Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2025), vol. 16, Núm. 1, pp 38-74
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v16i1.674
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Artículo de revisión
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
Leading theories of mathematics learning
Cerapio Quintanilla 1, a
1 Universidad Nacional de Huancavelica, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7639-3785
quintanilla.cn@unh.edu.pe
Resumen
El presente artículo de revisión ofrece una panorámica de las principales teorías que
sustentan el aprendizaje de las matemáticas. Se exploran tanto las perspectivas
psicológicas (constructivismo de Piaget, sociocultural de Vygotsky y redescubrimiento de
Bruner) como las cognitivas (teorías APOS de Dubinsky, teoría de la comprensión de
Pirie-Kieren y construccionismo de Papert). Asimismo, se expone las teorías social
constructivistas de la didáctica de las matemáticas, destacando la teoría de situaciones
didácticas de Brousseau, la teoría antropológica de lo didáctico de Chevallard, la teoría de
ingeniería didáctica de Artigue, la socioepistemología de Cantoral, el enfoque
Ontosemiótico de Godino, la teoría de la objetivación de Radford y el constructivismo
radical de Glasersfeld. Este análisis comparativo revela una rica diversidad de enfoques,
cada uno aportando valiosas herramientas para comprender los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas. Las teorías psicológicas enfatizan la construcción activa
del conocimiento por parte del estudiante, mientras que las cognitivas se centran en los
procesos mentales involucrados en la resolución de problemas matemáticos. Las teorías
social constructivistas, por su parte, subrayan la importancia del contexto social y cultural
en la construcción del conocimiento matemático. En conjunto, estas principales teorías
ofrecen un marco conceptual sólido para diseñar estrategias de enseñanza más efectivas y
para comprender las dificultades que los estudiantes enfrentan al aprender matemáticas,
así como desarrollar investigaciones por parte de la comunidad científica; ninguna de las
teorías es mejor que otra, sino cada uno de ellos juegan un papel muy importante en el
campo de las didácticas de las matemáticas. Finalmente, existen muchas otras teorías que
el lector puede explorar de acuerdo a la necesidad y su experiencia académica.
Abstract
This review article provides an overview of the main theories underpinning mathematics
learning. It explores both psychological perspectives (Piaget's constructivism, Vygotsky's
sociocultural theory, and Bruner's rediscovery approach) and cognitive perspectives
(Dubinsky's APOS theory, Pirie-Kieren's theory of understanding, and Papert's
constructionism). Additionally, it examines social constructivist theories in the didactics
of mathematics, highlighting Brousseau's Theory of Didactic Situations, Chevallard's
Anthropological Theory of Didactics, Artigue's Didactic Engineering Theory, Cantoral's
Socioepistemology, Godino's Ontosemiotic Approach, Radford's Theory of
Objectification, and Glasersfeld's Radical Constructivism. This comparative analysis
reveals a rich diversity of approaches, each providing valuable tools for understanding the
processes of teaching and learning mathematics. Psychological theories emphasize the
student's active construction of knowledge, while cognitive theories focus on the mental
processes involved in solving mathematical problems. Social constructivist theories, on
the other hand, emphasize the importance of social and cultural contexts in the construction
of mathematical knowledge. Together, these major theories offer a solid conceptual
framework for designing more effective teaching strategies and for understanding the
challenges students face when learning mathematics, as well as for guiding research in the
scientific community. None of these theories is superior to the others; rather, each plays a
crucial role in the field of mathematics didactics. Finally, there are many other theories
that readers can explore according to their needs and academic background.
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
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1. TEORÍAS PSICOLÓGICAS DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
1.1. La visión constructivista de Piaget
La base fundamental para comprender el proceso de aprendizaje y el desarrollo de los conocimientos de
los niños es la teoría de Jean William Fritz Piaget (1896–1980). Piaget hizo un estudio sobre el desarrollo
y la formación de los conocimientos tomando en cuenta el proceso central de equilibración, considera que
los ciclos epistémicos y su funcionamiento se basan en los procesos que son los componentes de un
equilibrio cognitivo, asimilación y acomodación.
La equilibración es un proceso que conduce desde ciertos estados de aproximados equilibrios a otros,
cualitativamente diferentes, pasando por múltiples desequilibrios y reequilibraciones. Estos equilibrios
cognitivos son muy diferentes a un equilibrio mecánico. Además, considera que los ciclos epistémicos y
su funcionamiento se basan en dos procesos fundamentales que son los componentes de un equilibrio
cognitivo, asimilación y acomodación; para ello, propone dos postulados:
a) Todo esquema de asimilación tiende a alimentarse, es decir, a incorporar los elementos exteriores
a él y compatibles con su naturaleza.
b) Todo esquema de asimilación se encuentra obligado a acomodarse a los elementos que asimila,
es decir, a modificarse en función de sus particularidades, pero sin perder, por ello, su continuidad
(y por tanto su cerramiento en cuanto ciclo de procesos interdependientes), ni sus anteriores
poderes de asimilación (Piaget, 1990, p. 9).
Considera que el segundo postulado es válido en el plano biológico con las adaptaciones fenotípicas;
entonces, es necesario un equilibrio entre la asimilación y la acomodación, en la medida que la
acomodación se impone y sigue siendo compatible con el ciclo, modificado o no. También ocurre una
asimilación recíproca; cuando dos esquemas o subsistemas se aplican a los mismos objetos; por ejemplo,
dos acciones, como la de mirar y coger un objeto, que pueden ser dependientes o independientes, o se
coordinan sin tener necesidad del contenido real.
El equilibrio cognitivo se consigue cuando el estudiante ha alcanzado un nivel de conocimiento, pero ¿por
qué se producen los desequilibrios? Al respecto, Piaget (1990, p. 14) considera que “es evidente que en
una perspectiva de equilibración una de las fuentes de progreso en el desarrollo de los conocimientos ha
de buscarse en los desequilibrios como tales, de por sí solos obligan a un sujeto a superar su estado actual
y a buscar lo que sea en nuevas direcciones”. Los desequilibrios solo desempeñan una función de
desencadenadores, ya que su fecundidad se mide por la posibilidad de superarlos; pero este desequilibrio
hay que superarlo buscando una fuente real en la reequilibración, no en el mismo equilibrio que
desencadenó el conflicto, sino en una forma superior. Por tanto, sin el desequilibrio no se habría producido
una “reequilibración maximizadora” (Inhelder, García, & Vonèche, 1978; Piaget, 1990), denominado así
a la equilibración con la mejora obtenida.
Consideremos un ejemplo de desequilibro en la adición. Hasta la aparición del tema de los números
enteros, los niños han trabajado con números naturales en la adición, por lo que la adición suponía la
obtención de un resultado igual o mayor a uno de los componentes: 3 + 0 = 3, 2 + 5 = 7; entonces, los
niños han alcanzado el equilibrio. Pero cuando le presentamos una adición con signo negativo de la forma:
4 + (– 3), produce en los niños y niñas un desequilibrio en la concepción de la operación adición, que se
resolverá con la correspondiente asimilación y acomodación.
Es necesario prestar atención a cómo funciona la equilibración. Para Piaget (1990) se inicia con la
perturbación y se define como aquello que constituye un obstáculo para la asimilación, como la llegada
a un objetivo; todas las regulaciones son, desde el punto de vista del sujeto, reacciones a perturbaciones.
Además, considera dos tipos de perturbaciones: a) una que se opone a las acomodaciones, que constituye
las causas de fracasos o de errores, donde las regulaciones que les corresponden entrañan una
retroalimentación negativa; b) la segunda; se refiere a las perturbaciones que son fuentes de
desequilibrios, que consisten en lagunas que dejan las necesidades insatisfechas y se expresan en la
alimentación insuficiente de un esquema. Una laguna se convierte en una perturbación cuando se trata de
la ausencia de un objeto o de las condiciones de una situación que son necesarias para realizar una acción
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o, incluso, cuando existe carencia de un conocimiento que es indispensable para resolver un problema.
Cabe aclarar; que cualquier laguna no constituye una perturbación.
Figura 1
Diagrama del sistema de equilibración y reequilibración de Piaget
Los mecanismos de regulación hacen que intervengan dos componentes de sentidos opuestos: uno
retroactivo, que conduce del resultado de una acción a su repetición, y otro proactivo, que conduce a una
corrección o a un refuerzo. La retroalimentación negativa consiste en una corrección supresora, ya que
se trata de apartar obstáculos o modificar esquemas eliminando un elemento en provecho de otro. La
retroalimentación positiva es cuando se realiza un refuerzo, ajena a cualquier negación. Es necesario
determinar la naturaleza de una laguna; según Piaget “una laguna es un carácter negativo y llenar una
laguna con un refuerzo es también una supresión, aunque afecte a esta insuficiencia como tal” (Piaget,
1990, p. 28).
Si los equilibrios funcionan por conservaciones mutuas; y la perturbación es la que amenaza a esa
conservación, para neutralizar dicha perturbación existe un elemento denominado compensación (Piaget,
1990). De forma general, las regulaciones mediante retroalimentaciones negativas desembocan siempre
en compensaciones, pero en su seno se pueden distinguir dos clases: las compensaciones por inversión,
que consisten en anular la perturbación, y las compensaciones de reciprocidad, que consisten en
diferenciar el esquema para acomodarlo al elemento inicialmente perturbador. “En el caso de las
perturbaciones que se pueden producir con ocasión de la asimilación recíproca de esquemas o de
subsistemas, es evidente que las regulaciones desembocan en compensaciones por reciprocidad” (Piaget,
1990, p. 31). Finalmente, añade que “si toda perturbación desencadena una regulación y si toda regulación
conlleva una compensación que se orienta hacia el equilibrio, la tesis es siempre verdadera y en
consecuencia tautológica” (p. 191).
1.1.1. Asimilación y acomodación
Piaget centra su investigación en la inteligencia y el pensamiento, en la búsqueda de conceptos formales
que expliquen el conocimiento bajo dos conceptos centrales denominados asimilación y acomodación.
Para Da Silva (2008) la asimilación es directamente derivada de la biología, y es la capacidad del
organismo para incorporar el objeto de la cognición a su estructura cognitiva. Para que esto ocurra, es
necesaria que ciertas transformaciones sean ejecutadas por el organismo sobre el objeto de la realidad, de
modo que al colocarla en forma adecuada ocurra la absorción. La asimilación se relaciona con la
adquisición de nuevos datos y la formación de vínculos entre esta nueva información y la estructura
original (Meel, 2003). El resultado de este proceso es una forma de conocimiento, y no es el resultado de
copiar el dato externo, tal como se nos presenta a los sentidos. Por ello, asimilar no es copiar, asimilar es
dar sentido e interpretar, dar significado a una nueva experiencia para que luego sean parte de nuestros
esquemas cognitivos y requiera acomodación continuamente.
