
De esa manera, el procedimiento se generaliza, pues será válido sean cuales sean los valores que se
ubiquen en las celdas  y . Para enfatizar en las características que deben tener los datos que
formen parte de una misma tabla de proporcionalidad, el docente podrá solicitar a los estudiantes que
completen la tabla con otros valores, no necesariamente enteros.
c) Implementación
En la implementación de la situación didáctica participaron 23 estudiantes de entre 11 y 12 años de edad,
como parte de sus clases de matemáticas. Los alumnos se distribuyeron en dos sesiones y en días
Desarrollo del razonamiento algebraico elemental a través de la modelización de tablas de proporcionalidad con la hoja de cálculo de
excel
6
diferentes. En ambas sesiones se desarrollaron una serie de trayectorias didácticas relacionadas con la
tarea 1 y 2, tales como: lectura y desarrollo de la tarea; resolución de una ficha de refuerzo; uso de la
hoja de cálculo, trabajo grupal de dicha tarea y cierre de la actividad por parte del profesor. Para la
recolección y sistematización de los resultados se emplean videograbaciones y listas de cotejo con
descriptores relativos a la resolución de las tareas. Los resultados se analizan en el siguiente apartado.
RESULTADOS
Análisis a posteriori: resultados y su discusión
En las respuestas a las tareas 1 y 2 se observaron diferentes procedimientos de solución, lo que era
previsible por la naturaleza de la información que cada una de ellas presentaba. Esto permitió establecer
algunas conclusiones en relación a la evolución de los estudiantes en los niveles del RAE.
Resultados de la tarea 1
Tabla 1
Resultados al resolver la tarea 1
Aspecto a
considerar
Descriptores
fa
%
Resolución de
la tarea
1. Resuelve correctamente la tarea 1
21
91,30
2. Respondió incorrectamente la tarea 1
2
8,70
Uso de un tipo
de lenguaje
3. Mediante un lenguaje numérico, usando Excel como una
calculadora aporta información sobre cómo ha construido la
tabla
14
60,87
4. Mediante un lenguaje simbólico, introduce una variable
colocando el nombre de las celdas, por ejemplo: B2, C3, etc.
14
60,87
5. Usa símbolos como: *, =, ( ), x, / para operar con ayuda
del Excel
22
95,65
Relación entre
los valores
6. Establece la razón 3:7 en una columna o en la justificación
(“reducción a un agrupamiento mínimo que hace las veces de
unidad en la situación”)
15
65,22
7. Relaciona los valores de las dos pinturas mediante
“razones equivalentes” por medio de la regla de tres simple
directa usando las fórmulas de Excel
15
65,22
8. El valor resultante de 14:6 que es 2.3333... lo multiplica
por cada valor de la primera variable para obtener los otros
valores de la segunda variable
3
13,04
9. Para hallar el valor de cada casillero, relaciona los nombres
de las celdas en el Excel, por ejemplo: =D1*F2/F1
12
52,17
10. Para hallar el valor de cada casillero, establece una
relación entre números, por ejemplo: =7*4/3
11
47,83
11. Obtiene mediante el arrastre el resto de valores de la
segunda variable, y así constata el valor constante al obtener
los valores sucesivos de los cocientes
1
4,35
Cecilia Gaita Iparraguirre; Segundo Ramón Mendoza Ancajima; Francisco Ugarte Guerra
7
Procesos
iniciales de
generalización
12. Completa cada columna cuyos cálculos son
independientes de las otras columnas
8
34,78
13. El proceso de generalización de tipo "local" al establecer
la relación entre algunos valores de la tabla de
proporcionalidad
8
34,78
14. Establece una generalización de tipo "global" al
completar los valores en la tabla de proporcionalidad a
partir de la razón entre una fracción determinada
14
60,87
Según los resultados del descriptor 4 de la tarea 1, más del 60% de los estudiantes han hecho uso de un
lenguaje simbólico al emplear el nombre de la celda como variable; este tipo de procedimientos
evidencian rasgos de razonamiento algebraico pues, pese a que la celda contenga un valor particular, al
operar con el nombre de la celda, el resultado será válido sea cual sea el valor que allí se coloque. Tal
como se observa en la Figura 5.
