Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2025), vol. 16, Núm. 2, pp 13-18
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v16i2.711
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Artículo original
La argumentación en matemáticas
Mathematical Proof and Reasoning
Aitzol Lasa Oyarbide1, a
1 Universidad Pública de Navarra, España
a ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7267-6614
aitzol.lasa@unavarra.es
Resumen
En esta conferencia se tratan algunos aspectos de la noción de argumentación en la
actividad matemática escolar. Se parte de una breve descripción normativa, teórica y
didáctica de la noción de argumentación, que justifica la necesidad de ampliar el espectro
de clasificación habitual de los argumentos en inductivos y deductivos. De hecho, se puede
afirmar que la argumentación escolar contempla el estudio de un conjunto finito de casos,
cuyas conclusiones transcienden la categoría de meros ejemplos, por la existencia de una
teoría implícita de referencia. La elección del medio material tiene también consecuencias
en las características de la argumentación. A continuación, se discute la potencialidad que
tiene la argumentación como elemento que articula situaciones de aprendizaje de las
matemáticas que sean transversales a otros ámbitos de conocimiento. Se aportan una serie
de situaciones-tipo de la etapa de la educación secundaria que sirven de ejemplo,
clasificados en función de ámbitos de conocimiento, y se termina con unas consideraciones
finales a modo de conclusión, en los que se discuten la dimensión cognitiva, interaccional
y epistémica.
Abstract
This conference addresses some aspects of the concept of argumentation in school
mathematics. It starts with a brief normative, theoretical, and didactic description of the
concept of argumentation, which justifies the need to broaden the usual classification of
arguments into inductive and deductive. In fact, it can be said that school argumentation
involves the study of a finite set of cases, whose conclusions transcend the category of
mere examples, due to the existence of an implicit theory of reference. Choosing the
material medium also has consequences for the characteristics of argumentation. Next, it
is discussed how argumentation has the potential of being an element that articulates
mathematics learning situations that are transversal to other areas of knowledge. Then, a
series of typical situations from secondary education are provided as examples, classified
according to areas of knowledge, and to conclude, some final considerations are given in
which the cognitive, interactional, and epistemic dimensions are discussed.
La argumentación en matemáticas
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INTRODUCCIÓN
Las normas y leyes que rigen el sistema educativo no están exentas del fenómeno de obsolescencia
(Brousseau, 1998), y padecen variaciones periódicas que las hacen evolucionar en el sentido que marcan
las corrientes pedagógicas y metodológicas instaladas en el momento. La manera en la que la enseñanza
de las matemáticas se refleja en dichos textos curriculares también sufre esta influencia.
Por ejemplo, el Boletín Oficial de Navarra (2015, 44) indica lo siguiente sobre la argumentación en
matemáticas: “Las matemáticas contribuyen de manera especial al desarrollo del pensamiento y
razonamiento, en particular, el pensamiento lógico-deductivo y algorítmico, al entrenar la habilidad de
observación e interpretación de los fenómenos, además de favorecer la creatividad o el pensamiento
geométrico-espacial” (BON, 2015, 44).
Es decir, vemos que el currículo de matemáticas destaca el aspecto deductivo de la argumentación
matemática, aun cuando esta manera de razonar es minoritaria en el conjunto de las etapas educativas
pre-universitarias. De hecho, durante las etapas de la Educación Primaria y de la Educación Secundaria
Obligatoria, la argumentación escolar es principalmente inductiva tanto en el ámbito de las ciencias
naturales y experimentales, como en el ámbito matemático.
MATERIAL Y MÉTODOS
Argumentación y didáctica de la matemática
Los textos legales y curriculares, si bien necesarios para articular el sistema educativo, no bastan para
caracterizar los objetivos de aprendizaje en cada una de las etapas. Para la correcta aplicación de las
normas oficiales, se requiere asimismo de conocimientos de las didácticas específicas de cada ámbito.
En el caso de las matemáticas, el Enfoque ontosemiótico (EOS) ubica los argumentos dentro de los
objetos matemáticos primarios que articulan la actividad matemática, junto con el lenguaje empleado,
los conceptos o las nociones movilizadas, el tipo de situaciones o problemas en los que se aplica, las
proposiciones o teoremas que emergen del proceso, y los procedimientos empleados (Godino et al, 2007;
Godino, 2024).
Los argumentos, según el EOS, serían enunciados que tienen por objetivo explicar, verificar o justificar
la validez de proposiciones y de procedimientos. Se emplean de manera pragmática en función de su
utilidad y de su interés en contextos de resolución de problemas o de resolución de una situación.
Figura 1
Configuración de objetos primarios.
Godino, Batanero y Font (2007).