La acomodación reorganiza parte del todo de la estructura cognitiva del individuo (Meel, 2003). Según
Piaget (1976, p. 316), “esta acomodación permanece de tal modo indiferenciada de los procesos
asimiladores, que no da lugar a ninguna conducta especial, sino que consiste, simplemente, en un ajuste
de estos a las cosas asimiladas”. La acomodación consiste en la modificación de la estructura cognitiva o
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del esquema comportamental para acoger nuevos objetos y eventos que, hasta el momento eran
desconocidos para el niño
Finalmente, es importante resaltar que el conocimiento elemental nunca es resultado de una simple
impresión impuesta por los objetos en los órganos sensoriales, sino que siempre se debe a una asimilación
activa del sujeto que incorpora los objetos a sus esquemas sensomotores, es decir, a aquellas acciones
propias que son susceptibles de reproducirse y de combinarse entre ellas. Por consiguiente, el aprendizaje
en función de la experiencia no se realiza a partir de presiones pasivamente sufridas por el sujeto, sino a
partir de la acomodación de sus esquemas de asimilación (Piaget, 1985).
Meel (2003), considera que la asimilación y la acomodación subyacentes son dos mecanismos esenciales
en el desarrollo cognitivo y están compuestos por dos componentes esenciales, que son la generalización
y la abstracción. En matemáticas, la generalización comúnmente se refiere al proceso de aplicar un
argumento en un contexto más amplio; sin embargo, el tipo de generalización empleada por el estudiante
depende de la estructura cognitiva. En cambio, la abstracción, se presenta cuando el estudiante se orienta
en las propiedades de un objeto, es decir, en la estructura subyacente del contexto, y extrapola las
cualidades o características comunes y las considera aisladas del objeto del cual se obtuvieron.
En resumen, Piaget; no solo construye un edificio teórico complejo y coherente sino que aporta un enfoque
y una metodología nueva para abordar el problema del conocimiento humano. Además, hace posible la
construcción de una ciencia del conocimiento, la epistemología genética, que no se limita a estudiar el
desarrollo individual sino que abarca también el desarrollo del pensamiento científico (Socas Robayna,
2000).
1.1.2. La abstracción reflexiva de Piaget
El trabajo fundamental de proceso cognitivo de Piaget que él calificó como “equilibrio”, se describe como
el proceso por el cual el sujeto intenta comprender todo un sistema cognitivo. Tal sistema ocurre cuando
el sujeto construye cognitivamente una comprensión de una información a través de un proceso llamado
“abstracción reflexiva” (Dubinsky & Lewin, 1986).
Abstracción empírica
Para Piaget y Beth (1980, p. 212), la abstracción empírica proviene de los objetos percibidos y consiste
simplemente en extraer los caracteres comunes de una clase de objetos (combinando la abstracción con
la mera generalización); es decir, la abstracción empírica es como el mecanismo que deriva del
conocimiento de las propiedades de los objetos, y aparece con las experiencias del sujeto y es algo externo;
sin embargo, el conocimiento de aquellas propiedades es el resultado de las construcciones hechas
internamente por el sujeto (Dubinsky, 1991). Ejemplo, cuando extraemos alguna propiedad de un objeto,
la noción de peso, o de color, sin hacer ninguna acción sobre el objeto, entonces se trata de una abstracción
empírica. En efecto, las abstracciones en los primeros años de infante se podrían decir que son las
abstracciones empíricas; en cambio en el adulto se presenta en las experiencias iniciales.
Abstracción seudo-empírica
Se encuentra en el intermedio entre la abstracción empírica y la abstracción reflexiva. “Se trata de una
regulación, no ya de las abstracciones empíricas, sino de las abstracciones seudoempíricas [sic] (es decir,
que atañen a propiedades que las operaciones del sujeto introducen en los objetos, como el orden o el
número, etc., y no a las propiedades físicas). Hay por lo tanto, aquí un tipo más complejo de las
regulaciones” (Piaget, 1990, p. 24). El conocimiento de esta situación se considera empírica porque tiene
que ver con los objetos; sin embargo, su configuración en el espacio da lugar a realizar acciones sobre los
objetos (Dubinsky, 1991). Cuando la coordinación afecta a las propiedades momentáneas de los objetos,
pero introducidas en ellos por el sujeto: por ejemplo, la equivalencia entre dos filas de fichas que el sujeto
habrá ordenado en correspondencia de término a término. En este caso, es evidente que se tratará de una
coordinación entre acciones u operaciones del sujeto y no entre objetos, aunque la lectura de los resultados
se efectúa en los objetos, pero en la medida en que se les aplica las operaciones en juego (Piaget, 1990, p.
52). Una vez más, por supuesto, entendiendo que hay una relación 1–1 entre dos conjuntos es el resultado
de las construcciones informales hechas por los sujetos.
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Abstracción reflexiva
La abstracción reflexiva consiste en extraer de un sistema de acciones o de operaciones de nivel inferior
ciertos caracteres, cuya reflexión (en el sentido casi físico del término) sobre acciones u operaciones de
nivel superior está garantizada por ella misma; pues no es posible percatarse de los procesos de una
construcción anterior sino reconstruyéndola sobre un nuevo plano (Piaget & Beth, 1980, p. 212). Mientras
que Ayers, Davis, Dubinsky y Lewin (1988, p. 2), entienden por abstracción reflexiva al proceso cognitivo
por el cual una acción física o mental se reconstruye y reorganiza en un plano superior del pensamiento.
Cuando la equilibración en una estructura cognitiva reequilibra una perturbación por sometimiento en
mayor o menor grado de reconstrucción, a este proceso se le conoce como abstracción reflexiva. Entonces,
se considera que el aprendizaje del estudiante fue exitoso, y la abstracción reflexiva ha tomado lugar
(Dubinsky & Lewin, 1986). La abstracción reflexiva es el mecanismo que nos sirve para extraer o separar
una característica de un objeto, a partir no exactamente de los objetos, sino de acciones que realizamos
sobre ellos.
Por tanto, la abstracción empírica y la abstracción seudo–empírica se basan en el conocimiento de los
objetos mediante la realización o imaginación de las acciones sobre ellos. En cambio, la abstracción
reflexiva interioriza y coordina estas acciones para formar nuevas acciones y, en última instancia, nuevos
objetos. La abstracción empírica se utiliza para extraer los datos de estos nuevos objetos a través de la
acción mental sobre ellos, y así sucesivamente. En la abstracción empírica el sujeto observa una serie de
objetos y abstrae la propiedad común. Por otra parte, la abstracción seudo-empírica procede de la misma
manera; luego de haber realizado acciones sobre los objetos. Mientras tanto, la abstracción reflexiva es
mucho más complicado, pero el desarrollo cognitivo puede darse a través de las abstracciones (Dubinsky,
1991, p. 96).
1.2. La visión social de aprendizaje de Vigotsky
Vygotsky hijo de una familia judía, nació en Orsha en 1896 y falleció en 1934. En su tesis doctoral sobre
psicología del arte, aparecen ciertos bosquejos sobre las funciones psicológicas inferiores y superiores, lo
que da origen a problemas de aprendizaje; este es un tema que desarrolló a lo largo de sus obras.
El carácter histórico y social de los procesos psicológicos superiores, el papel de los instrumentos de
mediación que protagonizan en su ejecución y, en un plano metodológico, la necesidad de un enfoque
genético en psicología; conforman la tesis de que los procesos psíquicos superiores tienen un origen
histórico social, que los instrumentos de mediación (herramientas y signos) cumplen un papel importante
en la constitución de los procesos psíquicos superiores y estos se pueden abordar desde una perspectiva
genética (Baquero, 2001).
Según Vygotsky, “el desarrollo cultural del niño se caracteriza, en primer lugar, por el hecho de que
transcurre bajo condiciones de cambios dinámicos en el organismo. El desarrollo cultural se halla
sobrepuesto a los procesos de crecimiento, maduración y desarrollo orgánico del niño. Forma una unidad
con estos procesos. Solamente mediante un proceso de abstracción podemos separar un conjunto de
procesos de otro”(Baquero, 2001, p. 38).
Para Vygotsky la función inicial del lenguaje es la comunicativa. El lenguaje es, ante todo, un medio de
comunicación social, de expresión y de comprensión (Ackermann, 2004; Baquero, 2001; Vygotsky,
1989). Vygotsky hace mayor énfasis que Piaget sobre el rol del lenguaje, y en la relación de integración
entre el habla y la inteligencia, o entre el habla y el desarrollo cognitivo (Harel, 1991). Según Vigotsky
(1979, p. 49) “para el niño, hablar es tan importante como el actuar para lograr una meta. Los niños no
hablan sólo de lo que están haciendo; su acción y conversación son parte de una única y misma función
psicológica dirigida hacia la solución del problema planteado”. Además, para Vigotsky, los niños
resuelven tareas prácticas con la ayuda del lenguaje, así como con la de sus ojos y de sus manos; esto le
permite la internalización del campo visual.
El aprendizaje infantil, se inicia mucho antes de que el niño llegue a la escuela (Vigotsky, 1979). Los
niños empiezan a estudiar aritmética en la escuela, pero mucho antes han tenido ya alguna experiencia
con la operación de cantidades. Luego, Vigotsky (1979) demostró:
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
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“…que la capacidad de dos niños de idéntico nivel de desarrollo mental para aprender bajo la
guía de un maestro variaba en gran medida, se hizo evidente que ambos niños no poseían la misma
edad mental y que evidentemente, el subsiguiente curso de su aprendizaje sería distinto. Esta
diferencia entre doce y ocho, o nueve y ocho, es lo que denominamos la zona de desarrollo
próximo. No es otra cosa que la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la
capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial,
determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración
con otro compañero más capaz” (p. 133).
Figura 2
Esquema de la zona de desarrollo próximo (ZDP) de Vigotsky y el andamiaje de Bruner
Estos dos procesos son los ejes y los que nos permiten trazar el futuro inmediato del niño/a, así como su
estado evolutivo en la propuesta de las prácticas educativas por Vigotsky; el nivel real de desarrollo del
niño es cuando éste tiene la capacidad de realizar un problema de modo independiente. Mientras tanto,
define la zona de desarrollo próximo como la zona en la que aquellas funciones todavía no han madurado,
pero se hallan en proceso de maduración; son funciones que, más adelante alcanzarán su madurez. “El
nivel de desarrollo real caracteriza el desarrollo mental retrospectivamente, mientras que la zona de
desarrollo próximo caracteriza el desarrollo mental prospectivamente” (Vigotsky, 1979, p. 134).
En efecto, sobre los procesos del aprendizaje “nosotros postulamos que lo que crea la zona de desarrollo
próximo, es un rasgo esencial de aprendizaje; es decir, el aprendizaje despierta una serie de procesos
evolutivos internos capaces de operar solo cuando el niño está en interacción con las personas de su
entorno y en cooperación con algún semejante. Una vez se ha internalizado estos procesos, se convierte
en parte de los logros evolutivos independientes del niño” (Vigotsky, 1979, pp. 138-139).