Figura 5
Solución de tarea 1 con la introducción de una variable con el nombre de la celda
Respecto al descriptor 11 de la tarea 1, se muestra la solución de un estudiante que obtiene los valores
faltantes mediante el arrastre, lo que corresponde a un nivel de generalización aún mayor y que
corresponden a rasgos de un razonamiento algebraico de mayor nivel. Tal como se observa en la Figura
6.
Figura 6
Ejemplo del descriptor 11 de la tarea 1
Existe una notable diferencia entre las prácticas matemáticas que se llevan a cabo cuando se abordan
problemas de proporcionalidad con tablas estáticas (las que se resuelven con lápiz y papel) o con tablas
dinámicas (haciendo uso de la hoja de cálculo de Excel). Así, en el primer caso, los estudiantes buscan
relacionar los valores faltantes, mediante operaciones con números particulares y esperan encontrar
como respuesta números naturales. Tal como señalan Tourniaire y Pulos (1985), cuando mencionan que
los estudiantes desarrollan mejor las tareas de proporcionalidad que involucran cantidades discretas,
frente a aquellas que sean continuas, como en este problema. Asimismo, el hecho de que la razón de
proporcionalidad no sea entera generó que algunos estudiantes hagan uso erróneo de estrategias aditivas
o que crearan reglas de formación que no preservaban la proporcionalidad, tal como lo advierten las
investigaciones de Block (2006), Block (2021) y Gaita et al. (2023).
Desarrollo del razonamiento algebraico elemental a través de la modelización de tablas de proporcionalidad con la hoja de cálculo de
excel
8
Resultados de la tarea 2
Tabla 2
Resultados al resolver la tarea 2
Aspecto a
considerar
Descriptores
fa
%
Resolución de
la tarea
1. Resuelve correctamente la tarea 2
33
84,62
2. Deja en blanco la tarea 2
0
0
3. Resuelve incorrectamente la tarea 2
2
15,38
Uso de un tipo
de lenguaje
4. Mediante lenguaje natural, aporta información sobre
cómo ha construido la tabla.
30
76,92
5. Mediante un lenguaje simbólico, usando Excel como una
calculadora aporta información sobre cómo ha construido
la tabla
28
71,79
6. Hace uso de alguna variable al momento de establecer
las relaciones entre valores, por ejemplo: B2, C5, etc.
26
66,67
Relación entre
los valores
7. Establece la razón 3:7 en una columna o en la
justificación (“reducción a un agrupamiento mínimo que
hace las veces de unidad en la situación”)
3
7,69
8. Establece la razón 1:2,333… en una columna o en la
justificación (“reducción a la unidad”)
1
2,56
9. Relaciona los valores de las dos pinturas mediante
“razones equivalentes” por medio de la regla de tres simple
directa usando las fórmulas de Excel
16
41,03
10. El valor resultante de 14:6 que es 2.3333... lo multiplica
por cada valor de la primera variable para obtener los otros
valores de la segunda variable
9
23,08
11. Para hallar el valor de cada casillero, relaciona los
nombres de las celdas en el Excel, por ejemplo: =D1*F2/F1
10
25,64
12. Para hallar el valor de cada casillero, establece una
relación entre números, por ejemplo: =7*4/3
13
33,33
13. Obtiene mediante el arrastre el resto de valores de la
segunda variable, y así constata el valor constante al
obtener los valores sucesivos de los cocientes
11
28,21
14. Completa el casillero en blanco que se encuentra por
encima del valor 612, de manera correcta
21
53,85
Procesos
iniciales de
generalización
15. Completa cada columna cuyos cálculos son
independientes de las otras columnas
5
12,82
16. El proceso de generalización de tipo "local" al
establecer la relación entre algunos valores de la tabla de
proporcionalidad
15
38,46
Cecilia Gaita Iparraguirre; Segundo Ramón Mendoza Ancajima; Francisco Ugarte Guerra
9
17. Establece una generalización de tipo "global" al
completar los valores en la tabla de proporcionalidad
20
51,28
Se puede observar que más del 70% de estudiantes emplean más de un lenguaje en la solución de la
tarea, tanto natural como simbólico. Además, usan la hoja de cálculo como calculadora para realizar
operaciones con números particulares, como se muestra a continuación.
