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OBSTÁCULOS Y ERRORES EN EL APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE
FUNCIÓN EN LOS ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL
MICAELA BASTIDAS DE APURÍMAC
OBSTACLES AND ERRORS IN LEARNING OF THE FUNCTION CONCEPT IN
THE STUDENTS OF THE NATIONAL UNIVERSITY OF APURIMA –
MICAELA BASTIDAS
Alejandro Manuel Ecos Espino
Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurímac
Recibido 14-12-03 / Aceptado 15-02-23
RESUMEN
Objetivo: determinar los obstáculos y
errores que manifiestan los
estudiantes de la Universidad
Nacional Micaela Bastidas de
Apurímac en relación al uso de las
diversas representaciones del
concepto de función. Método:
estudio descriptivo con diseño no
experimental de tipo descriptivo
simple. La recopilación de la
información se hizo a través de la
aplicación de un cuestionario
compuesto de 9 preguntas abiertas, a
una muestra de 99 estudiantes de las
diferentes carreras profesionales de
la Universidad. Resultados:
prevalece en los estudiantes la
concepción de función como una
ecuación. Existe un mejor
desempeño cuando trabajan con una
expresión algebraica a la cual
pueden evaluar; cuando trabajan en
otras formas de representación
muestran dificultades para llevar a
cabo coordinaciones y conversiones.
Conclusión: se identificó el
obstáculo de tipo epistemológico y
cognitivo relacionado a la
consideración de que una función
debe estar escrita a través de una
sola expresión algebraica; y el
obstáculo didáctico de la no
reversibilidad de la conversión que no
les permite efectuar conversiones en
sentido contrario. Los errores
encontrados se refieren a la
asociación de una función con una
fórmula o una curva regular, y la
evaluación que se hace de esta en
base a la similitud que puedan tener
con otras funciones tipos.
Palabras clave: obstáculos, errores,
función.
Objective: To identify obstacles and
errors that manifest students of the
National University of Apurimac –
Micaela Bastidas regarding the use of
different representations of the
function concept. Method:
Descriptive study with non-
experimental design of simple
descriptive type. The collection of
information was done through a
questionnaire composed of 9 open
questions, a sample of 99 students
from different careers of the
University. Results: Students prevail
with the conception of function as an
equation. There is a better
performance when they work with an
algebraic expression that can be
evaluated; when they are working in
other forms of representation show
difficulties to carry out coordination
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and conversions. Conclusion: It was
identified the obstacle of
epistemological and cognitive type
related to the consideration that a
function must be written by a single
algebraic expression; and didactic
obstacle of non-reversibility of the
conversion that does not allow them
to carry out conversions in the
opposite direction. The errors found
concern the association of a function
with a formula or a regular curve, and
the assessment made on the basis of
this similarity they may have with
other type functions.
Keywords: obstacles, errors,
function.
INTRODUCCIÓN
En Didáctica de la Matemática, es
muy conocido que la enseñanza
habitual de conceptos relacionados al
cálculo se basa en la transmisión de
conocimientos con un énfasis muy
marcado en el desarrollo de
habilidades algebraicas,
desatendiéndose el discernimiento
intelectual para la comprensión de
ideas, nociones y conceptos.
Al respecto, Moreno (1) indica que la
enseñanza de los principios del
cálculo resulta bastante problemática
y, aunque seamos capaces de
enseñar a los estudiantes a resolver
de forma más o menos mecánica
algunos problemas estándar, tales
acciones están muy lejos de lo que
supondría una verdadera
comprensión de los conceptos y
métodos del pensamiento de esta
parte de la matemática.
El concepto de función es muy
importante para la formación de los
futuros profesionales de nivel
universitario. Su aprendizaje
adecuado permitirá modelar
situaciones de la vida real y trabajar
sin muchas dificultades con
conceptos más avanzados que
hagan uso del él. Al respecto,
Eisenberg (2) señala que la función
es un concepto crucial en la
comprensión de la matemática y que
desarrollar en los estudiantes una
sensibilidad para las funciones debe
ser uno de los objetivos primordiales
del currículo.