Idit Harel (1991, p. 29), sostiene que la teoría de Vigotsky nos ofrece varias e importantes ideas
pedagógicas, pero no posee una estructura técnica que relacione el mecanismo de la mente con el
desarrollo cognitivo. En cambio, el constructivismo de Piaget, tiene una estructura teórica y una estructura
teórica del mecanismo de la mente y del desarrollo cognitivo.
1.3. El aprendizaje por descubrimiento y el andamiaje de Jerome Bruner
El aprendizaje de Bruner se basa en la categorización de los procesos mediante las cuales simplifica la
interacción con la realidad a partir de la agrupación de objetos u sucesos (Esteban, 2009). El aprendiz
construye su conocimiento según sus propias categorías y va modificando a partir de su interacción con
el ambiente. Por tanto, el aprendizaje es un proceso activo, de asociación, construcción y representación.
Aramburu Oyarbide (2004, p. 12) sostiene que el aprendizaje por descubrimiento puede infundirle
confianza al estudiante. Asimismo, Esteban (2009, p. 238) considera que una fase cognitiva del
pensamiento pedagógico de Bruner es el aprendizaje por descubrimiento. El instructor debe motivar a los
estudiantes para que sean ellos mismos los que descubran relaciones entre conceptos y construyan
conocimientos. La influencia de Piaget al respecto es evidente.
Z D P
Aprendiz
Nivel del tutor
Nivel real de desarrollo
Nivel de desarrollo potencial
Tutor
Distancia de acercamiento
Guía
tutorial
Sistema de andamiaje
propuesto por Bruner.
Ver en la sección 1.3
Cerapio Quintanilla
44
Bruner observa que los seres humanos comprenden mejor por la estimulación visual y la experiencia de
la manipulación de objetos en nuestro entorno. Bruner llegó a la conclusión de que nuestras mentes
funcionan de tres maneras principales: habilidades de iconos (reconocimiento visual), habilidades de
manejos inactivos (manipulación de objetos inertes) y habilidades simbólicas (capacidad para comprender
el razonamiento abstracto). Y que según Booth (2006, p. 3), Kay utilizó estas observaciones para crear el
primer interfaz (Graphical User Interface) llamado “Xerox Star”, una interfaz gráfica de ventanas
(Windowing GUI), con todos sus componentes. Y que Microsoft no tardó en ponerse en esta idea y creó
su propia GUI llamado ´Windows´.
Por otra parte en el aprendizaje, las discusiones sobre la resolución de problemas o la adquisición de
habilidades por lo general parten de la premisa de que el alumno está solo y sin ayuda. En consecuencia,
el papel central del buen maestro consiste en descubrir la ZDP de cada estudiante en un momento
determinado de su desarrollo y facilitarle la mediación y el apoyo en el aprendizaje. Esa actividad del
profesor constituye el “andamiaje”, que permite a un niño/a o novato, resolver un problema o una tarea
para alcanzar un objetivo, que sería muy difícil alcanzar sin la ayuda de un tutor (Wood, Bruner, & Ross,
1976). Este andamiaje, consiste esencialmente en que el adulto controle los elementos de la tarea que
inicialmente está más allá de la capacidad del alumno (ver Figura 2).
2. TEORÍAS COGNITIVAS DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
En esta parte, se presentan las principales teorías cognitivas de la matemática educativa, la teoría de la
comprensión de Pirie–Kieren, la teoría APOS (acción, proceso, objeto y esquema) del grupo RUMEC y
el construccionismo de Seymour Papert.
Los trabajos de Jean Piaget, dieron origen a la teoría APOS (1985 – 1995) propuesta por Dubinsky, (2000)
(Asiala et al., 1996), así como a la teoría del construccionismo. Esta teoría explica cómo los niños
comprenden un determinado concepto u objeto matemático a través de niveles de constructos mentales y
abstracciones reflexivas. El construccionismo de Seymour Papert, también se sustenta en los trabajos de
Piaget, Vygotsky y Bruner y se considera una teoría más amplia que ayuda a comprender a las anteriores.
2.1. La teoría APOS
La teoría APOS (Acción, Proceso, Objeto, Esquema) es un modelo cognitivo desarrollado por Ed
Dubinsky y sus colaboradores para explicar cómo los estudiantes construyen el conocimiento matemático.
Esta teoría se sustenta en la teoría de Piaget, quien considera que el aprendizaje es un proceso constructivo,
en el que los estudiantes transforman acciones en procesos, procesos en objetos y finalmente integran
estos objetos en esquemas más complejos.
El mecanismo principal en la construcción de conocimiento matemático en la teoría APOS, es la
abstracción reflexiva tomada de Piaget (coordinación general de acciones), en el sentido de un proceso
que permite al individuo, a partir de las acciones sobre los objetos, inferir sus propiedades o las relaciones
entre objetos o en cierto nivel de pensamiento, lo que implica, entre otras cosas, la organización o la toma
de conciencia de dichas acciones y separar la forma de sus contenidos e insertar esta información en un
marco intelectual reorganizado en un nivel superior (Trigueros, 2005).
Para Dubinsky, los trabajos de Piaget sobre el proceso de abstracción reflexiva fueron la clave para la
construcción de los conceptos lógico matemáticos, e influyeron en el desarrollo de la teoría de Acción –
Proceso – Objeto – Esquema (teoría APOS, sigla en inglés: Action, Process, Object and Schema). Meel
(2003) sostiene que en el mecanismo de la construcción de estos esquemas, la abstracción reflexiva, es el
corazón de la teoría APOS; además, añade que la abstracción reflexiva extiende la construcción de
conexiones entre los conceptos abstraídos y constituye una estructura fuera de las abstracciones
relacionadas. A continuación, se muestra la construcción de la estructura del conocimiento matemático.
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
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Figura 3
Etapas de los objetos y procesos como constructo mental (Meel, 2003)
).
2.1.1. Constructo mental de Acción
Los elementos principales de la teoría APOS son cuatro; y la piedra angular es el constructo mental acción
(similar a los esquemas acción de Piaget). Según Asiala et al. (1996), la comprensión de un concepto
matemático comienza con la manipulación de objetos físicos o mentales previamente construidos para
formar acciones. Y para Breidenbach, Dubinsky, Hawks, y Nichols (1992, p. 249) una acción es
“cualquier manipulación repetible, física o mental, que transforma objetos (por ejemplo, números, figuras
geométricas, conjuntos, etc.) para obtener objetos”.
2.1.2. Constructo mental de Proceso
Cuando una acción es repetida y el individuo reflexiona sobre ella, puede interiorizar tal acción en
proceso; la construcción interna permite realizar la misma acción, pero no puede ser dirigida
necesariamente por estímulos externos. Según Meel (2003, p. 244), “conforme una acción se interioriza
a través de una secuencia de repetición de la acción y el reflejo de la misma, la acción ya no se maneja
por influencias externas, pues se vuelve una construcción interna llamada proceso (similar a las
operaciones de Piaget)”. El logro de esta concepción de proceso indica que el estudiante puede reflejar
el proceso, describirlo e, incluso, revertir los pasos de transformación sin requerir el estímulo externo
(Asiala et al., 1996).
2.1.3. Constructo mental de objeto
Cuando un individuo reflexiona sobre acciones aplicadas a un proceso específico, y es consciente del
proceso como un todo, percibe qué transformaciones (acciones o procesos) pueden influir en el proceso
y es capaz de construir realmente tales transformaciones. En tal sentido, se dice que el individuo
reconstruyó o encapsuló el proceso como un objeto cognitivo. Una vez encapsulado, el objeto existe en
la mente del individuo y necesita la asignación de una etiqueta para el objeto (Dubinsky, Dautermann,
Leron, & Zazkis, 1994). La etiqueta resultante, permite al estudiante nombrar el objeto y conectar dicho
nombre con el proceso a partir del cual se construyó el objeto perseguido. Los objetos, se pueden
desencapsular hacia el proceso desde el cual se formaron. Finalmente, las acciones, los procesos y los
objetos se pueden organizar en esquemas (Asiala et al., 1996, p. 8).
2.1.4. Constructo mental de esquema
Para Meel (2003, p. 244), “los esquemas son estructuras de organización que incorporan acciones,
procesos, objetos y otros esquemas que el estudiante invoca para resolver una situación problemática de
las matemáticas”. Asimismo, Barbosa (2003) considera que un esquema para un concepto matemático es
una colección individual de acciones, procesos y objetos a los que se pueden agregar otros esquemas
previamente construidos. Además, las diversas construcciones se encuentran conectadas, conscientemente
o no, en una estructura coherente en la mente del individuo. La construcción de dichas estructuras requiere
Encapsulación
Desencapsulación
PROCESO
OBJETO
Generalización
Interiorización
Acción
Coordinación y
inversión
Cerapio Quintanilla
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un mecanismo llamado generalización, el cual permite un alcance más amplio de la utilización del
esquema (Meel, 2003). Según Dubinsky, Piaget se refiere a dicha construcción como una asimilación
reproductiva o generalizada, y la llamó la generalización extensional (Dubinsky, 1991). Dicha
generalización es la más simple y familiar de la abstracción reflexiva, debido a que se relaciona con la
aplicación de un esquema ya existente para un nuevo conjunto de objetos.
Otro de los componentes principales en la teoría APOS es la descomposición genética. Cuando se realiza
un análisis de los conceptos matemáticos en el que se ponen de relieve las construcciones cognitivas que
pueden ser requeridas en su aprendizaje, a este proceso se le conoce como descomposición genética del
concepto (Trigueros, 2005).
2.1.5. Diferentes clases de abstracción reflexiva en la construcción del conocimiento matemático
Durante el proceso de construcción del conocimiento, los niños pasan por diferentes estadios considerados
por Piaget como tres tipos de abstracciones reflexivas. Dubinsky (1991, p. 101), considera cinco
abstracciones reflexivas como métodos de construcción del pensamiento matemático avanzado:
Interiorización: según Dubinsky, Piaget denomina interiorización a la construcción de procesos internos
como una manera de atribuir sentido a los fenómenos observados. Además, se refiere a esa construcción
como “traducción de una sucesión de acciones materiales en un sistema de operaciones interiorizadas”.
Coordinación: es un proceso cognitivo en utilizar dos o más acciones para construir un nuevo proceso o
un nuevo objeto. Por ejemplo, la multiplicación es la adición de adiciones; además, para multiplicar, es
necesario primero encapsular (mental) la acción en un objeto.
Encapsulación: es la conversión de un proceso (dinámico) en un objeto (estático). Es decir, es la
transformación mental de un proceso dinámico en un objeto cognitivo estático. Este objeto puede ser visto
como una entidad total y puede ser transformado mentalmente por otras acciones o procesos. Por tanto,
decimos que el proceso ha sido encapsulado en un objeto cognitivo.
