Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2025), vol. 16, Núm. 2, pp 18 - 26
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v16i2.712
18
Artículo original
La capacidad de generalización matemática es un rasgo de estudiantes con
alta capacidad matemática
Capacity for mathematical generalization is a hallmark of mathematically
gifted students
Ángel Gutiérrez 1, a
1 Universidad de Valencia, España
a ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7187-6788
angel.gutierrez@uv.es
Resumen
Entre los estudiantes con necesidad de una atención educativa diferenciada se encuentran
aquellos que muestran una capacidad de aprendizaje superior a la media. En este grupo
están, en particular, los estudiantes con alta capacidad matemática. Entre las características
diferenciadoras que muestra la literatura en educación matemática para los estudiantes con
alta capacidad matemática se encuentra la capacidad de generalización. En primer lugar,
caracterizaré la generalización matemática mostrando las diferentes formas como se
presenta en el contexto de las matemáticas escolares: generalización de objetos, de
relaciones, de operaciones y de métodos de resolución de problemas. Después, presentaré
respuestas de estudiantes a varios problemas que requieren realizar generalizaciones, con
el fin de mostrar cómo el análisis de estas respuestas muestras diferentes estilos de
razonamiento y formas de realizar generalizaciones, que reflejan la diversidad de
capacidades de generalización que tienen los estudiantes. Además, estos tipos de
problemas son adecuados para ser planteados en grupos ordinarios de clase de matemáticas
de diferentes grados de los centros escolares, por lo que son una herramienta a disposición
de los profesores que les ayuda a identificar a sus alumnos con potencial de alta capacidad
matemática.
Abstract
Among students who need differentiated educational attention are those who demonstrate
above-average learning abilities. This group includes, in particular, students with high
mathematical ability. Among the distinguishing characteristics identified in the literature
on mathematics education for students with high mathematical ability is the ability to
generalize. First, I will characterize mathematical generalization by showing the different
ways it appears in the context of school mathematics: generalization of objects,
relationships, operations, and problem-solving methods. Next, I will present students'
responses to various problems that require generalization, in order to show how the
analysis of these responses reveals different styles of reasoning and ways of generalizing,
reflecting the diversity of generalization abilities among students. Furthermore, these types
of problems are suitable for use in regular mathematics classes at different grade levels in
schools, making them a tool available to teachers to help them identify students with high
mathematical potential.
Ángel Gutiérrez
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INTRODUCCIÓN
Todos los sistemas educativos incluyen criterios para la identificación de estudiantes que tienen
dificultades de aprendizaje y procedimientos para su atención diferenciada. Además, con frecuencia,
aunque no siempre, los sistemas educativos incluyen también menciones a los estudiantes superdotados
(en este texto emplearé el masculino genérico para aludir conjuntamente a niños y niñas o profesoras y
profesores) y protocolos para su identificación y atención en los centros escolares. El procedimiento
más habitual de identificación de los estudiantes superdotados (reconocido por la Organización Mundial
de la Salud) es la administración de tests psicológicos de medición del cociente intelectual (CI) de los
estudiantes. La distribución de los CI de los estudiantes se ajusta, estadísticamente y para la población
global, a una curva normal (la conocida Campana de Gauss), en la que la media es CI = 100 puntos y se
considera estudiantes normales a los que tienen CI entre 85 y 115 puntos. Por otra parte, se considera
estudiantes superdotados a los que tienen CI ≥ 130 puntos.
Entre los estudiantes considerados normales y los considerados superdotados, se encuentra un grupo de
estudiantes cuyo CI está entre 115 y 130. Estos generalmente muestran una inteligencia superior a la de
los estudiantes normales en una o unas pocas áreas escolares y se les suele denominar estudiantes con
alta capacidad específica o con talento específico. En particular, los estudiantes con alta capacidad
matemática (ACM) o talento matemático son aquellos que muestran una calidad de razonamiento
matemático claramente superior a la de los estudiantes normales de su grado escolar o edad (Jaime y
Gutiérrez, 2021), independientemente de que sean o no superdotados.