Aitzol Lasa Oyarbide
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La elección de un medio material influye también sobre las características, usos y funciones de la
argumentación (Lasa, 2016). Por ejemplo, si la actividad matemática se desarrolla sobre un medio digital
basado en la manipulación de modelos dinámicos, la ausencia de contraejemplos durante la
manipulación del modelo dinámico es suficiente para convencer a las y los estudiantes de la validez de
un enunciado; es decir, se emplean con mayor frecuencia argumentaciones de tipo empírico o
explorativo. Por otro lado, el paso del medio digital al papel favorece la obtención de argumentos
técnicos y deductivos.
En otras palabras, al pasar del medio material “modelo dinámico” al medio material “lápiz y papel” los
estudiantes obtienen con mayor frecuencia la resolución completa de un problema: la comprensión de
la tarea facilita la aplicación eficaz de la técnica. Y al pasar del medio material “lápiz y papel” al medio
material “modelo dinámico”, los estudiantes argumentan con coherencia una resolución homogénea del
problema: la consolidación de la técnica algebraica facilita la instrumentalización.
El uso de la “maquina” como asistente de una argumentación no está exento de polémica. ¿Se podría
considerar un argumento apoyado en un resultado automático, como un argumento basado en la
autoridad? En efecto, la demostración automática de teoremas es una realidad hoy en día, y softwares
de uso convencional como GeoGebra tienen implementados este tipo de paquetes (Botana, et al 2015).
En todo caso, ya sea mediante la asistencia de un software o mediante la asistencia de una teoría
matemática implícita al razonamiento, se puede afirmar que la argumentación escolar se basa en el
estudio de un conjunto finito de casos, con el apoyo de una teoría implícita de referencia, gracias a la
cual se excede el simple marco del estudio de ejemplos y contraejemplos (Lasa, Wilhelmi y Abaurrea,
2017).
Argumentación en el currículum de secundaria
Las nociones de argumentación y razonamiento aparecen también en ámbitos científico-tecnológicos
(ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas), en ámbitos humanísticos (lengua y literatura), en
ámbitos sociales (geografía e historia, economía), y en ámbitos artísticos (artes plásticas y musicales) y,
por lo tanto, no son exclusivas del ámbito matemático (Abaurrea y Lasa, 2025).
En el marco del STEM, se especifica que los estudiantes deberán emplear métodos de razonamiento
tanto deductivos como inductivos, en contextos de aplicación del método científico o al emplear el
pensamiento computacional. Dichos procesos son siempre “dobles”, puesto que requieren, por un lado,
de la reflexión y de la comunicación de resultados de tipo científico o matemático y, por otro lado, de
procesos formales de demostración y prueba.
Es decir, desde el punto de vista metodológico, el aspecto principal de la argumentación es comunicativo
y se debe alentar a las y los estudiantes a expresar, explicar y formular sus ideas y sus hallazgos, de
manera clara e inteligible. Evidentemente, las producciones de las y los estudiantes serán necesariamente
imprecisas y contendrán errores que se deberán poner en evidencia mediante el uso exclusivo del
diálogo. Las y los estudiantes no sienten la necesidad de emplear demostraciones lógicas ni de usar
codificaciones formales.
Por ejemplo, el currículo indica que las y los estudiantes deberán conocer y utilizar las normas IUPAC
para la escritura de una cantidad de magnitud y su unidad; sin embargo, si el docente pone el énfasis
exclusivamente en la correcta escritura formal de una cantidad, penaliza sistemáticamente su escritura
informal (pe., si el estudiante olvida indicar la unidad tras un número), y no tiene en cuenta el contexto
comunicativo y de aplicación de la actividad global, ésta sería la manera más rápida de desalentar a las
y los estudiantes de continuar estudiando un itinerario científico o tecnológico.
Las normas y las reglas que articulan el discurso argumentativo pertenecen al ámbito humanístico. No
se pueden obviar las competencias lingüística y comunicativa. En este sentido, la creación de un texto
argumentativo tiene sus propios códigos y normas, y todo estudiante se debe ejercitar en su dominio. La
filosofía es la disciplina que teoriza en la práctica del diálogo, y el estudio de las lenguas clásicas tendría
interés más por el contenido argumentativo y dialéctico de los textos antiguos que por el mero estudio
de una lengua muerta.
La argumentación en matemáticas
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Las ciencias sociales profundizan en las normas que rigen la argumentación, y añaden a los aspectos
formales (matemáticos) y retóricos (humanísticos) aspectos éticos, como la gestión del respeto hacia las
opiniones del oponente, o el impacto de las emociones durante el proceso argumentativo. La
argumentación debe ser, pues, respetuosa y acorde a las problemáticas sociales y ambientales que
afectan a la sociedad.
Finalmente, desde el punto de vista de las artes, la argumentación puede aparecer ligada a la aplicación
de una técnica, pero también a la noción de belleza y al disfrute. La libertad de expresión es, asimismo,
un concepto ligado a la comunicación que afecta a todo proceso de razonamiento.
