Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2025), vol. 16, Núm. 2, pp 43 - 47
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v16i2.716
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Artículo original
Uso de medios tecnológicos para asistir una argumentación en matemáticas
The Use of Technological Tools to Support Argumentation in Mathematics
Aitzol Lasa1, a
1 Universidad Pública de Navarra, España
a ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7267-6614
aitzol.lasa@unavarra.es
Resumen
Este taller tiene por objetivo la discusión con docentes en activo y docentes en formación
inicial en torno al uso del software de geometría dinámica, la hoja de cálculo y la
inteligencia artificial generativa, como instrumentos para asistir procesos de resolución de
problemas en contextos escolares. La metodología del taller es práctica y vivencial, por lo
que se proponen una serie de problemas y se resuelven en grupo grande, de manera que a
medida que se avanza en la resolución del problema se aclaran asimismo las nociones
teóricas y didácticas subyacentes. De esta forma, la propia dinámica del taller aporta a los
docentes estrategias de gestión de la actividad desde el punto de vista docente. Si bien el
medio empleado en el taller es digital, este taller guarda relación con actividades previas
realizadas en el COBISEMAT sobre papel. Así, la discusión permite relacionar y comparar
los medios materiales “papel” y “software”, enriqueciendo la discusión en la dimensión
mediacional. Las actividades se organizan siguiendo un planteamiento de “menú”, con
actividades iniciales de motivación que sirven de “entrantes”, y actividades de desarrollo
o “platos principales”. En función del apetito de los asistentes, se tienen también
actividades adicionales “postre”; y para los más osados, se cuenta con una última tanda de
actividades en la sección de “bebidas espirituosas”.
Abstract
The aim of this workshop is to discuss with in-service teachers and teachers in initial
training about the use of dynamic geometry software, spreadsheets, and generative
artificial intelligence as tools to assist problem-solving processes in school contexts. The
methodology of the workshop is practical and experiential, so a series of problems are
proposed to be solved in large groups, so that as the problem-solving process progresses,
the underlying theoretical and didactic concepts are also clarified. This way, the dynamics
of the workshop itself provides teachers with strategies for managing the activity from a
teaching perspective. Although the workshop uses a digital medium, this workshop is
related to previous activities carried out in COBISEMAT on paper. Thus, the discussion
allows for the comparison and contrast of the material media of “paper” and “software”,
enriching the discussion in the mediational dimension. Activities are organized according
to a “menu” approach, with initial motivational activities serving as “starters” and
development activities as “main courses”. Depending on the appetite of the participants,
there are also additional “dessert” activities, and for the bolder ones, there is a final round
of activities in the “alcoholic drinks” section.
INTRODUCCIÓN
En este taller se da continuidad a las actividades presentadas por el profesor Miguel R. Wilhelmi en el
taller inicial “La geometría de una hoja de papel”, presentado en el VII Coloquio Binacional sobre
Enseñanza de las Matemáticas COBISEMAT.
En aquel primer taller, el profesor presentó actividades para desarrollar la competencia geométrica y
matemática sobre el medio material “hoja de papel”. En este mismo congreso se ha discutido en
profundidad el efecto que tiene la elección del medio material en el desarrollo de la actividad matemática
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escolar. Por ello, se retoman ahora algunas de aquellas actividades realizadas previamente con doblados
de papel, marcas en papel, medidas no estándares sobre papel, etc., y se añaden algunas otras actividades
para ver de qué manera se pueden hacer evolucionar el pensamiento geométrico y matemático con la
introducción del medio material “software de geometría dinámica”, “hoja de cálculo”, o “inteligencia
artificial generativa”.
Las actividades se clasifican a modo de menú, con unas actividades que sirven de “entrantes”,
actividades que sirven de “plato principal”, actividades que sirven de “postre”, e incluso algunas otras
que sirven de “bebidas espirituosas”. Veamos si somos capaces de saciar el apetito del participante al
taller.
MATERIAL Y MÉTODOS
Consideraciones teóricas sobre el uso del software
Según Lasa y Wilhelmi (2013), los modelos dinámicos basados en GeoGebra se pueden clasificar, en
función de sus características y de su utilidad, en modelos de exploración, de ilustración o de
demostración.