MATERIAL Y MÉTODOS
Características de la alta capacidad matemática
Se han realizado investigaciones en educación matemática cuyos resultados ponen de relieve diversas
concepciones erróneas sobre las características de los estudiantes con ACM, principalmente:
Que los estudiantes con alto rendimiento académico en matemáticas (es decir, los que obtienen
calificaciones excelentes en el centro escolar) tienen ACM. Esta relación no es cierta, pues hay bastantes
estudiantes con ACM que no obtienen las mejores calificaciones en matemáticas; e inversamente,
cuando las clases de matemáticas se basan casi exclusivamente en la memorización y resolución de
ejercicios repetitivos, frecuentemente los estudiantes con mejor memoria son los que tienen mejores
calificaciones en matemáticas.
Que los tests psicológicos de CI y psicométricos permiten identificar a los estudiantes con ACM. Esta
afirmación tampoco es cierta, pues diversas investigaciones han mostrado que este tipo de instrumentos
no evalúan realmente el razonamiento matemático y, por lo tanto, producen una cantidad significativa
de falsos positivos y falsos negativos (Díaz y otros, 2008).
Las investigaciones de educación matemática muestran también que la mejor manera de identificar
fiablemente a estudiantes con ACM es la resolución de problemas y la invención de problemas
(denominado problem-posing en inglés). Por otra parte, varios investigadores han observado las formas
de resolver problemas matemáticos de muestras de estudiantes y han llegado a caracterizar diversos
aspectos de actividad matemática en los que destacan los estudiantes con ACM (recopiladas en Jaime y
Gutiérrez, 2014). Entre estos aspectos podemos destacar la creatividad (Leikin y Lev, 2013), el
razonamiento armónico (Krutetskii, 1976), la transferencia de conocimientos y estrategias, la mejora de
procesos de resolución, la inversión de procesos matemáticos y la generalización. A esta última dedicaré
este texto.
La capacidad de generalización en matemáticas
Krutetskii (1976) identificó la generalización como una de las principales actividades en matemáticas,
la cual está presente en todos los niveles educativos, desde la educación infantil hasta el doctorado y la
investigación de los matemáticos profesionales. Además, este autor considera que “los estudiantes con
diferentes habilidades que son capaces de aprender matemáticas se caracterizan por diferencias en el
grado de desarrollo de su habilidad para generalizar material matemático” (p. 84); más adelante,
La capacidad de generalización matemática es un rasgo de estudiantes con alta capacidad matemática
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Krutetskii especifica que dicho material matemático son objetos, relaciones y operaciones, que
podemos encontrar en todos los niveles educativos y todas las áreas de las matemáticas escolares.
Respecto de la generalización de objetos matemáticos, en aritmética, está presente desde las primeras
etapas del aprendizaje de los números, cuando los niños de educación infantil y primeros grados de
educación primaria aprenden la estructura del sistema decimal de numeración (los números son objetos
con una estructura específica): 10, 11, 12, 13, ..., 20, 21, 22, 23, ..., 310, 311, 312, 313, ..., 320, 321,
322, 323, ... Lo mismo ocurrirá en grados posteriores con las estructuras de los números decimales y las
fracciones. En álgebra, al estudiar las ecuaciones, los estudiantes necesitan generalizar sus diferentes
estructuras: lineales (3x + 2 = 11), cuadráticas (5x2 – 6x – 27 = 0), etc. Algo similar ocurre al estudiar
las familias de funciones. Los estudiantes deben usar su capacidad de generalización también en
geometría; por ejemplo, al aprender el concepto de prisma, deben ser capaces de comparar diferentes
tipos de prismas (Figura 1) para descartar los atributos irrelevantes (número de lados de las bases,
inclinación, posición, tamaño, etc.) y generalizar las propiedades características.