Por ejemplo, la creación de un patrón geométrico mediante técnicas de dibujo técnico, o el estudio de la
honda generada por un instrumento musical, contienen nociones matemáticas complejas dignas de ser
estudiadas; pero no hay que dejar de lado que toda obra artística sigue un patrón de belleza, y que las y
los estudiantes deben conocer las destrezas comunicativas que permitan argumentar su disfrute.
Algunos ejemplos
Durante el curso 2024/2025, se solicitó a docentes de matemáticas en formación inicial (DMFI) que
cursan el máster de profesorado de secundaria, que abordaran un estudio del currículo fijándose en las
nociones de argumentación y razonamiento, como elementos potenciales para diseñar situaciones de
aprendizaje que fueran transversales al estudio de las matemáticas.
La muestra descrita en la tabla 1 está formada por 11 DMFI, y todos ellos tienen estudios previos en
ámbitos científico-tecnológicos (matemáticas, ciencias o ingenierías). Como se puede observar, los
DMFI eligen su tema de manera libre, pero de manera natural aparecen prácticamente todos los ámbitos
curriculares descritos en la sección anterior.
Tabla 1
Distribución de temas en trabajos.
Etapa
Materia transversal a matemáticas
Trabajos
Educación Secundaria Obligatoria
Biología y geología
1
Educación Secundaria Obligatoria
Física y química
1
Educación Secundaria Obligatoria
Geografía e historia
3
Educación Secundaria Obligatoria
Música
1
Bachillerato
Lengua y literatura
2
Bachillerato de ciencias
Biología
1
Bachillerato de ciencias
Dibujo técnico
1
Bachillerato de ciencias sociales
Economía, historia del mundo
1
Abaurrea y Lasa (2025).
En las propuestas de ámbito STEM destacan aquellas que se centran en la búsqueda de patrones en
contextos biológicos (virología, epidemiología, propagación de enfermedades, curvas de infectados,
medidas de contención, etc.), con el objetivo de modelizar, con la ayuda de instrumentos digitales, una
situación mediante elementos algebraicos y funcionales. La búsqueda de patrones se extiende, asimismo,
a ejemplos de paneles de abeja, pipas de girasol, conchas de nautilos o filotaxia de hojas de plantas. El
proceso de argumentación se dinamiza mediante metodologías de Aprendizaje Basado en la Indagación
(ABI) y buscan argumentar y razonar en términos de eficiencia, optimización, maximización o
supervivencia.
Las situaciones de aprendizaje basadas en STEM se pueden centrar también en las siglas Tecnología e
Ingeniería. Es el caso de las situaciones de aprendizaje que se centran en el estudio de una estructura
Aitzol Lasa Oyarbide
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determinada, como, por ejemplo, el looping de una “montaña rusa”. En estos casos, la modelización
mediante software permite una vez más la modelización mediante expresiones algebraicas y funcionales
no accesibles al estudiante mediante soportes de “lápiz-y-papel”.
Se pone en valor, una vez más, la potencialidad de la metodología por indagación para gestionar la
situación de aprendizaje, desde la obtención de información histórica a la discusión de las propiedades
físicas de una construcción. Además, el método científico permite en este caso la experimentación
mediante la construcción física de diversos modelos.
En el caso de las situaciones de aprendizaje transversales a las disciplinas humanísticas, se pone en valor
la habilidad de redacción de textos que expliquen y ejemplifiquen un modelo algebraico a resolver, con
el objetivo de elaborar criterios de clasificación de textos en función del tipo de ecuación o sistema de
ecuaciones que describen. Se ponen en valor, asimismo, las herramientas lógicas que permiten analizar
el lenguaje para distinguir argumentos lógicamente correctos de falacias argumentales.
Las ciencias sociales aportan contextos de gran valor social y medioambiental, como el problema ético
de distribución de la riqueza en el mundo, que permiten analizar los aspectos económicos del problema
a través de los principales índices o indicadores económicos como el PIB, el PIB per cápita, índice de
Gini, etc. La argumentación debe servir en estos contextos para validar la solidez de las soluciones que
se aportan a dicho problema. Otros contextos sociales son útiles para trabajar la lectura e interpretación
de gráficos, tales como el análisis de diagramas de población.
Finalmente, los contextos artísticos pueden servir como telón de fondo para el estudio de las
transformaciones isométricas y de las teselaciones del plano. En ellas, convergen tanto el pensamiento
inductivo (se parte de ejemplos de la vida cotidiana para buscar propiedades y reglas en patrones
geométricos) como el deductivo (mediante la composición y descomposición de teselas complejas dadas
a partir de una regla). En todas ellas, los elementos procedimentales como la precisión en la aplicación
del dibujo técnico, se mezclan con las nociones de argumentación.