Figura 7
Evidencias de la solución de la tarea 2 en los descriptores 10 y 12
Algunos estudiantes han establecido una generalización de tipo "global", al completar los valores en la
tabla de proporcionalidad, a partir de la razón entre una fracción determinada. La razón 3:7 no fue tan
usada, como en tareas anteriores, ya que, con el manejo de las herramientas del Excel, permitía que se
puedan usar otras estrategias para completar las tablas dinámicas. Véase la Figura 8.
Figura 8
Ejemplo de una generalización de tipo global
Muchos estudiantes han hallado el valor de cada casillero, relacionando los nombres de las celdas del
Excel, por ejemplo: =D1*F2/F1. Otros han realizado un arrastre erróneo, en el sentido que en algunos
estudiantes los valores se repetían en todas las celdas, mientras que a otros estudiantes sí les permitía
completar con los valores correctos. Solo un estudiante pudo establecer un “arrastre” que cumplía para
cualquier valor que se coloque en la tabla, ya que fijaba el valor, por ejemplo, ($D$10) y servía para el
cálculo en las sucesivas celdas.
Desarrollo del razonamiento algebraico elemental a través de la modelización de tablas de proporcionalidad con la hoja de cálculo de
excel
10
El campo numérico no ha sido esta vez un problema. Esto último coincide con Gaita et al. (2023), cuando
afirman que es posible modelizar la proporcionalidad mediante tablas dinámicas, en este caso fue la hoja
de cálculo del Excel. En este sentido, también Araujo (2019) sostiene que la hoja de Excel permite al
estudiante reconocer regularidades entre los valores en situaciones de proporcionalidad, así como la
visualización de los datos de diferente manera, facilitando la realización de inferencias entre las
relaciones entre los valores, así como la explicación de estrategias.
Es importante señalar que las respuestas de los estudiantes, no coinciden, en su totalidad, con los
propuestos en el análisis a priori. Entre las coincidencias destacan el uso de lenguaje y la relación
encontrada entre valores de ambas variables. Además, comprobamos que el cambio de los valores de
las variables didácticas, para esta tarea, permite que los estudiantes evolucionen en el RAE.
DISCUSIÓN
La inclusión de la hoja de cálculo permite que los estudiantes desarrollen prácticas matemáticas con un
mayor nivel de razonamiento algebraico. Se han puesto en evidencia rasgos asociados a diferentes
niveles del RAE, los cuales se asocian al uso de números particulares, pasando por generalizaciones del
tipo local hasta generalizaciones de tipo global. A ello ha contribuido la manipulación de las
herramientas propias de la hoja de cálculo tales como fijar celdas, definir operaciones entre celdas que
cumplen el papel de variables, establecer la razón externa y con la herramienta arrastre poder completar
toda la tabla.
El uso de la denominación de la celda para realizar operaciones puede ser visto como un tránsito entre
la manipulación de valores particulares asociados a números y la manipulación de símbolos propios del
álgebra. Asimismo, la hoja de cálculo puede emplearse para generar actividades que promuevan el
desarrollo del RAE a partir de la realización de tareas que involucran tablas de proporcionalidad,
evolucionando en los lenguajes empleados y en las generalizaciones realizadas.
Finalmente, con una gestión adecuada de las variables didácticas, se pueden generar nuevas situaciones
que demanden cada vez mayores niveles de razonamiento algebraico, desde un nivel incipiente de
algebrización (RAE 0-1) hasta un nivel consolidado de algebrización (RAE 3), que debe ser
característico de la secundaria.
Este trabajo se desarrolló como parte del proyecto CAP PI1029 Razonamiento algebraico
elemental generalizado para el desarrollo de las competencias matemáticas del currículo
en Educación Secundaria, con el apoyo de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
REFERENCIAS
Aké, L. y Godino, J. D. (2018). Análisis de tareas de un libro de texto de primaria desde la perspectiva
de los niveles de algebrización. Educación Matemática, 30(2), 171-
201.https://enfoqueontosemiotico.ugr.es/documentos/Ake&Godino_2018.EducacionMatemati
ca.pdf
Araujo, R. (2019). O RACIOCÍNIO PROPORCIONAL E O USO DO EXCEL: Um olhar para a Gênese
Instrumental [Tesis de maestría, Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e
Tecnologia]. https://tede.bc.uepb.edu.br/jspui/handle/tede/3607
Artigue, M. (2011). Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo y aportaciones de la
aproximación instrumental. Cuadernos de Investigación en Educación Matemática, 8, 13-33.