Figura 1
Generalización a partir de la diversidad de ejemplos de prismas
En lo referente a generalización de operaciones, los estudiantes de primaria deben abstraer las
características de cada tipo de operación numérica (suma, resta, multiplicación y división de números
naturales), para ser capaces de realizar esas operaciones con diferentes cantidades de operandos,
números de diferentes cantidades de cifras, etc. Pero también es necesaria la capacidad de generalización
al pasar de los números enteros a los decimales, para identificar qué hay de común y de diferente entre
las operaciones con uno números u otros y, en educación secundaria, resulta de gran ayuda para los
estudiantes que entiendan que las operaciones aritméticas con números naturales tienen la misma
estructura que las correspondientes operaciones con polinomios (por ejemplo, la multiplicación, Figura
2).
Figura 2
Generalización del algoritmo de la multiplicación
En cuanto a la generalización de relaciones, podemos encontrar numerosos contextos de las matemáticas
escolares en los que es necesario este tipo de generalización (Figura 3): en aritmética (p. ej., al estudiar
progresiones numéricas), en álgebra (p. ej., al estudiar los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones),
en geometría (p. ej., al estudiar las relaciones entre traslaciones, giros y simetrías), y en otros contextos.
Figura 3
Generalización de diversas relaciones matemáticas
Ángel Gutiérrez
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Krutetskii (1976) también aludió a la generalización de métodos de resolución de problemas: hay
familias de problemas matemáticos que comparten un mismo estilo de resolución, si bien es necesario
adaptar dicho estilo a las características de la resolución de cada problema concreto.
Es necesario diferenciar entre familias de problemas cuyos métodos de resolución tienen ciertas
similitudes (p. ej., porque comparten heurísticas de resolución) pero que también tienen diferencias
significativas entre problemas concretos y grupos de problemas tipo cuya principal diferencia son los
valores de los datos pero que se resuelven siguiendo siempre los mismos pasos. El segundo tipo de
problemas, que realmente son simples ejercicios repetitivos (en el sentido de Pólya y Schoenfeld), son
demasiado frecuentes en los libros de texto.
Un ejemplo de la generalización de métodos de resolución lo encontramos en la familia de los problemas
verbales algebraicos que se resuelven mediante una ecuación o un sistema de ecuaciones. Lo común de
su método de resolución es identificar dónde aparece(n) la(s) incógnita(s) en el texto del enunciado para,
a continuación, tratar de escribir la(s) ecuación(es) incorporando la(s) incógnita(s) y los datos numéricos
(la Figura 4 muestra un ejemplo de aplicación de este método). No obstante, entre los problemas verbales
algebraicos que comparten este método de resolución, encontramos estilos muy diferentes de problemas,
que requieren poner en práctica el método de maneras diferentes.
Figura 4
Generalización de un método de resolución de problemas verbales algebraicos
Antonio gastó 1/3 de sus ahorros para comprar un televisor. También gastó 2000 Soles en una mesa para
el televisor. En total, Antonio gastó la mitad de sus ahorros. ¿Cuánto dinero había ahorrado Antonio?
Antonio gastó 1/3 de X para comprar un televisor. También gastó 2000 Soles en una mesa para el
televisor. En total, Antonio gastó la mitad de X. ¿Cuánto dinero había ahorrado (X) Antonio?
X/3 + 2000 = X/2
RESULTADOS
Uso de la capacidad de generalización en la identificación de estudiantes con ACM
En este apartado voy a mostrar resoluciones de algunos problemas particulares, que han sido parte de
investigaciones realizadas por el equipo de la Universidad de Valencia del que formo parte. Veremos
respuestas de estudiantes que muestran claramente la diversidad de capacidades de generalización
puestas en juego por los estudiantes. También veremos cómo algunas respuestas indican claramente una
forma de razonamiento superior a la que cabe esperar de estudiantes medios y, por tanto, indicadora de
ACM.