Generalización: es la construcción que se presenta cuando el sujeto aprende a aplicar un esquema pre-
existente a una amplia colección de fenómenos. Meel (2003), considera que la generalización es la forma
más simple y familiar de la abstracción reflexiva, debido a que se relaciona con la aplicación de un
esquema ya existente para un nuevo conjunto de objetos.
Dubinsky y Lewin (1986) toman como ejemplo que la comprensión de los niños de la conmutatividad de
la adición puede ser fácilmente extendida a la conmutatividad de la multiplicación. Luego, puede ser
generalizada para incluir operaciones de conjuntos, tales como unión e intersección. Pero no todo es cierto,
por ejemplo, en las operaciones de matrices no cumple la propiedad conmutativa.
Reversibilidad: esta construcción está presente cuando el sujeto es capaz de obtener un nuevo proceso
invirtiendo un proceso interiorizado. Asimismo, la reversión es, esencialmente, la construcción de un
proceso que es contraorden de un proceso internalizado (Meel, 2003).
2.1.6. La triada de Piaget: Intra–Inter–Trans
En su obra Psicogénisis e historia de la ciencia, Piaget y García (1982) presentan su tesis sobre la
evolución de los esquemas, proponiendo tres etapas: Intra, inter y trans. Julie Clark et al. (1997)
retomaron el trabajo de Piaget y García para analizar los mecanismos de la triada: Intra, Inter y Trans. La
etapa Intra, se caracteriza por la concentración en un solo objeto en forma aislada de otras acciones,
procesos u objetos. La etapa Inter, se caracteriza por el conocimiento de las relaciones entre las diferentes
acciones, procesos, objetos y/o esquemas. Consideramos que es útil llamar pre-esquema a la colección
que se encuentra en esta etapa de desarrollo. La etapa Trans, se caracteriza por la construcción de una
estructura coherente que subyace a algunas relaciones descubiertas en la etapa inter de desarrollo.
La teoría APOS ofrece un marco teórico sólido para analizar y comprender los procesos de aprendizaje
de las matemáticas. Al entender cómo los estudiantes construyen el conocimiento matemático, los
docentes pueden diseñar estrategias de enseñanza más efectivas y personalizadas; así como, realizar
investigaciones en el campo de las didácticas de las matemáticas.
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
47
2.2. Teoría de la comprensión de Pirie–Kieren
2.2.1. Introducción a la idea de comprensión
El conocimiento, la habilidad y la comprensión son el material que se intercambia en educación. La
mayoría de los docentes muestran un fuerte compromiso con los tres. Pero la comprensión demuestra ser
más sutil. Por cierto, no se reduce al conocimiento (Perkins, 1999, p. 69) y que el alumno que hábilmente
resuelve problemas rutinarios de física o escribe párrafos con oraciones tópicas puede no comprender casi
nada de física, de escritura o de aquello acerca de lo que escribe. Aunque el conocimiento y la habilidad
pueden traducirse como información y desempeño rutinario, la comprensión escapa de estas normas
simples.
David Meel (2003, p. 225), hace referencia a los trabajos de Browell y Sims (1946), para quienes la
comprensión matemática era un concepto difícil de definir y explicaron que “es muy difícil de encontrar
y formular una definición técnica exacta de comprender o comprensión”. Además describieron como (a)
la capacidad de actuar, sentir o pensar de manera inteligente respecto a una situación; (b) varía respecto
al grado de exactitud e integridad; (c) varía respecto a la situación problemática que presenta; (d) necesita
conectar las experiencias del mundo real y los símbolos inherentes; (e) necesita verbalizaciones, a pesar
de contener significados menores; (f) desarrolla varias experiencias, en vez de la repetición de las mismas;
(g) está influida por los métodos empleados por parte del maestro; y (h) es inferida por la observación de
las acciones y las verbalizaciones.
Para David Meel (2003, p. 225), antes de 1978 la comprensión se identificaba con el conocimiento y se
establecía a través del éxito frente a la resolución de problemas y operaciones algorítmicas. Luego a partir
de 1978, según Meel el trabajo de Skemp introdujo la clasificación de la comprensión matemática en
relacional como saber hacer, qué hacer y por qué se debe hacer, y la comprensión instrumental como
tener reglas sin una razón explícita. Finalmente, Skemp, añade dos categorías denominadas lógica
(organización de acuerdo a una prueba final) y simbólica (una conexión del simbolismo y notación con
las ideas asociadas) (Meel, 2003, p. 226).
En cambio, George Pólya (1981, p. 23) identificó la comprensión como un elemento complementario a la
resolución de problemas, y se expresó así:
… se debe tratar de comprender todo, los hechos aislados mediante su recopilación con los hechos
relacionados, los descubrimientos recientes a través de sus conexiones con lo ya asimilado, lo
desconocido por analogía con lo acostumbrado, los resultados especiales mediante la
generalización, los resultados generales por medio de la especialización adecuada, las situaciones
complejas mediante la separación de las mismas en sus partes constituyentes y los detalles
mediante la integración de los mismos dentro de una imagen total .
Otra manera de ver la comprensión es como construcción de concepciones operacionales y estructurales.
Al respecto, Anna Sfard (1991) define la base de las matemáticas como dos entidades: Concepto y
concepción. Un concepto se refiere a una idea real definida matemáticamente; y que una concepción
involucra un grupo de representaciones y vínculos internos del aprendiz causados por el concepto.
Además, para Sfard los conceptos matemáticos radican en su dualidad de su concepción, por lo que se
puede ver como estáticos, instantáneos e integradores (estructurales, o dinámicos, secuenciales y
detallados – operacionales) (Meel, 2003, p. 233). En tal sentido, una concepción operacional se relaciona
con los procesos, algoritmos y acciones que ocurren a nivel físico o mental. Y una concepción estructural
es más abstracta, más integrada y menos detallada que una concepción operacional (Meel, 2003, p. 233).
2.2.2. El modelo de Pirie y Kieren
El modelo es una estructura diseñada para la investigación y la ejecución de actividades en el proceso de
aprendizaje. Pirie y Kieren (1989) desarrollaron su posición teórica respecto a la comprensión
matemática, y sostienen que:
La comprensión matemática se puede definir como algo estable pero no lineal. Es un fenómeno
recursivo, y la recursión parece ocurrir cuando el pensamiento cambia los niveles de sofisticación.
De hecho, cada nivel de comprensión se encuentra contenido dentro de los subniveles
Cerapio Quintanilla
48
subsiguientes. Cualquier nivel particular depende de las formas y los procesos del mismo y,
además, se ve limitada por los que están fuera de él (1989, p. 8).
Dentro de la teoría de Pirie-Kieren, el conocimiento y la comprensión son más que un simple proceso de
abstracción reflexiva de las experiencias sobre objetivaciones mentales. […] En la teoría de Pirie-Kieren,
el desarrollo de la comprensión es visto como un proceso dinámico y activo que implica la construcción
del mundo matemático para actuar sobre él (Pirie & Martin, 2000, p. 128).
La teoría de Pirie-Kieren ha crecido y ha evolucionado hasta convertirse en una teoría que puede ser
utilizada por un profesor o investigador como una herramienta para escuchar y observar en el contexto de
la actividad matemática. Según Pirie y Martin (2000, p. 129), esta teoría nos ofrece una forma teórica de
ver la comprensión cada vez más con mayor precisión lo que ocurre. Esto es un sistema por el cual un
observador (un profesor o investigador) puede observar la comprensión no en términos de una adquisición
personal o un estado adquirido; sino, como un proceso continuo (preferimos utilizar la palabra
"conocimiento" para la adquisición estática). Asimismo, se trata de una herramienta teórica del
pensamiento que una persona está plasmando con la comprensión matemática y que podrían estar
interactuando con los estudiantes que están participando en las acciones de la comprensión.
2.2.3. Niveles de la comprensión
Para realizar la investigación o el proceso de aprendizaje de un determinado tópico específico, la teoría
de Pirie y Kieren (1992), provee de ocho niveles para la comprensión, y son los siguientes: conocimiento
primitivo (primitive knowing), creación de imagen (image making), comprensión de la imagen (image
having), identificación de la propiedad (properties noticing), formalización (formalising), Observación
(observing) estructuración (structuring) e invención (inventising).
Figura 4.
Niveles de representación diagramática del modelo para la evolución de la comprensión (Meel, 2003).
.
• Nivel 1. Conocimiento primitivo. Aquí los estudiantes traen conocimientos (información) previos
al contenido a aprender. El término primitivo no se utiliza en el sentido de nivel más bajo o
insignificante, sino como el primero de los elementos “importante” y “anterior”. Este
conocimiento fue construido previamente fuera del contenido a aprender (Pirie & Kieren, 1992;
Pirie & Martin, 2000).
Al respecto, como observadores, es imposible conocer con precisión el conocimiento primitivo
de otra persona. No obstante, podemos desarrollar diferentes interpretaciones basándonos en la
evidencia disponible a través de sus acciones físicas, verbales o escritas.
Invención
Estructuración
Observación
Formalización
Identificación
de propiedad
Comprensión
de la imagen
Creación de
la imagen
Conocimiento
primitivo
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
49
• Nivel 2. Creación de imagen. Es cuando el estudiante es capaz de realizar distinciones con base
en capacidades y conocimientos anteriores. Estas imágenes no son necesariamente
“representaciones pictóricas”, sino que transmiten el significado de cualquier tipo de imagen
mental. Las acciones que se realizan en este nivel se relacionan con que el estudiante realice
alguna actividad, mental o física, para obtener una idea sobre un concepto (Meel, 2003, p. 237).
Por ejemplo, cuando los niños cortan objetos en las fracciones (Pirie & Martin, 2000, p. 130).
• Nivel 3. Comprensión de la imagen. Es la etapa en la que los alumnos ya no están ligados a las
actividades de crear imágenes, ahora son capaces de llevar con ellos un plan mental para estas
actividades y usarlo en consecuencia (Martin & Pirie, 2003, p. 174). Es decir, que una persona
puede utilizar una construcción mental sobre un tema sin tener que hacer las actividades
particulares que la han provocado (Pirie & Kieren, 1994, p. 170).
• Nivel 4. Identificación u observación de la propiedad. Es cuando el estudiante puede examinar
una imagen mental y determinar los distintos atributos asociados con dicha imagen. Además de
observar las propiedades internas de una imagen específica, el estudiante es capaz de observar las
distinciones, combinaciones o conexiones entre las distintas imágenes mentales (Meel, 2003, p.
237). Aquellas imágenes que el alumno ha examinado y ha comprendido; ahora pueden articular
las propiedades y las conexiones (Martin & Pirie, 2003, p. 174). Es decir, este cuarto nivel o
modo de comprensión, se produce cuando uno puede manipular o combinar los aspectos de la
construcción de imágenes, propiedades específicas y estructuras relevantes.