En primer lugar, la geometría dinámica ofrece la posibilidad de construir modelos explorativos para
resolver un problema o una situación. A partir del modelo se infieren propiedades, hasta el momento
desconocidas, de una figura geométrica o de una construcción. El objetivo consiste en diseñar una
construcción que satisface las condiciones iniciales de un problema o de una situación. Tras manipular
la construcción, los estudiantes deducen sus propiedades. Normalmente, estas construcciones no las
realiza el estudiante, por el contrario, el docente diseña previamente la construcción o la toma de un
catálogo de construcciones.
La exploración no es exclusiva de los modelos dinámicos. El software de geometría dinámica y otros
softwares de carácter “lógico” tienen buena fama como instrumento de enseñanza, dado que organizan
el medio material de manera ciertamente eficaz. Pero la elección de un medio material digital depende
del tipo de tarea que se quiera realizar. Por ejemplo, en contextos esencialmente numéricos, y en aquellos
contextos en los que aparezcan contenidos relativos al azar, la hoja de cálculo puede ser un instrumento
útil e interesante.
En segundo lugar, se podría decir que el uso más extendido de la geometría dinámica consiste en ofrecer
ejemplos de propiedades. En estos casos, se presenta una construcción que muestra la veracidad de una
propiedad. Esta construcción sirve a modo de un modelo manipulativo que complementa el uso de una
pizarra digital. Por ejemplo, para analizar las propiedades de un triángulo, el software dinámico genera
toda una multitud de triángulos, en lugar de mostrar unos pocos en la pizarra ordinaria.
Este uso motiva la aparición de nuevos ejemplos que ayudan a mejorar la confianza de los estudiantes
en la formulación de conjeturas. Una construcción ilustrativa es, en cierta manera, un “imagen” de la
propiedad. Dado que, en la educación secundaria, el tiempo es oro, el docente puede tomar la decisión
de ignorar la demostración formal de una propiedad, limitando la actividad a la presentación ilustrativa
de la misma. Estas construcciones ilustrativas tienen sus propias características.
Finalmente, existen modelos dinámicos considerados “de demostración”. De manera tradicional, la
demostración geométrica de una propiedad se realiza paso a paso en una pizarra ordinaria. Sin embargo,
las pizarras digitales facilitan la implementación de software de geometría dinámica. Los modelos
ilustrativos tienen la limitación de no estar pensados para mostrar los pasos de una demostración, y hay
veces en los que los pasos computacionales difieren de la argumentación puramente lógica.
El docente debe seleccionar situaciones que presenten de manera conjunta un razonamiento inductivo
(basado en el dinamismo del software) y un razonamiento deductivo (ligado al uso de lápiz y papel).
Primero se deben presentar las demostraciones inductivas, porque los estudiantes prefieren las pruebas
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pragmáticas a las intelectuales. Una prueba empírica mediante la manipulación de un modelo dinámico
puede ser suficiente para el estudiante, porque puede construir una prueba empírica con un número
reducido de intentos.
Por ello, los estudiantes no tienen la costumbre de probar un resultado y no sienten la necesidad de
demostrar cada proceso matemático que emplean. En un entorno dinámico no hay necesidad de
“axiomas” matemáticos: la ausencia de contraejemplos es prueba suficiente para convencerse de la
veracidad de un enunciado. En este sentido, un modelo dinámico puede ser utilizado con el propósito
de demostrar formalmente un resultado.
Llegados a este punto, cabe aclarar que la noción de “demostración” puede tener distintos significados.
La demostración puede tener el significado de “explicación”, en tanto que una afirmación que clarifica
una situación y la hace comprensible. Una demostración puede ser, también, un “argumento verbal”, es
decir, un proceso de razonamiento con el objetivo de convencer. La demostración se puede entender,
evidentemente, como una demostración matemática formal. Finalmente, se puede ver la demostración a
modo de una “sistematización a posteriori”, en la cual se reorganizan una serie de resultados no
relacionados en un principio entre sí.
La inteligencia artificial generativa (IAg) se puede considerar como otra herramienta en la gestión del
proceso de resolución de un problema. Por ejemplo, se puede solicitar a la IAg la creación de un
procedimiento que agilice la resolución de un paso determinado en un problema complejo. En estos
casos, conviene coordinar la solución aportada por la IAg con la obtenida mediante otros medios
digitales, para negar la IAg el principio de autoridad, y poder controlar así posibles “delirios” de la
máquina, en términos de triangulación metodológica (Wilhelmi et al. 2021).