Generalización de relaciones: descubrimiento del valor de la suma de los ángulos interiores de un
polígono convexo. Una propiedad que se estudia habitualmente en los cursos de geometría de los últimos
grados de primaria o los primeros de secundaria, dependiendo del país, es la suma de los ángulos
interiores de los polígonos convexos. Se empieza estudiando los casos de los triángulos y cuadriláteros
La capacidad de generalización matemática es un rasgo de estudiantes con alta capacidad matemática
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y, después, se completa con el estudio de la fórmula S = (n – 2) × 180º para un polígono convexo general
de n lados. Habitualmente, los profesores y libros de texto presentan a los estudiantes la fórmula sin una
justificación adecuada, pues solo pretenden que la memoricen y apliquen en ejercicios. Pero es más
interesante plantear un problema que guíe a los estudiantes al descubrimiento de esta fórmula mediante
un proceso inductivo (de generalización) a partir de casos concretos. Una posibilidad es el siguiente
enunciado, que planteamos después de que los estudiantes han descubierto y aprendido que los ángulos
interiores de los triángulos suman 180º (Benedicto, 2018):
1. Dibuja un cuadrilátero y traza una diagonal. ¿En cuántos triángulos queda dividido? ¿Cuánto suman
los ángulos de un cuadrilátero?
2. Dibuja un pentágono y traza las diagonales desde un solo vértice. ¿En cuántos triángulos queda
dividido? ¿Cuánto vale la suma de los ángulos de un pentágono?
3a. Observa los polígonos en el computador. Completa la tabla
calculando la suma de los ángulos de cada polígono.
3b. ¿En cuántos triángulos se puede dividir un polígono de 20 lados trazando las diagonales desde un
vértice? ¿Cuánto vale la suma de sus ángulos?
3c. ¿En cuántos triángulos se puede dividir un polígono general de n lados trazando las diagonales desde
un vértice? ¿Cuánto vale la suma de sus ángulos?
Los apartados 1 y 2 se resuelven con la ayuda de instrumentos adecuados de dibujo que ayuden a obtener
resultados exactos. Para el apartado 3a, proporcionamos a los estudiantes una construcción de Geogebra
que muestra los polígonos de 3 a 12 lados con sus diagonales desde un vértice, con el fin de evitar que
tengan que dibujar los polígonos hasta el heptágono para completar la tabla. Sin embargo, esta
construcción no les permite observar el polígono de 20 lados (pregunta 3b), por lo que esperamos que,
para responder esta pregunta, los estudiantes tengan que realizar una generalización de los resultados
anteriores, ya escritos en la tabla, al polígono de 20 lados. Análogamente, la pregunta 3c solo se puede
resolver correctamente si los estudiantes son capaces de realizar una nueva generalización de los valores
mostrados en la tabla, esta vez a un polígono general de n lados.
Un análisis de los requisitos de razonamiento matemático de la secuencia de preguntas nos muestra
claramente que las preguntas 1, 2 y 3a están al alcance de todos los estudiantes, incluso de aquellos con
dificultades de comprensión de las matemáticas, pues las preguntas les guían indicándoles los pasos
concretos que deben dar: dibujar con cuidado, contar la cantidad de triángulos formados y multiplicar
por 180º. Sin embargo, las preguntas 3b y 3c son abstractas (es improbable que los estudiantes intenten
dibujar un polígono de 20 lados y sus diagonales desde un vértice) y obligan a pensar en un caso concreto
(3b) y después en el caso general (3c). Por ello, 3b requiere un razonamiento más complejo que las
preguntas anteriores y, análogamente, 3c es más compleja que 3b.
En resumen, este problema ofrece la posibilidad de que los estudiantes con dificultad para las
matemáticas (o con poco interés) puedan responder las preguntas 1, 2 y 3a mientras sus compañeros
Ángel Gutiérrez
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más capaces abordan también la pregunta 3b y aquellos con alta capacidad matemática responden
también la 3c. Este problema permite identificar a los estudiantes que logran resolver correctamente
todos los apartados como posibles poseedores de ACM.