• Nivel 5. Nivel de formalización. En esta etapa el estudiante es capaz de reconocer las propiedades
para abstraer las cualidades comunes de las clases de imágenes. En este estrato el estudiante tiene
objetos mentales de clases similares construidos a partir de propiedades observadas, la extracción
de las cualidades comunes y el abandono de los orígenes de la acción mental de la persona (Pirie
& Kieren, 1989, p. 9). Para Meel (2003, p. 238) “la descripción de estos objetos mentales de
clases similares tiene como resultado la producción de definiciones matemáticas completas”.
• Nivel 6. Nivel de observación. Este nivel permite la capacidad de considerar y utilizar como
referencia el pensamiento formal de la persona. Más allá de la relación del estudiante en la meta-
cognición, el estudiante también es capaz de observar, estructurar y organizar los procesos de
pensamiento personales, así como reconocer las ramificaciones de los procesos del pensamiento.
En este nivel el estudiante puede producir verbalizaciones relacionadas con la cognición, sobre el
concepto formalizado (Meel, 2003, p. 238) Una persona que está formalizando, también está en
condiciones de reflexionar y coordinar la actividad formal, y expresar tales coordinaciones como
teoremas (Pirie & Kieren, 1994, p. 171).
• Nivel 7. Nivel de estructuración. Ocurre cuando un estudiante trata de pensar sobre las
observaciones formales como una teoría. Significa, que el estudiante es consciente que la
colección de teoremas que está interrelacionado y requiere una justificación o verificación de
estas proposiciones a través de argumentos lógicos o meta-matemáticos (Pirie & Kieren, 1994, p.
171). Para Meel (2003, p. 239) en “esta etapa el estudiante comienza a observar la relación entre
distintos objetos [sic sujetos]; realiza ciertas preguntas sobre ideas subyacentes; axiomas y
ejemplos; relaciona estas ideas subyacentes a través de varios dominios y percibe la interconexión
de diversas teorías”.
• Nivel 8. Nivel de invención (inventising). Este nivel originalmente conocido como invención
(inventing), cuyo nombre cambió para distinguir las actividades asociadas con este nivel y las
inversiones que puedan representarse en los niveles inferiores de la comprensión (Pirie & Kieren,
1994, p. 166). Además, dentro de este nivel una persona tiene la comprensión completamente
estructurada, y por tanto, puede ser capaz de romper las preconcepciones acerca de esta
comprensión y crear nuevas preguntas, el cual podría generar nuevos conceptos (1994, p. 171).
Como resultado, dice Meel (2003, p. 239) que “el uso de la invención no implica que una persona
no puede inventar en otros niveles, sino que utiliza para indicar la capacidad de liberarse del
conocimiento estructurado que representa la comprensión total y crear preguntas totalmente
nuevas que tendrán como resultado el desarrollo de un nuevo concepto”. Sin embargo, “un objeto
Cerapio Quintanilla
50
matemático, que se ha originado como un emergente del sistema de práctica que permite resolver
un determinado campo de problemas, con el paso del tiempo queda enmarcado en diferentes
programas de investigación. […] De esta manera, con el paso del tiempo aparecen nuevos
sistemas de prácticas (sentidos) que amplían el significado del objeto” (Font Moll, 2005, p. 113).
En consecuencia, el desarrollo de la comprensión no es un proceso unidireccional; sino es un proceso
recursivo y evolutivo. Además, el desarrollo de la comprensión, es un proceso de movimiento de ida y
vuelta entre y a través de los niveles; por lo que se caracteriza a la comprensión, como un proceso
organizacional y dinámico. Una consecuencia de esta línea de pensamiento es que, la estructura de la
comprensión tiene una cualidad de tipo fractal (Meel, 2003; Pirie & Kieren, 1994), porque cada nivel
externo opera a manera de envolvente de los niveles más internos.
Se puede describir cuando un estudiante alcanza el nivel de invención y ésta es como una etapa lograda,
pero al mismo tiempo esta etapa se convierte su comprensión previa, como una nueva acción primitiva
[Conocimiento Primitivo]. Una consecuencia importante de este enfoque es que la comprensión, desde la
perspectiva de un observador, tiene una cualidad fractal. Por ejemplo, concebir el concepto de fracción
en el nivel de educación primaria, en esta etapa los niños lograrán alcanzar los niveles ideales de la teoría
comprensión; sin embargo, cuando el estudiante ingresa a la educación secundaria nuevamente se presenta
el concepto de fracción, pero con mayor profundidad, entonces, lo aprendido en el educación primaria se
convierte en conocimiento primitivo; así sigue el proceso cuando el estudiante llega a universidad el
concepto de fracción se hace más compleja, donde lo aprendido en la educación secundaria se convierte
en conocimiento primitivo, luego sigue así el proceso hasta llegar al nivel más alto de la teoría de la
comprensión.
Por tanto, este proceso sigue una estructura fractal recursivo, porque los niveles externos crecen en forma
recursiva desde los niveles internos, cuando el aprendizaje pasa por los diferentes niveles hasta alcanzar
el nivel más alto; esto permite a avanzar a otro nivel, donde los niveles externos se insertan y envuelven
a los internos.
2.3. El construccionismo de Papert y los objetos con los cuales pensar
El principal autor de esta teoría es Seymour Papert, matemático y eminente investigador principalmente
en el campo de la matemática educativa del MIT. Se sabe que Papert trabajó con Piaget en Géneva entre
los años 1950 hasta los inicios del año 1960, y fue considerado como el más brillante y exitoso discípulo
recomendado por Piaget. Papert construye su modelo de aprendizaje usando la teoría cognitiva de Piaget,
la teoría de inteligencia artificial, la investigación sobre las diferentes facetas sociales y afectivas
involucradas en las matemáticas, la computación y las ciencias de la educación (Papert, 1980; Turkle,
1984; Minsky, 1986; citado por Harel, 1991).
En apariencia, tanto Piaget como Papert definen la inteligencia como la adaptación o la habilidad para
mantener un balance entre la estabilidad y el cambio, cierra y abre, continuidad y diversidad, o en palabras
de Piaget entre asimilación y acomodación. Ambos ven las teorías psicológicas como un intento de
modelar a la gente y estabilizar sus dificultades. Pero, en un nivel más profundo, Piaget está más
interesado principalmente en la construcción de la estabilidad interna, es decir, el génisis de la estabilidad
mental interna y la capacidad del desarrollo cognitivo en sus diferentes niveles; en cambio, Papert está
interesado en el cambio de dinamismo (Ackermann, 2004). Además, Piaget y Papert cuentan con similares
objetivos, pero tienen diferentes significados. Piaget ve las diversas formas del conocimiento en términos
de etapas, vemos diferentes enfoques del conocimiento como estilos de aprendizaje, y todos son
igualmente válidos en sus propios términos (Turkle & Papert, 1990).
Seymour Papert y Marvin Minsky crearon el laboratorio de inteligencia artificial del MIT. Allí,
construyeron un robot tortuga que ubicado en el suelo, se conectaba a una computadora; a través de ésta
los niños programaban los movimientos de la tortuga en el lenguaje de programación Logo. Durante tres
décadas de trabajo, los investigadores desarrollaron una teoría denominada construccionismo, teniendo
como soporte un lenguaje de programación: el Logo.
Según Papert y Harel (1991), la definición más simple de construccionismo evoca la idea de aprender
haciendo y esto es lo que estaba ocurriendo cuando los estudiantes trabajaban en sus esculturas de jabón
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
51
en una clase que no es matemáticas, donde cada estudiante generaban sus propias fantasías. La otra idea
es la más sutil, que llama “cercanías a los objetos”, es decir, algunas personas prefieren formas de pensar
que las mantienen cerca de las cosas físicas, mientras que otras usan medios abstractos y formales para
distanciarse de los materiales concretos. Para Papert, estos dos aspectos de estilos son muy pertinentes
con la idea de construccionismo.
Sin embargo, se puede diferenciar el construccionismo como una reconstrucción del constructivismo y
como un enfoque filosófico como señala Papert y Harel (1991):
Construccionismo ―la palabra con N en oposición a la palabra con V― comparte la connotación
constructivista de aprendizaje como “construcción de estructuras de conocimiento”
independientemente de las circunstancias del aprendizaje. Luego, agrega la idea de que esto
ocurre de manera especialmente exitosa en un contexto donde el aprendiz esta conscientemente
comprometido a construir una entidad pública, ya sea un castillo de arena en la playa o una teoría
del universo (pp. 1–11).
Resnick (2001) considera que en el construccionismo existen dos tipos de construcción. En el primero, el
aprendizaje es un proceso activo mediante el cual las personas construyen activamente el conocimiento a
partir de sus experiencias en el mundo (basadas en la teoría constructivista de Piaget). El segundo, agrega
la idea de que los seres humanos construyen su conocimiento con particular eficacia cuando participan en
la construcción de productos que son personalmente significativos, como castillos de arena, máquinas con
Lego o programas de computación. Según Kafai y Resnick (1996, p. 2), el construccionismo no es un
conjunto de ideas estáticas. Esto significa que existen cambios en todas las direcciones, porque los
investigadores están continuamente actualizando, reconstruyendo nuevas actividades educativas y nuevas
herramientas.
Finalmente, se puede concebir el construccionismo desde una perspectiva mucho más amplia como
sostiene George Jachewatzky-Hashaviah (2011), que el construccionismo es un enfoque filosófico y, a la
vez, es un método y una praxis educativo. Se construye en y deviene de la naturaleza misma en toda la
biosfera de esta pelotita que llamamos “tierra” (aunque la mayor parte de ésta es agua…) desde hace más
de 4 mil millones de años… El Construccionismo es, por ende, una actividad natural y biológica antes
que un enfoque filosófico o un paradigma teórico o un método práctico. Al instrumentar el
construccionismo, estamos devolviendo lo “natural” a la actitud, acción y hecho de “aprender” (o de
construir, adquirir, desarrollar y actualizar cuerpos o sistemas de conocimientos, comprensiones,
actitudes y aptitudes).
2.3.1. Filosofía del lenguaje de programación Logo
A finales de la década de los 60, Seymour Papert desarrolla junto con sus colaboradores del laboratorio
de inteligencia artificial del MIT, un lenguaje para ordenadores que denomina Logo. Siendo ésta una
alternativa que posibilita el uso de ordenador para apoyar el aprendizaje desde los primeros niveles
(Cajaraville Pegito, 1989, p. 111).
El lenguaje de programación Logo es uno de los primeros lenguajes desarrollados en el campo de la
educación; el lenguaje Logo fue el pilar y base del construccionismo de Papert. Hereda la filosofía del
lenguaje de programación de la versión pura de Lisp (Murray-Lasso, 2005, p. 177), Lisp 1.5 (List
programming) que dio origen a Logo, y es usado por muchos en el campo de la inteligencia artificial por
su funcionalidad en el procesamiento de listas (Sammet, 1972, p. 603).