En relación al concepto de función,
Artigue (3) encontró rupturas entre
las definiciones dadas por los
estudiantes y los criterios que utilizan
en las tareas de reconocimiento de
objetos funcionales o de clasificación
de funciones y no-funciones dadas
en registros diferentes. Estos criterios
traducían una concepción de la
noción de función que no se
organizaba en torno a la definición,
sino en relación con prototipos
comunes encontrados (como la
continuidad), de la asociación entre
función y fórmula o de la asociación
función-curva regular.
Evangelidou et al (4) realizaron un
estudio sobre las concepciones de
estudiantes universitarios acerca del
concepto de función. Encontraron
que un gran porcentaje de
estudiantes identificaron una función
con el concepto específico de
“función uno a uno”. También
encontraron la tendencia a buscar
una relación analítica entre dos
variables y que conectaban la noción
de “función” con un tipo de diagrama
(cartesiano o una aplicación). Por el
contrario, al enfrentarse a
expresiones algebraicas, no aparece
una clara comprensión de la
definición de función. Afirman que la
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mayoría de los estudiantes parecen
identificar las formas estereotípicas
familiares de la enseñanza
preuniversitaria como funciones.
De la Rosa (5) encontró que los
estudiantes muestran la falta del
concepto de función lineal en el
lenguaje natural y la carencia de la
habilidad de visualización (la
conversión bidireccional entre la
gráfica y la expresión algebraica). El
mismo investigador, encontró que los
docentes tienen muy arraigada la
idea de las funciones escritas con
una sola expresión algebraica, por lo
tanto este representa un gran
obstáculo epistemológico (6).
Los conceptos que se abordan en
matemática no son accesibles por
medio de la percepción ni mucho
menos de manera instrumental. La
manera que tenemos para acceder a
ellos es a través de representaciones
externas. Duval (7) afirma que no
hay conocimiento sin representación.
Este mismo autor plantea que las
representaciones semióticas son
producciones constituidas por el
empleo de signos que pertenecen a
un sistema de representación, el cual
tiene sus propias restricciones de
significado y de funcionamiento. Una
figura geométrica, un enunciado en
lengua natural, una fórmula
algebraica, una gráfica, son
representaciones semióticas que
pertenecen a sistemas semióticos
diferentes (8).
La adquisición conceptual de un
objeto matemático se basa en el uso
de más registros de representación
semiótica y la creación y el desarrollo
de sistemas semióticos nuevos. En
tal sentido, si se llama semiosis a la
aprehensión o la producción de una
representación semiótica, y neosis a
la aprehensión conceptual de un
objeto, afirma que la neosis es
inseparable de la semiosis. Sostiene
que el análisis de los problemas de
aprendizaje de las matemáticas y de
los obstáculos a los cuales se
enfrentan regularmente los alumnos
debe conducir a que se reconozca
esta afirmación. Esto va ligado con el
hecho de que no puede haber
comprensión en matemáticas sino se
distingue un objeto de su
representación, de manera que el
recurso a una pluralidad de registros
de representación de cierto objeto
permite ir consolidando una red
conceptual que mejora el nivel de
aprendizaje de dicho objeto
matemático (9).
Considera que la actividad intelectual
consiste esencialmente en la
transformación de las
representaciones semióticas en la
perspectiva de elaborar nuevas
representaciones. Plantea dos
grandes tipos de transformaciones: el
tratamiento (dentro de un sistema de
representación) y la conversión (entre
registros de sistemas de
representaciones diferentes). (10)
A partir de ello, expresa que la
actividad conceptual implica la
coordinación de los registros de
representación, y plantea que la
conversión de las representaciones
es para el aprendizaje, una actividad
tan fundamental como las actividades
de formación o de tratamiento. Esto
porque solo la conversión puede
favorecer la coordinación de los
registros de representación. (9)
En todo este proceso de construcción
del conocimiento matemático
aparecen sistemáticamente errores y
Obstáculos y errores en el aprendizaje del concepto de función en los estudiantes de la universidad Nacional Micaela
Bastidas de Apurímac
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obstáculos que influyen en el
aprendizaje de los estudiantes, por lo
que se debe incluir criterios de
diagnóstico, corrección y superación
mediante actividades que promuevan
el ejercicio de la crítica sobre sus
propias producciones.