Figura 5
Niveles de complejidad cognitiva de las respuestas a las partes del problema
Generalización de métodos de resolución: cubrimiento óptimo de rectángulos. Este problema (cuyo
enunciado completo se puede leer en Mora y otros, 2024) presenta el contexto de cubrir superficies
planas rectangulares con baldosas que tienen unas dimensiones concretas:
Queremos embaldosar una pared rectangular de 3m por 7m, utilizando exclusivamente baldosas
cuadradas que sean de longitudes enteras, no necesariamente iguales y con el mínimo número total de
ellas.
El número mínimo total en este caso serían 5 baldosas
cuadradas, ya que necesitamos 2 baldosas de lado 3m y 3
baldosas de lado 1m. Un posible diseño sería el que se
muestra en la figura, aunque hay otros más (pero los
consideramos iguales porque resultan de colocar las mismas
baldosas de modo diferente).
a) Si ahora queremos embaldosar una pared rectangular de 8 m
por 5 m, con el mismo criterio anterior, ¿cuántas baldosas
cuadradas necesitare-mos en total y de qué tamaños?
Dibuja algún diseño con ellas como ejemplo.
b) Con solo baldosas cuadradas de lados 2m, 4m y 6m, y el
mismo criterio anterior, ¿cuántas baldosas cuadradas
necesitaremos en total y de qué tamaños para
embaldosar una pared de 22m por 6m?
c) Si ahora la pared es cuadrada de lado 9m,
y solo disponemos de baldosas
cuadradas de lado 1, 2, 4, 5 y 7 m,
podemos encontrar ese número
mínimo de dos formas distintas.
Encuéntralas y realiza un diseño con cada
una de estas dos posibilidades.
En el primer problema, el
procedimiento de cálculo de las sumas de ángulos era siempre el mismo (trazar las diagonales desde un
La capacidad de generalización matemática es un rasgo de estudiantes con alta capacidad matemática
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vértice, contar la cantidad de triángulos, etc.) y su objetivo era generalizar la relación entre la cantidad
de lados y el valor de la suma de los ángulos. Por el contrario, en el segundo problema, el objetivo es
generalizar un procedimiento óptimo de resolución (que se presenta ejemplificado al comienzo del
enunciado), es decir un procedimiento que lleve al cubrimiento óptimo de cualquier rectángulo con
baldosas de cualesquiera dimensiones, que varían en cada apartado.
El análisis de las respuestas se tiene que centrar en identificar el grado de generalización logrado por los
estudiantes del procedimiento de embaldosado óptimo. Los apartados a), b) y c) presentan tres
situaciones diferentes cuyas respuestas permiten observar el progreso llevado a cabo por el estudiante
(o la falta de él) en el proceso de generalización. Así, la Figura 6 presenta dos respuestas al apartado a).
La respuesta 6.1 muestra que el estudiante no ha entendido el enunciado, pues ha hecho un cubrimiento
cuyas baldosas no cumplen las condiciones, ya que la suma de las longitudes de las baldosas en
horizontal es 9 m y las baldosas cuadradas de 4m no pueden cubrir completamente el alto del rectángulo.
Por el contrario, la respuesta 6.2 es correcta y muestra que el estudiante ha iniciado el proceso de
generalización (a falta de confirmar en los apartados siguientes si realmente lo ha logrado).
la Figura 7 presenta dos respuestas al apartado b). La respuesta 7.1 corresponde a un estudiante que
sigue sin entender el enunciado y sin iniciar el proceso de generalización, pues ha hecho un cubrimiento
cuyas baldosas no cumplen las condiciones. Sin embargo, la respuesta 7.2 es correcta y muestra que el
estudiante ha completado el proceso de generalización, pues ha sido capaz de adaptar la estrategia de
cubrimiento a las nuevas condiciones.