Tanto el construccionismo como el Logo se sustentan en la teoría de Piaget; sin embargo, a diferencia de
Piaget, Papert atribuye mayor importancia al efecto del medio en que se desenvuelve el aprendizaje
(Cajaraville Pegito, 1989; Papert, 1982), y a la idea de la resolución de problemas; ya que al igual que
Polya está en desacuerdo con la enseñanza sobre números y gramática que se producen en la escuela, ya
que no se les enseñan a pensar (Papert, 1995, p. 100), porque la mejor manera de aprender es haciendo.
Según Papert (1980a, 1982, pp. 17–18), en todo el mundo, grandes industrias están produciendo los
llamados software educativo para instrucción asistida por computadora para enseñar a los niños (podría
decirse que la computadora se utiliza para programar al niño). En cambio, con Logo los niños pueden
Cerapio Quintanilla
52
hacer su propio software educativo (el niño programa la computadora), y al diseñar el software, aprenden
mucho y adquieren un dominio sobre una de las tecnologías más modernas y poderosas.
Papert estimula el uso de Logo no sólo como lenguaje de programación, sino como filosofía
educativa, al sostener que la cultura Logo enriquece la interacción entre los estudiantes y los
maestros, […] además, los innovadores educacionales deberían ser antropólogos sensibles a la cultura
circundante para utilizar su dinámica en sus intervenciones educativas; porque al realizar actividades
y programaciones con Logo, estas están acompañadas por un tipo de reflexión epistemológica;
además los ambientes Logo se aparecen a las escuelas de samba en algunos aspectos. La semejanza
más profunda proviene que en ellos la actividad matemática es una actividad real compartida por
novatos y expertos. La actividad es tan variada y tan rica en descubrimientos (Papert, 1982).
Una de las características fundamentales de partida de Logo fue popularizar la “geometría de la tortuga”
basada en las propiedades intrínsecas de las figuras; asimismo la simplicidad que ofrece para construir un
vocabulario propio. Las funciones principales de la programación fueron (a) primitivas (función base),
que transmite una orden específica (conceptos de primer orden) a la computadora; (b) los procedimientos,
permiten establecer conceptos de orden superior; y (c) procedimientos recursivos, que permite abreviar
la ejecución de los procedimientos, siendo ésta una herramienta poderosa (Cajaraville Pegito, 1989, p.
113).
2.3.2. Filosofía y epistemología del construccionismo
El Construccionismo es una filosofía de la educación; sostiene que los niños aprenden haciendo,
explorando y descubriendo, en lugar de recibir una información pre-envasada (Papert, 1986). Es un
proceso guiado y de colaboración en el que incluyen comentarios de sus compañeros, no solo de los
maestros (Kayton, Vosloo, & Sparks, 2008). En este caso, ambos se refieren al aprendizaje de los
contenidos de matemáticas u otras áreas de las ciencias mediante las construcciones y reconstrucciones y
no como una simple transmisión de la información a los alumnos.
Para Turkle y Papert (1990, p. 129), en el construccionismo la palabra epistemología tiene un sentido más
cercano a Piaget que a la del filósofo. En el uso tradicional, el objetivo de la epistemología es indagar
sobre la naturaleza del conocimiento y las condiciones de su validez. En cambio, la epistemología del
construccionismo tiene como base la epistemología de Piaget, que investiga dentro de la naturaleza el
conocimiento, y hace un estudio comparativo de las diversas clases de conocimiento, encontrada en las
diferentes edades de los niños. Además, Papert dice que difiere de Piaget en un punto muy importante: si
Piaget ve las diversas formas del conocimiento en términos de estadíos desde un punto de vista formal,
Papert las diferentes aproximaciones al conocimiento como estilos, y cada estilo igualmente validado con
sus propios términos (Turkle & Papert, 1990).
2.3.3. El construccionismo como teoría de aprendizaje
Kafai y Resnick (1996), consideran al construccionismo como una teoría de aprendizaje y una estrategia
para la educación. Se construye sobre el constructivismo de Piaget y afirman que el conocimiento no es
la simple transmisión de profesor a alumno; sino es activamente construido en la mente del aprendiz. Los
niños no consiguen ideas; ellos hacen nuevas ideas. La teoría sugiere que los aprendices probablemente
realicen actividades para generar nuevas teorías cuando participan activamente en la realización de algún
tipo de artefacto externo que se puede reflexionar y compartir con los demás (Bouras, Poulopoulos, &
Tsogkas, 2010; Papert & Harel, 1991).
Para Bull (2005), Papert, como matemático y teórico educacional que trabajó en un rico ambiente
tecnológico, considera a la computadora parte de la tecnología educacional y sugiere que podría servir
como un medio para “pensar sobre el pensamiento”, debido a que las computadoras son portadoras de
gérmenes o semillas culturales que pueden ejercer una poderosa influencia en el pensamiento de las
personas (Papert, 1982). El construccionismo es, en parte una teoría de comprensión de cómo la gente
aprende más efectivamente construyendo, creando y diseñando sus propios materiales para aprender
(Berland, 2009; Papert, 1982). Por tales razones, se considera que una de las herramientas imprescindibles
para el aprendizaje de los estudiantes son los ordenadores y el lenguaje de programación, con los cuales
los niños construyen sus conocimientos y aprenden conceptos muy avanzados.
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
53
En tal sentido para Papert, el aprendizaje significa la invención y la formulación de reglas y conceptos a
través de procesos activos de pensar y lo que uno hace, cómo uno hace, y cómo uno se siente acerca de
dicho objeto durante el desarrollo intelectual o diferentes etapas dentro de la resolución de problemas. A
diferencia de Piaget, Papert ve el aprendizaje como algo particularmente efectivo cuando este toma lugar
en un contexto rico de una actividad concreta, en el cual el sujeto (ya sea niño o adulto) construye
significativamente su experiencia tal como un trabajo de una pieza de arte, una historia o un reporte de
investigación (Harel, 1991).
Para Papert, la actividad de ensayar, errar, corregir el error (ensayo – error) conduce a los niños y a las
niñas a crear y aprender. A este acto lo denomina un proceso de depuración (corrección del error).
Además, hace mención que “… los errores nos benefician porque nos llevan a estudiar lo que sucedió, a
comprender lo que anduvo mal y a través de comprenderlo a corregirlo” (Papert, 1987, pp. 135 – 136;
citado por Badilla y Chacón, 2004).
Finalmente para Badilla y Chacón (2004), el construccionismo aborda tres conceptos clave: objetos con
el cual pensar, entidades públicas y micromundos.
2.3.3.1. Objetos con los cuales pensar
El construccionismo de Papert parte de la concepción del aprendizaje; según esta, la persona aprende por
medio de la interacción dinámica con el mundo físico, social y cultural en el que está inmerso (Papert &
Harel, 1991). Además, Papert considera la premisa de que en las escuelas, las clases se desarrollan bajo
una instrucción en la que existe transferencia direccional de conocimiento de profesor a los alumnos.
También cree que el aula es un ambiente artificial e ineficiente que la sociedad se ha visto obligada a
inventar debido a que sus ambientes informales fallan en ciertos dominios esenciales del aprendizaje,
como la escritura, la gramática o la matemática escolar.
Según Papert (1982), las escuelas tal como lo conocemos hoy, no tendrán lugar en el futuro. Él centra
especial atención en las actividades que los niños hacen con objetos con el cual pensar (objects-to-think-
with), en un espacio totalmente diferente interactuando con los ordenadores. Si para Piaget y Papert el
conocimiento se construye; entonces, la educación consiste en proveer las oportunidades para que los
niños se comprometan en actividades creativas. Papert dice; que “el mejor aprendizaje no derivará de
encontrar mejores formas de enseñar, sino de ofrecer al educando mejores oportunidades para construir”
(Falbel, 1993)
2.3.3.2. Entidades públicas
Papert elabora su teoría sobre la base del pensamiento de Piaget, analizando cómo aprenden los niños en
la era digital, y así construye la teoría del construccionismo. En otras palabras, “construccionismo es con
N opuesto a la letra V del constructivismo, donde el aprendizaje es la construcción del conocimiento
mediante la progresiva internalización de acciones… Además, añade la idea de que esto sucede cuando
el estudiante conscientemente está dedicado a construir en una entidad pública, como cuando se trata de
construir un castillo de arena en la playa o una teoría del universo” (Papert & Harel, 1991).
Para Vicario (2009), una entidad pública refiere a las construcciones que realizan los estudiantes
diseñando para ser mostradas, discutidas, examinadas, probadas y que permiten representar visual o
auditivamente ideas y conceptos para experimentar con ellos, con lo que el objeto creado, al compartirse
con los demás se convierte en una entidad pública que refuerza el aprendizaje construccionista alcanzado.
2.3.3.3. Micromundos
La introducción y propagación de la tecnología informática en las escuelas desde 1980 en los EE.UU, han
dado lugar a la creación de un nutrido surtido de software educativo, la mayoría tiene funciones
instructivas. Sin embargo, surge otro grupo mucho más pequeño, conocido como “micromundo”, se basa
en principios muy diferentes, los de la invención, el juego y el descubrimiento (Rieber, 2004, p. 1).
La concepción formal de micromundo en la tecnología informática, aparece por primera vez en el libro
editado por Taylor, “The computer in the school: Tutor, tool, tutee”. La contribución de Papert es que las
“computadoras basadas en micromundos son como incubadoras de ideas poderosas”; donde Papert (1980,
p. 204) considera que un subconjunto de la realidad o una realidad es construido cuando la estructura
Cerapio Quintanilla
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coincide con la de un mecanismo cognitivo, además la realidad proporciona un entorno para que el
mecanismo cognitivo funcione eficazmente. En el concepto subyace la idea de un proyecto que invente
micromundo que sean estructurados para permitir que un aprendiz humano pueda ejercer determinadas
ideas poderosas o habilidades intelectuales.
Papert considera que para alcanzar este propósito es necesario diseñar nuevos ambientes de aprendizaje;
estos son denominados “micromundo”, que incluyen herramientas para la exploración (objetos con los
cuales pensar) que lleva a la construcción de conocimientos. Badilla y Chacón (2004, p. 8) resaltan que
“un micromundo constituye por sí mismo una entidad pública que utiliza como herramientas para su
construcción objetos con los cuales pensar”. Ackermann (2004), sostiene que Papert ha pasado parte de
su vida creando entornos tecnológicos o micromundo, donde los niños pueden pasar el tiempo hasta con
ideas riesgosas, en un terreno seguro. Por tanto, consideramos que un micromundo es un ambiente donde
los niños pueden explorar, construir y reconstruir; hacer simulaciones, realizar experimentos, construir
historias que los lleven a construir su conocimiento.
Uno de los principales postulados del construccionismo es que los alumnos construyen y reconstruyen
activamente sus conocimientos de sus experiencias en el mundo (Kafai & Resnick, 1996, p. 2), y que el
aprendizaje en ambientes del construccionismo alienta múltiples estilos de aprendizaje y representaciones
del conocimiento. En lugar de dar a los estudiantes conocimientos transmitidos por generación; el
objetivo, es dar a los estudiantes los recursos y herramientas para construir y perfeccionar sus
conocimientos muy significativos.