Mulhem (11) sostiene que los errores
surgen en la clase generalmente de
manera espontánea y sorprenden al
profesor. Son persistentes,
particulares, de cada individuo y
difíciles de superar porque requieren
de una reorganización de los
conocimientos en el alumno. Plantea
que predominan los errores
sistemáticos con respecto a los
errores por azar u ocasionales. Los
estudiantes en el momento no toman
conciencia del error. Algunos errores
se gestan en la comprensión o el
procesamiento que hace el
estudiante de la información que da
el profesor.
Socas (12) afirma que un obstáculo
es un conocimiento adquirido, no una
falta de conocimiento. Este tiene un
dominio de eficacia. Es resistente, y
resultará más resistente cuanto mejor
adquirido esté o cuanto más haya
demostrado su eficacia y su potencia
en el anterior dominio de validez. El
estudiante lo utiliza para producir
respuestas adaptadas en un cierto
contexto. Cuando se usa fuera de
ese contexto genera respuestas
inadecuadas, incluso incorrectas. Es
indispensable identificarlo e
incorporar su rechazo en el nuevo
saber. Después de haber notado su
inexactitud, continúa manifestándose
esporádicamente.
Selden y Selden (13) clasifica los
obstáculos en: epistemológicos, si
surgen a partir de la naturaleza de
aspectos particulares del
conocimiento matemático; cognitivos,
si surgen de la cognición de un
individuo sobre un tópico matemático
concreto; y didácticos, si surgen a
partir de características particulares
de la enseñanza de las matemáticas.
Los estudiantes ingresantes a la
Universidad Nacional Micaela
Bastidas de Apurímac, incluso de
niveles superiores, muestran un bajo
nivel de comprensión sobre
conceptos matemáticos, mostrando
una preferencia por el trabajo en el
registro algebraico. Los libros de
texto recomendados por los docentes
en los sílabos y en los planes de
estudio siguen esta misma tendencia,
prevaleciendo el uso de la
representación algebraica, con
escasas situaciones o problemas
para llevar a cabo conversiones con
otros tipos de representación.
En virtud a lo anterior, la
investigación pretende determinar los
obstáculos y errores que cometen los
estudiantes de la Universidad
Nacional Micaela Bastidas de
Apurímac en la articulación de
diversos registros de representación
del concepto de función. La hipótesis
que planteamos fue que los
obstáculos y errores que cometen los
estudiantes en el proceso de
articulación de registros de
representación del concepto de
función son de naturaleza cognitiva y
didáctica
MATERIAL Y MÉTODOS
El método de investigación utilizado
en esta investigación fue el
descriptivo, y el diseño de
investigación descriptivo simple. La
muestra fue de 99 estudiantes de las
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diferentes carreras de la Universidad
Nacional Micaela Bastidas de
Apurímac, distribuidos de la siguiente
manera: 33 de Ingeniería de
Informática y Sistemas, 32 de
Ingeniería de Minas, 27 de Ingeniería
Agroindustrial y 07 de Educación
Matemática e Informática. Estos
estudiantes ya habían cursado el
curso de Matemática Básica, donde
se lleva la Unidad: Funciones.
Se aplicó un cuestionario compuesto
de 9 preguntas abiertas, las cuales
fueron construidas de manera tal que
el estudiante muestre su forma de
abordar los diferentes registros de
representación del concepto de
función. Los registros de
representación considerados en la
construcción de las preguntas fueron
los siguientes:
Registro analítico (RA): cuando
hacemos referencia a la definición
de función mediante una expresión
algebraica.