Figura 6
Respuestas al apartado a)
1)
2)
Figura 7
Respuestas al apartado b)
1)
Ángel Gutiérrez
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2)
Finalmente, la Figura 8 muestra dos respuestas al apartado c). En la respuesta 8.1 apreciamos que el
estudiante ha iniciado correctamente el procedimiento de cubrimiento, utilizando las baldosas más
grandes posibles (de lados 5m y 4m; aquí no usó la baldosa de lado 7m porque ya la había utilizado en
el otro cubrimiento del cuadrado), pero no fue capaz de seguir aplicando el procedimiento de
cubrimiento en los huecos más pequeños, pues no se da cuenta de que las baldosas del borde superior
suman 8 m y las baldosas del borde izquierdo suman 10 m. Por lo tanto, podemos concluir que este
estudiante ha sido capaz de realizar una generalización parcial del procedimiento. La respuesta 8.2
corresponde a otro estudiante que sí ha generalizado completamente el procedimiento de cubrimiento,
pues lo ha aplicado correctamente para hacer los dos cubrimientos diferentes solicitados.
Figura 8
Respuestas al apartado c)
1) 2)
Como vemos, este problema permite diferenciar a los estudiantes con menor y mayor capacidad de
generalización: algunos estudiantes realizan cubrimientos adecuados, demostrando que han logrado
abstraer y generalizar la característica central del procedimiento de cubrimiento (que es utilizar siempre
las baldosas más grandes posible) y aplicarla de manera consistente a lo largo de los apartados; otros
estudiantes no han realizado cubrimientos correctos, por lo que no han logrado abstraer la característica
central del procedimiento de cubrimiento. También podemos encontrar estudiantes que muestran haber
logrado abstraer dicha característica del procedimiento de cubrimiento, pero no han logrado
generalizarla totalmente, pues la han aplicado bien en unos apartados, pero solo parcialmente bien en
los otros, al haber cometido algunos errores locales. Por lo tanto, este problema es adecuado para
plantearlo en clases ordinarias y permitirá al profesor identificar a sus alumnos que muestran mayor
capacidad de generalización y que tienen una característica típica de los estudiantes con ACM.
DISCUSIÓN
Para identificar fiablemente a estudiantes con ACM, es necesario observar su actividad de resolución e
invención de problemas y hacerlo en las diferentes áreas de las matemáticas, para poder evaluar las
formas de uso de diferentes capacidades y habilidades matemáticas por los estudiantes.
Una de las principales capacidades matemáticas es la capacidad de generalización. Su observación,
evaluación y desarrollo debe ser objetivos de cualquier curso de matemáticas. Los estudiantes con ACM
suelen mostrar un mayor desarrollo de esta capacidad respecto a sus compañeros de grado o edad.
En la segunda parte de este texto he mostrado ejemplos de dos tipos de problemas cuyas respuestas
permiten observar y evaluar diferentes estrategias de generalización empleadas por los estudiantes.
Algunas de las estrategias que he mostrado, así como otras descritas en la literatura de educación
matemática, se evidencian como típicas de estudiantes con baja capacidad de generalización, mientras
que otras estrategias son típicas de estudiantes con ACM.
La capacidad de generalización matemática es un rasgo de estudiantes con alta capacidad matemática
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Parte de la información presentada en esta publicación se refiere a resultados de
investigaciones realizadas en el marco del proyecto de investigación Aproximación
multidimensional a la atención a estudiantes con alta capacidad matemática financiado por
la Agencia Española de Investigación del Ministerio de Ciencia e Innovación (PID2020-
117395RB-I00, MCIN/AEI/10.13039/501100011033).
REFERENCIAS
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problemas de matemáticas resueltos por estudiantes de enseñanza obligatoria. El caso de las
altas capacidades matemáticas [Tesis doctoral, Universidad de Valencia]. Valencia, España.
Disponible en http://roderic.uv.es/handle/10550/66468
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