Por lo tanto, la epistemología que subyace a micromundo es el construccionismo. Porque la perspectiva
construccionista otorga importancia a la interacción del individuo y el mundo circundante (la sociedad y
la naturaleza); entonces el aprendizaje se caracteriza por la construcción y reconstrucción mediante la
interrelación con el mundo real.
2.3.4. El uso de las tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas
Con la aparición del ordenador, la educación ha empezado a tener mejores expectativas; sin embargo, el
uso de las tecnologías no es reciente en el campo educativo, un ejemplo de la antigüedad, es el ábaco con
más de 3000 a.C., su uso estaba orientado a realizar cálculos matemáticos. En nuestros tiempos, esta
máquina del pasado se ha reactualizado y se utiliza en el campo de la educación. Según Bliss (1999), el
aprendizaje, el razonamiento y el pensamiento se realizan en diferentes contextos sociales y tecnológicos,
y la manera como ellos practican con los artefactos ayuda a determinar la forma en que las personas
aproximan sus situaciones.
La informática educativa comienza en 1958 con el trabajo del psicólogo B.F. Skinner, denominado
“Máquinas de enseñar”; esto dio origen a la enseñanza programada (Smith, 1994). A partir de los años 60
del siglo pasado tuvieron lugar las primeras experiencias en la utilización de ordenadores en el campo
educativo (Levis, 2007). Hace más de veinte años, se comenzaron a introducir las nuevas tecnologías en
el aula de matemáticas. Primero, fueron las calculadoras; después las calculadoras gráficas y, en los
últimos años, software de cálculo simbólico ejecutado en un ordenador personal (Codes & Sierra, 2005).
De acuerdo a los Principios y Estándares para la Educación Matemática NCTM (2000, p. 24) y la
Sociedad Andaluza de Educación Matemática “Thales” y NCTM (2003, p. 26), “la tecnología es
fundamental en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan
y enriquece su aprendizaje”.
En la actualidad el uso de los ordenadores, dispositivos móviles (celular, tablets y dispositivos
electrónicos) y la masificación de internet generaron la expansión cultural y social de la informática. Sin
embargo, aún no está claro sus fines en el campo educativo. Dantel (2003, p. 7), hace referencia al uso de
la tecnología:
Instalar buenos computadores y conexiones a Internet en las aulas no es suficiente. También se
deben saber utilizar en la forma apropiada. Esto significa que las escuelas deberán cambiar su
metodología y encontrar nuevas modalidades de transmisión de conocimientos. […] Las nuevas
tecnologías son muy prometedoras y capaces de revolucionar el aprendizaje, pero solo en la
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
55
medida que sus actores se proporcionen a sí mismos los medios para lograrlo. Como cualquiera
otra herramienta, todo depende de lo que se haga con ella. (p.7).
A Papert, debemos la introducción de los ordenadores como herramientas de aprendizaje de los niños, por
lo que se podría considerar el padre de la informática educativa. El uso de los ordenadores y de otras
tecnologías de la comunicación permite imaginar nuevos modos de enseñar y de aprender, ser capaces de
conducir la educación hacia caminos menos tortuosos de los que atraviesa en la actualidad (Levis, 2007).
Comenta Papert, en una entrevista realizada por Bennahum (1996), que los niños ahora pueden realizar
cosas mucho más complejas gracias al uso de las computadoras. Entonces, estas computadoras son más
que catalizadores; son el instrumento mismo que hace posible el conocimiento.
Desde los años 80 del siglo pasado, se inició en España el uso de la tecnología de información en los
centros educativos. Se institucionalizó con el “Proyecto Atenea” y el “Proyecto Mercurio”, impulsados
por el Ministerio de Educación y Ciencia; luego, surge el programa “Nuevas Tecnologías de la
Información y Comunicación” (PNTIC). De forma paralela, distintas comunidades autónomas con
competencias plenas en materia educativa también crearon sus propios planes dirigidos a impulsar el uso
de los ordenadores en el marco escolar.
Se considera que existen muchos factores perjudican en la introducción y uso de las tecnologías en la
educación, y aún más en el campo de la enseñanza de las matemáticas, según EACEA/Eurydice (2011, p.
11), el uso de las TIC se admite en todos los países de Europa; sin embargo, en una encuesta a nivel
internacional muestran que no utilizan con frecuencia las TIC en las clases de matemáticas. Asimismo,
para Vinagre (2010, p. 19), “el modelo pedagógico del sistema educativo español hace hincapié en la
transmisión de teorías y conceptos y no incluye entre sus objetivos prioritarios el aprendizaje autónomo,
el conocimiento instrumental, el aprendizaje basado en problemas o el desarrollo de las habilidades
sociales y comunicativas, competencias fundamentales que demanda la nueva sociedad del
conocimiento”. Esta afirmación puede relativizarse, porque desde la óptica de la Transposición Didáctica,
el profesor realiza la re-contextualización (transformaciones) del objeto matemático a aprender para
realizar el proceso de enseñanza mediante el contrato didáctico (Chevallard, 2000).
Para Papert (1982), en muchas escuelas, la frase “instrucción asistida por computadora” significa hacer
que la computadora enseñe al niño. Podría decirse que se utiliza la computadora para programar al niño;
y que en nuestros días sigue vigente esta idea. El uso de los ordenadores debe concebirse de una manera
diferente. Como dice Papert (1982, p. 18), “en mi concepción, el niño programa la computadora y, al
hacerlo, adquiere un sentido de dominio sobre un elemento de la tecnología más moderna y poderosa y,
a la vez establece un íntimo contacto con algunas de las ideas más profundas de la ciencia, la matemática
y el arte de construcción de modelos intelectuales”.
Para Dubinsky (2000), existen diferentes formas de usar los ordenadores para ayudar a los estudiantes en
el aprendizaje de las matemáticas y cada una tiene sus ventajas y desventajas; asimismo, cualquier
lenguaje de programación o software es pertinente su uso. Por lo tanto, en el transcurso del tiempo con el
cambio y desarrollo de las tecnologías, es posible el uso de las tecnologías en las investigaciones, ya que
el uso de los ordenadores como herramienta de aprendizaje en las ciencias, nos brinda la ventaja de ser
un ambiente de aprendizaje interactivo; ya que los medios digitales desde el marco del construccionismo
son herramientas sociales que promueven la democratización, la igualdad y las formas de relacionarse,
organizarse, aprender, crear, transformarse, producir, procesar información, valorarla y convertirla en
conocimiento. Para un buen funcionamiento es necesario encontrar nuevas fórmulas educativas que se
adapten a la realidad virtual en la que viven los alumnos en la actualidad (Piscitelli, 2011).
La educación digital en entornos vulnerables, plantea una serie de desafíos interrelacionados. La
enseñanza de las matemáticas en la actualidad, al ser incorporada a este contexto digital, no se encuentra
exenta de estas dificultades; sin embargo, luego de la pandemia COVID 19, el desarrollo de las actividades
educativas en el mundo se ha virtualizado. En ese contexto, han aparecido diversas plataformas
especializados en la enseñanza de las matemáticas como Khan Academy (Vaca González et al., 2021) y
otros, así como herramientas que permitan su gestión.
Por otra parte, la inteligencia artificial (IA), en estos últimos años ha trastocado las bases de la educación
en sus diferentes niveles; por lo que organismos como la UNESCO ha emitido documentos que regulan
Cerapio Quintanilla
56
el uso adecuado de la IA en la educación como producto del Consenso de Beijing sobre la inteligencia
artificial y la educación (UNESCO, 2023a, 2023b). Desde el ingreso en escena la IA, en la educación
matemática existen diversas experiencias sobre la incorporación de la IA, al respecto, en un estudio de
revisión realizado a 20 investigaciones en diferentes bases de datos como ScienceDirect, Scopus, Springer
Link, ProQuest y EBSCO Host publicados entre 2017 y 2021; los hallazgos indican que el uso de la IA
en la educación matemática fue a través de robótica, sistemas, herramientas, agente enseñable, agente
autónomo y un enfoque integral (Mohamed et al., 2022); otros consideran a la IA como una herramienta
potencial que ayuda al profesor en gestionar el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática
(Orhani, 2021), así como, para incrementar la motivación de los alumnos por aprender, personalizar el
aprendizaje y profundizar en la comprensión de los conceptos (Maulida et al., 2024). Es un reto desarrollar
investigaciones más profundas en el campo de la educación matemática con enfoques de las diversas
teorías y que nos permite tener una visión clara de su real aplicabilidad desde un marco pedagógico y
ético.
3. TEORÍAS SOCIAL CONSTRUCTIVISTAS DE LA DIDÁCTICA DE LAS
MATEMÁTICAS
La preocupación por la enseñanza de las matemáticas no es reciente, D’Amore (2008) cita a Comenius
(1657) al referirse a la grande didáctica «como un único método para enseñar las materias… las artes, las
ciencias y lenguas»; fueron necesario siglos para establecer un modo definitivo y librarse de esta
concepción en la que contenido y método no estaba diversificado en función de las características del
objeto de conocimiento y para que las didácticas específicas puedan asumir su estatus como tal.
Según Törner & Sriraman (2005, p. 198), el principal de estos primeros teóricos fue Adán Reise "el
aritmético" que ha destacado cálculos manuales como un proceso de aprendizaje fundamental en las
matemáticas. Este énfasis se encuentra en los clásicos pedagógicas del siglo XIX escrita por Johann
Friedrich Herbart (1776-1841), Hugo Gaudig (1860-1923), Georg Kerschensteiner (1854-1932) (véase
Jahnke, 1990; Führer, 1997; Huster, 1981). En los primeros años del siglo XX, Féliz Klein (1849) y Hans
Freudenthal (1905-1990) (origen alemán) se interesó por las complejidades de los procesos de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas en las escuelas. La influencia de este enfoque se hizo eco en la década
de 1960, en la didáctica de las llamadas enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria que sirvió
de aprendizaje y pre-requisito para las matemáticas en las escuelas secundarias.
La evolución de la didáctica de las matemáticas, según Josef Gascón (1998, p. 7) “está determinada por
sucesivas ampliaciones de la problemática didáctica. Cada una de estas ampliaciones comporta cambios
de su objeto primario de investigación y, en consecuencia, modifica la naturaleza de la didáctica como
disciplina científica”. Es necesario diferenciar términos. En efecto, para Godino (1991, p. 136) el término
educación es más amplio que el de didáctica y, por tanto, se distingue entre Educación Matemática y
Didáctica de la Matemática; sin embargo, en el mundo anglosajón se emplea la expresión "Mathematics
Education" para referirse al área de conocimiento que en Francia, Alemania, España, etc. se denomina
Didáctica de la Matemática.