Registro verbal (RV): cuando el
lenguaje común es utilizado para
representar situaciones del mundo
real. Estas pueden ser modeladas
en otros registros.
Registro tabular (RT): corresponde
a los valores numéricos de la
función organizados en tablas de
valores.
Registro gráfico (RG): es la
representación en el plano
cartesiano, incluyendo los
convenios implícitos en la lectura
de gráficos.
La descripción de las acciones
esperadas son las siguientes:
Tabla 01. Acciones a realizar con los registros de representación
RESULTADOS
Los resultados obtenidos en relación
a la concepción de los estudiantes
acerca del concepto de función
muestran que el 39% concibe como
una expresión algebraica o ecuación;
un 7%, como una gráfica y otro 7%,
como un conjunto de pares
ordenados; con lo cual, el 53%
identifica a una función con una de
sus formas de representación. Otro
7% concibe a una función como un
procedimiento mediante el cual su
gráfica debe ser cortada por una
vertical en un solo punto. Sin
embargo, se evidencia en sus
respuestas la aplicación de este
procedimiento de manera mecánica,
sin una justificación clara de por qué
la intersección se debe dar en un
solo punto. Por otro lado, el 11% de
los estudiantes concibe a una función
como una relación; sin embargo, no
Reconocimiento de los elementos de un sistema de
representación semiótico
RV, RA, RG, RT
Transformaciones internas en un registro de
representación semiótico
TV, TA, TG, TT
Conversiones entre sistemas de representación
semióticos
CAV, CAG, CAT,
CVG
Coordinación entre diferentes sistemas de
representación semióticos
CAV, CAG, CAT,
CVG
Producción de representaciones semióticas en la
resolución de una tarea
PSV, PSA, PSG, PST
Obstáculos y errores en el aprendizaje del concepto de función en los estudiantes de la universidad Nacional Micaela
Bastidas de Apurímac
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describen la condición principal que
debería cumplir para que sea una
función. Esta condición es
identificada solo por el 6% del total
de estudiantes. Se observa que más
del 50% de estudiantes de las
carreras de Ingeniería confunden una
función con una de sus formas de
representación, y que prevalece en
ellos el trabajo dentro del registro
algebraico, lo cual pone en evidencia
la naturaleza didáctica de las
dificultades que enfrentan.
El 62% de estudiantes respondieron
correctamente la pregunta 2 del
cuestionario, efectuando las
acciones: RV, RA, CAV, CAT, CAT.
El 8% no respondió la pregunta. El
30% respondió de manera incorrecta,
evidenciando dificultades para
efectuar RA y RV. Tal es el caso del
estudiante 40:
Gráfico 01. Respuesta del estudiante 40
El estudiante no reconoce los
elementos de una función dentro de
la expresión algebraica. Interpreta
incorrectamente la expresión
“variable independiente”. Confunde la
función con una de sus
representaciones; en este caso, un
polinomio de primer grado, lo cual le
lleva a efectuar incorrectamente la
acción CAV, y, como consecuencia,
errar en la conversión CAV.
El 11% de estudiantes respondieron
correctamente la pregunta 3. Las
acciones que plantearon fueron: RA,
CAG, PSG, CAG, CGV, PSV. Otro
6% respondió bien sin plantear
alguna justificación o argumento. El
7% no respondió la pregunta. El 76%
respondió incorrectamente,
mostrando dificultades en la acción
RA. Esto se observa en la respuesta
del estudiante 82:
Gráfico 02. Respuesta del estudiante 82
El estudiante no discrimina
adecuadamente entre variable
independiente y dependiente. Esta
dificultad en RA, le lleva a efectuar la
coordinación CAV de manera
errónea y, como consecuencia, fallar
en la conversión CAV; con lo cual, la
interpretación de la expresión dada
es incorrecta. No recurre a las
coordinaciones CAG y CAT como
argumento para resolver el problema.