Blanton, M. L., y Kaput, J. (2003). Developing elementary teachers’ “algebra eyes and ears:
Understanding Characteristics of Professional Development that Promote Generative and Self-
Sustaining Change in Teacher Practice”. Teaching Children Mathematics, 10, 70-77.
Blanton, M. L., y Kaput, J. (2005). Characterizing a Classroom Practice That Promotes Algebraic
Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education. 36(5), 412–446.
http://www.jstor.org/stable/30034944
Blanton, M.L., y Kaput, J. (2011). Functional Thinking as a Route Into Algebra in the Elementary
Grades. In: Cai, J., Knuth, E. (eds) Early Algebraization. Advances in Mathematics Education.
Cecilia Gaita Iparraguirre; Segundo Ramón Mendoza Ancajima; Francisco Ugarte Guerra
11
Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-17735-4_2.
Block, D. (2006). Se cambian fichas por estampas Un estudio didáctico sobre la noción de razón
“múltiplo” y su vinculación con la multiplicación de números naturales. Educación Matemática,
18(2), 5-36.
Block, D. (2021). “Los saltos de las ranas”. Estudio de una secuencia didáctica de proporcionalidad, con
problemas de comparación de razones, en quinto grado de primaria. Educación
matemática, 33(2), 115-146. https://doi.org/10.24844/em3302.05
Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas en matemáticas.
Zorzal
Burgos, M. & Godino, J. D. (2021). Assessing the epistemic analysis competence of prospective primary
school teachers on proportionality tasks. International Journal of Science and Mathematics
Education, 20, 367–389. https://doi.org/10.1007/s10763-020-10143-0
Burgos, M. (2020). Niveles de algebrización en el razonamiento proporcional desde las perspectivas
institucional y personal. Implicaciones para la formación de profesores de matemáticas. (Tesis
doctoral). Universidad de Granada.
https://enfoqueontosemiotico.ugr.es/tesis/Tesis_MBurgos_2020.pdf
Burgos, M. y Godino, J.D. (2019). Emergencia de razonamiento proto-algebraico en tareas de
proporcionalidad en estudiantes de primaria. Educación Matemática, 31(3), 117-
150.https://enfoqueontosemiotico.ugr.es/documentos/Burgos_Godino_EM2018.pdf
Gaita, C., Wilhelmi, M., Ugarte, F. y Gonzales, C. (2023). Indicadores de niveles de razonamiento
algebraico elemental en educación primaria en la resolución de tareas de proporcionalidad con
tablas de valores. Educación Matemática, 35(3), 49-81. https://doi.org/10.24844/EM3503.02
Godino, J. D. Aké, L., Gonzato, M., & Wilhelmi, M. R. (2014a). Niveles de algebrización de la actividad
matemática escolar. Implicaciones para la formación de maestros. Enseñanza de las Ciencias,
32(1), 199-219. https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.965
Godino, J. D., Castro, W., Aké, L. y Wilhelmi, M. D. (2012). Naturaleza del razonamiento algebraico
elemental. Boletim de Educação Matemática - BOLEMA, 26(42B), 483-511.
https://doi.org/10.1590/S0103- 636X2012000200005
Godino, J.D., Rivas, H., Arteaga, P., Lasa A., y Wilhelmi M.D. (2014b). Ingeniería didáctica basada en
el enfoque ontológico – semiótico del conocimiento y de la instrucción matemáticos.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 34(2-3), 167-200. https://revue-
rdm.com/2014/ingenieria-didactica-basada-en-el/
Obando, G., Vasco, C. E. y Arboleda, L. C. (2014). Enseñanza y aprendizaje de la razón, la proporción
y la proporcionalidad: un estado del arte. Relime, 17(1), 59-81.
https://www.relime.org/index.php/relime/article/view/211
Tourniaire, F., y Pulos, S. (1985). Proportional Reasoning: A Review of the Literature. Educational
Studies in Mathematics, 16(2), 181–204. http://www.jstor.org/stable/3482345