Diseño de las actividades
A modo de “entrantes”, se presenta a los participantes al taller la siguiente primera tanda de actividades,
que tiene por objetico romper el hielo, sacarse la vergüenza y comenzar a participar sin miedo en el
proceso de resolución de actividades:
1. Dado un segmento, construye un triángulo cuyos lados midan el doble y la mitad de ese
segmento.
2. Construye un cuadrilátero que tenga sus cuatro lados de igual longitud.
3. Construye un pentágono que tenga sus cinco lados de igual longitud.
4. Construye un hexágono que tenga sus seis ángulos de igual amplitud
Estas actividades se han trabajo previamente sobre papel, en el taller “La geometría de una hoja de
papel”. El interés de retomar las mismas actividades, es pues, el de discutir con los participantes al taller
la resolución de una misma tarea mediante software de geometría dinámica, analizando el cambio que
supone la sustitución del medio material en la actividad.
A continuación, se presentan las actividades que servirán de “plato principal”, y que suponen el cuerpo
principal del taller. La primera tanda de actividades guarda relación con los modelos de exploración:
1. ¿Qué condiciones debe cumplir un triángulo para que sus tres mediatrices corten en un solo
punto?
2. ¿Qué condiciones debe cumplir un cuadrilátero para que sus cuatro mediatrices corten en un
solo punto?
3. Se tiene una cabra atada al extremo de una cuerda de 6 metros, a la pared de una caseta rodeada
de verdes y deliciosos pastos
1
. La caseta es rectangular, y mide 5 metros de largo por 4 metros
1
Enlace al modelo dinámico de exploración que asiste la resolución de este problema:
https://www.geogebra.org/m/sbbrqjvb
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de ancho. ¿A qué punto de la caseta se debe atar la cabra, para que ésta disponga de la mayor
superficie posible de pasto?
En contextos esencialmente numéricos, o en aquellos en los que hay un componente relativo al azar, la
exploración se puede realizar mediante una hoja de cálculo:
1. Modeliza el lanzamiento de un dado de seis caras.
2. Modeliza el lanzamiento de 200 dados, y contesta a las siguientes preguntas:
3. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4 en el lanzamiento 145?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4 en alguno de los lanzamientos?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el mismo valor en los 200 lanzamientos?
6. En el examen de una oposición de maestro, hay 76 temas. El día del examen se eligen al azar 5
temas y cada candidato desarrolla un tema a su elección. Si un candidato a preparado 55 temas:
7. ¿Cuál será la probabilidad de que salga al menos un tema que haya preparado?
8. ¿Cuál será la probabilidad de que no se haya preparado ninguno de los cinco temas?
En ocasiones, se solicita al estudiante que argumente sobre una situación que puede contener preguntas
teóricas o cuestiones. En estos casos, se puede contemplar la asistencia de la IAg para indagar en dicha
resolución. Mediante la IAg, se puede generar un procedimiento potencialmente útil, que ayude a
dilucidar una cuestión de tipo teórico; pero no hay que perder de vista que estos sistemas tienen cierta
tendencia a “delirar”, por lo que todo procedimiento generado mediante “inteligencia artificial” se
deberá comprobar a continuación mediante medios de “inteligencia natural”:
“Al realizar una compra, se ofrece un descuento del 10% a dicho producto, pero se requiere del
pago de un 20% en impuestos. Se puede pagar el descuento primero, y luego pagar el impuesto;
o se puede pagar primero el impuesto, y a continuación se puede aplicar el descuento. ¿Cuál es
la opción más económica?”
Los “platos principales” cuentan también con ejemplos de actividades asistidas mediante modelos de
ilustración. En estas actividades, los estudiantes siguen las indicaciones de un libro GeoGebra:
1. La Conferencia Perdida de Richard Feynman
2
. Richard Feynman (1918–1988) fue un físico
célebre, entre otras muchas cosas, por su habilidad para dar conferencias científicas. Tenía la
capacidad de adecuar sus explicaciones al nivel de maestría en física que tuvieran los
participantes de la sala. A su vez, tenía fama de mostrar un gran entusiasmo en sus explicaciones.