El 28% de estudiantes respondieron
la pregunta 4 en forma correcta,
haciendo uso de las acciones: RG,
CGT, CGT, CGV, PSV. El 5%
respondió correctamente sin plantear
argumento o justificación. El 11% no
respondió la pregunta. El 56%
respondió de manera incorrecta,
observándose dificultades en la
acción RG, como el caso siguiente:
Gráfico 03. Respuesta del estudiante 36
La concepción que una función debe
ser una curva y no un punto, muestra
que el estudiante confunde la función
con una de sus representaciones; en
este caso la gráfica. La coordinación
CGT que le permite identificar el
punto (1,-2) no es bien utilizada en la
justificación de su respuesta. Esta
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dificultad no le permite realizar de
manera adecuada CGV, por lo cual
la conversión CG V que implica la
interpretación de la gráfica, no es
correcta.
El 3% respondió correctamente la
pregunta 5. Sus respuestas se
basaron en las acciones: RG, RA,
CGA, CGA, PSA. El 66% de
estudiantes no respondieron la
pregunta. El 31% respondió de
manera incorrecta, observándose
dificultades para efectuar RG y RA,
como en el siguiente caso:
Gráfico 04. Respuesta del estudiante 14
El estudiante no identifica los
elementos significativos del gráfico
que le permitirán encontrar la
expresión solicitada; solo se limita a
buscar para cada parte de la gráfica,
una función especial ya estudiada y
conocida por él; que tenga gráfica
similar. La coordinación CGA, y, en
consecuencia, la conversión CGA,
no se hacen adecuadamente, por lo
cual el ajuste gráfico que requiere la
identificación de la expresión
xfy
es incorrecto. Se observa el
obstáculo relacionado a considerar
que una función debe estar
representada por una sola expresión
algebraica. Una gráfica compuesta
de diferentes partes se ve como
varias funciones.
El 5% de los estudiantes
respondieron correctamente la
pregunta 6. Las acciones que
siguieron fueron RV, RA, CAV, CVA,
PSA. El 18% no respondió la
pregunta. El 77% respondió
incorrectamente, mostrando
dificultades en RV y RA, como se
muestra en el siguiente caso:
Gráfico 05. Respuesta del estudiante 67
El estudiante no identifica los
elementos significativos del
enunciado que le pueden permitir la
construcción de la expresión
xfy
solicitada. Si bien se observa la
noción de correspondencia, no hay
una interpretación correcta de los
términos “más de 100” y “menos de
100”. Estas dificultades en RV
generan acciones erróneas en la
coordinación CAV y en la posterior
conversión CVA; de manera que la
modelización de la situación
propuesta no es adecuada.
El 12% de los estudiantes
respondieron correctamente la
pregunta 7, efectuando las acciones
RT, RA, CTG CGA, CTA, PSA. El
13% respondió bien sin plantear
argumento o justificación. Otro 13%
no respondió la pregunta. El 62% no
respondió bien la pregunta,
observándose dificultades para
efectuar las acciones RT y RA, como
el siguiente caso:
Gráfico 06. Respuesta del estudiante 52
Si bien, identifica la relación de
dependencia entre las dos variables
propuestas, el criterio de
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dependencia no es interpretado
correctamente, ya que se confunde el
valor de la pendiente con el término
independiente de la expresión. Lo
anterior genera errores en la
coordinación CTA y en la
conversión CTA; con lo cual, el
ajuste numérico necesario para
identificar la expresión
xfy
no se
efectúa correctamente. Muy pocos
estudiantes recurren a la acción PSG
como apoyo a su respuesta.
El 18% de los estudiantes
respondieron correctamente la
pregunta 8. Las acciones que
realizaron fueron: RA, RT, CAT, CAT.
El 21% no respondió la pregunta. El
61% no respondió bien, mostrando
dificultades para efectuar RA, como
se observa en el siguiente caso:
Gráfico 07. Respuesta del estudiante 25
Los valores 0,666…; 0.158 y
2
no
se ponen en correspondencia con lo
que plantea la expresión; solo
procede como si
xf
representará a
la función identidad. Esta dificultad
observada en RA, no le permite
realizar la coordinación CAT ni la
conversión CAT de manera efectiva;
por lo cual, el proceso de cálculo de
valores solicitado no es el correcto.