Nociones matemáticas elementales como la proporcionalidad aparecen también en contextos musicales,
en los cuales la argumentación no solo sirve para describir el sonido mediante gráficos funcionales de
sus hondas de expansión, sino que aparece también ligada a la argumentación del “gusto por el sonido”.
RESULTADOS
Los textos legales no suelen contemplar la argumentación como un contenido o una habilidad
matemática curricular. Sin embargo, la argumentación sí aparece ligada con mayor frecuencia a la
evaluación de los estudiantes, de los que se requiere que argumenten sus respuestas dentro de su
actividad matemática. Se podría, pues, preguntar, ¿en base a qué competencias “argumentativas”
mostradas se debe evaluar al estudiante? La didáctica de las matemáticas no conoce o no describe algo
similar a unos “niveles de argumentación” que sirvan de referencia para decidir si un estudiante en un
nivel determinado argumenta según lo requerido de manera objetiva.
Con todo, los docentes tienen el requerimiento de evaluar la argumentación de los estudiantes, y se
observa que la argumentación es un elemento común a diferentes materias; es por ello un elemento que
facilita la transversalidad entre dichas materias.
En términos de idoneidad cognitiva, la formulación de conjeturas iniciales y su desarrollo por
indagación permite la construcción de un argumento que sirva para dar respuesta a las preguntas
planteadas en la situación de aprendizaje. Durante este proceso, el alumnado distingue entre
“argumentos consensuados” y “argumentos no consensuados” por el grupo.
En términos de idoneidad interaccional, el proceso de comunicación de un resultado requiere
implícitamente de elementos retóricos para convencer al igual. En este sentido, la argumentación incluye
la capacidad expositiva, la participación en debates, o el empleo de soportes digitales para apoyar las
explicaciones.
En términos de idoneidad epistémica, se valora la validez de un argumento en función de su valor de
verdad en tanto que silogismo lógico.
La argumentación en matemáticas
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DISCUSIÓN
Finalmente, se identifican dos aspectos problemáticos en torno a las nociones de argumentación.
La primera cuestión tiene que ver con la confusión que en ocasiones existe entre “argumentos” y
“procedimientos”. En efecto, en la descripción de ciertos procesos matemáticos da la impresión de que
un procedimiento riguroso, estricto y formal adquiere automáticamente la categoría de argumento. Sin
embargo, no hay que olvidar que se trata de dos objetos de distinta naturaleza, en tanto que objetos
matemáticos primarios.
La segunda cuestión tiene ver con el exceso de formalismo presente en algunas propuestas dirigidas a
estudiantes de educación secundaria. La implementación de metodologías STEM se debe entender como
una fortaleza, dado que permite a los estudiantes tener una experiencia directa con actividades de
laboratorio, trabajo por proyectos, salidas a la naturaleza, etc., extremadamente adecuados a su edad y
su desarrollo evolutivo.
Por el contrario, se puede dar el caso de que el docente ponga excesivo énfasis en los aspectos formales
o simbólicos de la actividad (aplicación estricta de normas IUPAC, exceso de celo en la escritura
simbólica de expresiones algebraicas, etc.), lo cual puede derivar en un fenómeno de desapego hacia la
actividad matemática o científica.
REFERENCIAS
Abaurrea, J., Lasa, A. (2025). Carácter transversal de la argumentación en el currículum de matemáticas.
Educação Matemática Pesquisa. [En prensa].
Boletín Oficial de Navarra (BON) (2015). Decreto Foral 24/2015, de 22 de abril, por el que se establece
el currículo de las enseñanzas de Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Foral de
Navarra. Pamplona: Autor. Disponible en,
http://www.navarra.es/home_es/Actualidad/BON/Boletines/2015/127/.
Botana, F., Hohenwarter, M., Janicic, P., Kovacs, Z., Petrovic, I., Recio, T., & Weitzhofer, S. (2015).
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Reasoning, 55(1), 39-59.
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La pensée sauvage, éditions.
Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics
education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39 (1-2), 127-135.
Godino, J.D. (2024). Enfoque ontosemiótico de educación matemática. Fundamentos, herramientas y
aplicaciones. Editorial Aula Magna.
Lasa, A. (2016). Instrumentación del medio material GeoGebra e idoneidad didáctica en procesos de
resolución de sistemas de ecuaciones. Universidad Pública de Navarra. Tesis Doctoral.
Lasa, A., Wilhelmi, M.R., & Abaurrea, J. (2017). El problema de la argumentación: una aproximación
desde el EOS. En J.M. Contreras, P. Arteaga, G.R. Cañadas, M.M. Gea, B. Giacomone y M.M.
López-Martín (Eds.), Actas del Segundo Congreso International Virtual sobre el Enfoque
Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos. Disponible en,
www.enfoqueontosemiotico.ugr.es/ civeos.html