En el Instituto Caltech donde ejercía Feynman (ahí daba sus clases e investigaba), sus
compañeros tenían la sana costumbre de grabar en magnetofón estas conferencias, para poder
así transcribirlas en papel y poder utilizarlas a modo de texto, casi literal, con sus estudiantes de
grado en física. Como apoyo a la grabación, se tomaban también fotografías de la pizarra donde
Feynman desarrollaba sus diagramas. Sin embargo, las fotografías analógicas no siempre se han
conservado correctamente. Tampoco se han conseguido guardar los apuntes y las anotaciones
de las conferencias que él hacía a mano antes de cada sesión. La pregunta que emerge es sencilla
y natural: ¿y si Feynman hubiera tenido a mano software de geometría dinámica para desarrollar
sus conferencias?
2. Bonus track
3
. Se quiere dividir un círculo en cuatro partes iguales, utilizando líneas paralelas.
Realiza la división a mano alzada sobre el papel. ¿Por dónde deben pasa las líneas? ¿Cuál será
la superficie de las partes?
2
Enlace al modelo dinámico de ilustración que asiste el problema (Lasa, 2015):
https://www.geogebra.org/m/wfjjKtBa
3
Enlace a los modelos dinámicos de exploración e ilustración que asisten el problema:
https://www.geogebra.org/m/nctdu54z
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Los modelos de demostración tratan de seguir los pasos lógicos de una demostración formal en una
versión digital y visual:
“Demuestra que las tres medianas de un triángulo se cortan en un solo punto
4
. Este punto de
denomina baricentro.”
RESULTADOS
Cada participante dispone de su propio equipo informático. Las actividades se discuten primero en grupo
grande, y se decide mediante el diálogo un primer esquema de resolución del problema sobre la pizarra.
A continuación, se procede a la construcción del prototipo mediante software. El proceso de
construcción se proyecta sobre la misma pizarra, de manera que información previa en la pizarra queda
superpuesta, cuando así lo conviene, con la información proyectada mediante el software.
Durante la duración del taller, se consiguen desarrollar la totalidad de las actividades “entrantes” y
“platos principales”. Sin embargo, el tiempo del taller expira sin llegar a discutir las actividades “postre”
y “bebidas espirituosas”, que quedan en manos de los participantes para su libre ejecución.
DISCUSIÓN
Los modelos dinámicos permiten la exploración y la ilustración de un problema o una situación (Lasa y
Wilhelmi, 2013). Asimismo, el medio material tiene la potencialidad de facilitar el cambio de una teoría
implícita a la argumentación susceptible de ser origen de obstáculos, por otra que limite la emergencia
de argumentaciones falaces. En todo caso, la argumentación se basa en el estudio de un conjunto de
casos finitos, sin que por ello la argumentación se pueda considerar inductiva (Lasa, Wilhelmi y
Abaurrea, 2017).
REFERENCIAS
Lasa, A. & Wilhelmi, M.R. (2013). Use of GeoGebra in explorative, illustrative, and demonstrative
moments. Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, 2(1), 52-64.
Lasa, A. (2015). Si Feynman hagués tingut GeoGebra. VII Jornades de l’Associació Catalana de
GeoGebra, El nou GeoGebra: una solució per a cada usuari. 20 – 21 de febrer de 2015, Universitat
Pompeu Fabra, Barcelona.
Lasa, A., Wilhelmi, M. R. & Abaurrea, J. (2017). El problema de la argumentación: una aproximación
desde el EOS. En J. M. Contreras, P. Arteaga, G. R. Cañadas, M.M. Gea, B. Giacomone y M. M.
López-Martín (Eds.), Actas del Segundo Congreso International Virtual sobre el Enfoque
Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos. Disponible en:
enfoqueontosemiotico.ugr.es/civeos.html
Wilhelmi, M. R., Belletich, O., Iribas, H., Abaurrea, J., Lasa, A. (2021). Triangulation en recherche
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Couturier et G. Vergnaud, Analyse statistique implicative 11, [https://sites.univ-
lyon2.fr/asi/11/index.php?page=16]
4
Enlace al modelo dinámico de demostración que asiste el problema: https://www.geogebra.org/m/pz1lB7rd