El 1% respondió correctamente la
pregunta 9, manifestando las
acciones: RG, CGT, CGT, PST. El
9% no respondió la pregunta. El 90%
respondió de manera parcialmente
correcta esta pregunta. Las
dificultades que presentaron los
estudiantes se relacionaron con la
interpretación de los puntos abiertos
en la gráfica. Esto les lleva a asignar
imágenes a valores “x” que no
forman parte del dominio, como en el
caso de x = -3; y de manera similar,
se asigna a un valor “x” una imagen
que no le corresponde, como en el
caso de x = 2. Estas dificultades
genera errores en la conversión CGT
y en la coordinación CGT, con lo
cual, la lectura de la gráfica es
errada. Tal es el caso de la respuesta
del siguiente estudiante:
Gráfico 08. Respuesta del estudiante 44
DISCUSIÓN
El análisis de las preguntas del
cuestionario reflejan las múltiples
dificultades que enfrentan los
estudiantes cuando tienen que llevar
a cabo procesos de reconocimiento,
coordinación y conversión de
representaciones referidas al
concepto de función.
En general, prevalece un aprendizaje
basado en la representación
algebraica, como lo evidencia el alto
porcentaje de respuestas correctas
en la pregunta 2; sin embargo, este
aprendizaje solo le permite efectuar
de manera efectiva procesos de
tratamiento dentro de este registro y
provoca problemas de coordinación
con otras representaciones. Esto
concuerda con lo señalado por Duval
(9) quien plantea que una
comprensión mono registro es una
comprensión que no permite ninguna
transferencia. Esto nos permite
concluir que los estudiantes no han
tenido muchos espacios que
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favorezcan la coordinación entre
representaciones del concepto de
función; con lo cual no han
desarrollado la capacidad para
discriminar las unidades significantes
propias de cada representación y que
permiten esta coordinación. La
ausencia de esta capacidad en los
estudiantes pone en evidencia la
naturaleza didáctica de las
dificultades que encuentran. Al
mismo tiempo, se ha evidenciado que
estas dificultades tienen naturaleza
cognitiva. La concepción presente en
los estudiantes que una función es
una expresión algebraica o una
ecuación o una gráfica, deja en claro
las restricciones cognitivas que
tienen los estudiantes y no favorece
la coordinación entre
representaciones.
El porcentaje de estudiantes que
pueden identificar la condición
principal para que una relación sea
una función es apenas 6%. Además,
a excepción de la pregunta 2, donde
se obtuvo que el 62% de estudiantes
respondieron correctamente;
aproximadamente el 75% de los
estudiantes mostraron dificultades
para llevar a cabo coordinaciones
entre las diferentes representaciones
que afectaron a las procesos de
conversión respectivos. Según Duval
(8) la comprensión (integradora) de
un contenido conceptual reposa en la
coordinación de al menos dos
registros de representación, y esta
coordinación se manifiesta por la
rapidez y la espontaneidad de la
actividad cognitiva de la conversión.
Esto nos lleva a concluir que la
mayor parte de estudiantes no han
logrado un aprendizaje integral del
concepto de función.
Se encontró en el análisis de las
respuestas de los estudiantes a las
preguntas del cuestionario, el
obstáculo de tipo epistemológico y
didáctico referido a que una función
no debe estar escrita usando varias
expresiones, el cual había sido
descrito por De la Rosa (5). Además,
si bien algunos estudiantes pueden
hacer conversiones de la
representación algebraica a la
gráfica, tabular o la verbal, la
conversión inversa no es adecuada
debido a la falta de identificación de
las unidades significantes propias de
dichos registros, lo cual se refleja en
los altos porcentajes de respuestas
incorrectas o no respondidas. Este
tipo de obstáculo referido a la
conversión de representaciones es
descrito por Duval (9).
Los errores encontrados son
similares a los descritos por Artigue
(3). Entre ellos se pueden citar la
incorrecta asociación entre función
con una fórmula o una curva regular,
así como evaluar si una expresión es
una función en base a la similitud que
esta pueda tener con otras funciones
tipos.
AGRADECIMIENTOS
A los estudiantes de la Universidad
Nacional Micaela Bastidas de
Apurímac, por participar en este
estudio.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Moreno M. El papel de la
didáctica en la enseñanza del
cálculo: evolución, estado actual
y retos futuros. En: Maz A,
Gómez B, Torralba M, editores.
IX Simposio de la Sociedad
Española de Investigación en
Educación Matemática. Córdoba:
Obstáculos y errores en el aprendizaje del concepto de función en los estudiantes de la universidad Nacional Micaela
Bastidas de Apurímac
Quintaesencia 7 (2), 2014
70
Universidad de Córdoba; 2005.
pp. 81–96.
2. Eisenberg T. On the
Development of a Sense for
Functions, The Concept of
Function, Aspects of
Epistemology and Pedagogy. En:
Harel G, Dubinsky E, editors.
Washington DC: MAA; 1992. pp.
153-174.
3. Artigue M. La enseñanza de los
principios del cálculo: problemas
epistemológicos, cognitivos y
didácticos. En: Artigue M,
Douady R, Moreno L, Gómez P,
editores. Ingeniería Didáctica en
educación Matemática. México
DF: Grupo editorial
Iberoamericana; 1995.
4. Evangelidou A, Spyrou P, Elia I,
Gagatsis A. University Students
Conceptions of Function. En: The
28th International Conference of
the International Group for the
Psychology of Mathematics
Education. Norway; 2004.
5. De la Rosa A. El concepto de
función en secundaria: Conocer
el grado de visualización de
función lineal en el alumno,
Experimentaciones en Educación
Matemática en los Niveles Medio
Superior y Universitario. En: Hitt
F, Hernández G, editores. México
DF: Cinvestav-IPN; 2000.
6. De la Rosa A. Errores e
inconsistencias en la enseñanza
del concepto de función en el
docente: El grado de
visualización. En: Memoria de la
XVII Semana Regional de
Investigación en Docencia en
Matemática. Sonora: Universidad
de Sonora; 2003.
7. Duval R. Registros de
representación semiótica y
funcionamiento cognitivo del
pensamiento. México DF: Grupo
Editorial Iberoamérica SA; 1998.
8. Duval R. Registres de
représentation sémiotique et
fonctionnement cognitif de la
pensé. En: Annales de
Didactique et de Sciences
Cognitives. Strasbourg: IREM de
Strasbourg; 1993.
9. Duval R. Semiosis y
Pensamiento humano. Registros
semióticos y Aprendizaje
Intelectuales. Colombia:
Universidad del Valle; 2004.
10. Duval R. Los problemas
fundamentales en el Aprendizaje
de las Matemáticas y las formas
superiores del desarrollo
cognitivo. Cali: Universidad del
Valle; 1999. p. 44.
11. Mulhem G. Between the ears.
Making inferences about internal
proceses. En: Greer B, Mulhem
G, editors. New Directions in
Mathematics Educatios. Londrés:
Routledge; 1989.
12. Socas M. Dificultades, obstáculos
y errores en el aprendizaje de las
matemáticas en la Educación
Secundaria. En: Rico L, editor: La
Educación Matemática en la
Enseñanza Secundaria.
Barcelona: Horsori; 1997. pp.
125-154.
13. Selden A, Selden J. Terciary
mathematics education research
and its future. En: Holton D,
editor: The Teaching and
Learning of Mathematics at
University Level: An ICMI Study.
Netherlands: Kluwer Academic
Publishers; 2001. pp. 237-254.
Correo electrónico:
alejandroecos2013@hotmail.com
Alejandro Manuel Ecos Espino