Siendo el fin de la matemática educativa, las investigaciones sobre el estudio de dos componentes, la
enseñanza y el aprendizaje, es necesario enmarcarse dentro de paradigmas consolidadas. En tal sentido
surgen dos puntos de vista. Desde los inicios de la didáctica de las matemáticas como disciplina, fue
consolidándose un primer enfoque sistemático, que considera el aprendizaje en general, y el de las
matemáticas en particular, como un proceso psico-cognitivo fuertemente influenciado por factores
motivacionales, afectivos y sociales (Gascón, 1998, p. 3).
Frente a una serie de limitaciones de este primer enfoque al que Brousseau denominó teoría clásica
(Gascón, 1998); se amplía la problemática y se obtiene un nuevo objeto de estudio. Se trata de un conjunto
de fundamentos que requieren una base multidisciplinar que englobe la pedagogía, la epistemología de
las matemáticas, la sociología, psicología educativa, y otras disciplinas. En esta corriente, se sitúan en
primer lugar, la teoría de situaciones didácticas (TSD) de Guy Brousseau; teoría antropológico de lo
didáctico (TAD) de Chevalard; la ingeniería didáctica de Michèle Artigue y el enfoque ontosemiótico
(EOS) de Godino, entre otras teorías (J. D. Godino, 1991, p. 124).
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
57
A pesar de las limitaciones del enfoque cognitivo señaladas por Gascón (1998) nuestra investigación está
relacionada en primer lugar con la teoría de cognitiva del aprendizaje, tomando como principal
fundamento la teoría constructivista de Jean Piaget
1
. En segundo lugar, con las teorías de corte
epistemológico en Didáctica de las Matemáticas, como la TSD, la TAD, el EOS y la socioepistemología
basados en el constructivismo social. La teoría cognitiva, es el principal soporte en el trabajo de
investigación, porque, a través del constructivismo como teoría, se propuso desarrollar actividades
centradas en la interacción de las situaciones con el entorno real, donde los niños/as realizan experiencias
con el fin construir el conocimiento haciendo uso de las Tecnologías de Información y Comunicación
(TIC). Además, la Didáctica de las Matemáticas, nos permitió identificar aspectos como las dificultades,
errores y obstáculos epistemológicos que los estudiantes tienen durante el proceso de la enseñanza y
aprendizaje; así como la organización de los contenidos. Sin embargo, consideramos que ambos son
elementos complementarios, una con mayor presencia que la otra y que dan soporte al trabajo de
investigación.
3.1. Teoría de situaciones didácticas (TSD)
La TSD analiza cuales son las interacciones que se presentan en el aula entre los actores del proceso
enseñanza aprendizaje. Los términos que utilizan son la transposición didáctica, fenómenos didácticos,
situaciones: fundamental, didáctica y a-didáctica, contrato didáctico, variable didáctica, obstáculos y
errores, entre otros.
Una situación es un modelo de interacción entre el sujeto y un medio determinado; y la situación didáctica
es todo el entorno del alumno, incluidos el docente y el sistema educativo (Brousseau, 2007). Es decir,
una situación didáctica de aprendizaje comprende el proceso en el cual el docente proporciona el medio
didáctico en donde el estudiante construye su conocimiento. La Situación A-Didáctica es el proceso en el
que el docente le plantea al estudiante un problema que asemeje situaciones de la vida real (Chavarría,
2006).
Uno de los principales ejes es la modelización de las situaciones en didáctica; para tal efecto se
clasificaron en cuatro situaciones diferentes (Brousseau, 2007, pp. 24-28): acción, formulación,
validación e institucionalización.
Dadas la forma de modelización de las situaciones didácticas aparecen dos configuraciones que subyace
la modelización. 1. situación a-didáctica: situación donde el alumno/a acepta como suyo el problema y
produce su respuesta, sin intervención docente (conjunto de relaciones establecidas explícita o
implícitamente entre un alumno o grupo de alumnos y el profesor de modo que estos adquieran un saber
constituido o en constitución). 2.- situación fundamental: cada conocimiento matemático posee al menos
una situación que lo caracteriza y lo diferencia de los demás (Salinas Muñoz, 2010).
Otro de los elementos principales de la TSD es el Contrato Didáctico, se refiere a la consigna establecida
entre profesor y alumno, comprende el conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno
y el conjunto de comportamientos que el alumno espera del docente. Para
Godino, Batanero y Font (2003),
“el ‘contrato didáctico’ regula los derechos y obligaciones del profesor y los alumnos. Es el
resultado de un proceso de negociación entre los alumnos, el profesor y el medio educativo. Uno
de los componentes esenciales del contrato didáctico son los criterios de evaluación explícitos,
pero hay otros no explicitados que sólo se detectan cuando el profesor plantea actividades poco
habituales que vulneran las reglas del contrato, lo cual produce el consiguiente desconcierto en
los alumnos. Los alumnos, en su adaptación al medio escolar, llegan a desarrollar un sentido que
les permite captar cuáles son las reglas del contrato didáctico en cada caso” (p. 68).
Por lo tanto, al proceso de las obligaciones reciprocas de profesor y alumno bajo un conjunto de reglas
(con frecuencia no enunciadas explícitamente), se denomina contrato didáctico, que es específico para el
contenido enseñado, y para el logro del conocimiento objetivo de la matemática (Brousseau, 1997, p. 32).
1
El constructivismo es visto desde distintas posturas, tales como el constructivismo radical de Ernest Von Gasersfeld
y constructivismo dialéctico de los neopiagetianos.
Cerapio Quintanilla
58
Por otro lado, debido a las características del conocimiento matemático que incluye conceptos, sistemas
de representación simbólica y procedimientos de desarrollo y validación de nuevas ideas matemáticas,
Brousseau identifica cuatro tipo de situaciones: situaciones de acción, sobre el medio que permite el
surgimiento de teorías; situaciones de formulación, que permite la adquisición de modelos y lenguajes
explícitos; situaciones de validación, requieren de los alumnos la explicitación de pruebas y por tanto
explicaciones de las teorías relacionadas, medios que subyacen en los procesos de demostración; y
situaciones de institucionalización, que tiene por finalidad establecer y dar un “status” oficial a algún
conocimiento aparecido durante la actividad de la clase (Godino, 1991).
Algunos fenómenos ligados a la situación didáctica han podido ser puestos en evidencia, Brousseau
identifica el efecto Topaze como aquella circunstancia en donde el estudiante llega a la solución de un
problema, pero no ha sido por sus propios medios, sino porque el profesor asume la resolución del
problema. Éste último ve las dificultades que tiene un grupo para llegar a la resolución de un problema,
por lo cual se ve en la necesidad de indicar cuál es el procedimiento que deben seguir. Con ello no permite
la construcción de conocimiento por parte de los estudiantes. En cambio, el efecto Jordain consiste en la
actitud que toma el profesor cuando un estudiante da una respuesta que es incorrecta, no obstante, para
no desilusionarlo le dice que “está bien”, que es la respuesta correcta. Entonces, un comportamiento banal
del alumno es asumido como un conocimiento válido (Chavarría, 2006).
El término obstáculo epistemológico fue acuñado por primera vez por el filósofo francés Gaston
Bachelard en 1938. Guy Brousseau (1997, p. 84), retoma el concepto de obstáculo y lo adapta al dominio
de la matemática dentro de su teoría de las situaciones didácticas, y se manifiesta en errores, que no son
debidos al azar, sino que son reproducibles y persistentes. Aquellos errores no desaparecen
completamente de una sola vez; se resisten, persisten, luego reaparecen, se manifiestan mucho tiempo
después de que el sujeto ha rechazado el modelo defectuoso de su sistema cognitivo consciente
(Brousseau, 1997, p. 84).
Los obstáculos se clasifican según su origen. El obstáculo ontogénico, es cuando los estudiantes tienen
limitaciones en el desarrollo de conocimientos apropiados a sus habilidades y objetivos teniendo en cuenta
su edad. Los obstáculos de origen didáctico son los que parecen depender sólo de una elección o proyecto
dentro de un sistema educativo. Y los obstáculos de origen epistemológico son aquellos de los cuales uno
no puede ni debe escapar, debido a su papel formativo en el conocimiento que se busca. Se pueden
encontrar en la historia de los mismos conceptos. Esto no quiere decir, que hay que amplificar su efecto
o reproducir en el contexto escolar las condiciones históricas (Brousseau, 1997, pp. 86-87).
Luego, Chevalard (1989) ha adoptado una posición de notable generalidad para los estudios de Didáctica.
Desde una perspectiva antropológica, la Didáctica de la Matemática sería el estudio del hombre (las
sociedades humanas) aprendiendo y enseñando matemáticas. Sin embargo, Godino (1991) sugiere que
para el éxito del programa se debe tener en consideración un conjunto de condicionantes (cognitivos,
culturales, sociales, inconscientes, fisiológicos, etc.) del alumno, que juegan o pueden jugar un papel en
la formación de su relación personal con el objeto de su saber en cuestión.
3.2. Teoría antropológico de lo didáctico (TAD)
la Teoría Antropológica de lo Didáctico propuesta por Chevallard, a inicios del 1990, está inspirada en la
atención que ha centrado el investigador en las actividades de las personas implicadas en la materia de
análisis, que no es solo resolver problemas, sino en comunicar la matemática como tal (Rodriguez, 2011).
En este sentido, el estudio de las concepciones epistemológicas de los docentes cobra especial relevancia,
por su influencia en el proceso enseñanza-aprendizaje, y en la relación del docente con el estudiante,
durante su proceso formativo.
La Teoría de Transposición Didáctica, para Chevallard (2000, p. 469) se refiere a la transformación de un
contenido de saber preciso en una versión didáctica de ese objeto de saber, puede denominarse más
apropiadamente “transposición didáctica strictu sensu”. El primer eslabón marca el paso de los implícito
a lo explícito, de la práctica a la teoría, de lo preconstruido a lo construido.
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
59
Para Chevallard los objetos de saber, son los que el profesor de matemáticas debe poseer. Las nociones
matemáticas como categorías (definición, propiedades), así como las paramatemáticas que son nociones-
herramientas de la actividad matemática (Chevallard, 2000, pp. 57–58).
Una vez realizadas las transformaciones del objeto del saber; el objeto a enseñar es diferente del saber
sabio, pues es el nuevo contenido que podría denominarse como el saber sabio que el alumno/a va adquirir
y que es diferente al significado original, ya que para introducirlo en el proceso de la enseñanza se han
incorporado una serie de conceptos con el objetivo de que sea comprensible en el acto educativo. En tal
sentido, la expresión transposición didáctica hace referencia a la modificación que el conocimiento
matemático sufre para ser adaptado como objeto de enseñanza.
En el marco de la didáctica fundamental, y como una consecuencia natural del desarrollo de la teoría de
la transposición didáctica, ha surgido el enfoque antropológico en didáctica de las matemáticas
(Chevallard, 1992, citado por Gascón, 1998, p. 11). Para Gascón (1998), la TAD propugna que la
actividad matemática debe ser interpretada (modelizada) como una actividad humana junto a las demás,
en lugar de considerarla únicamente como la construcción de un sistema de conceptos, como la utilización
de un lenguaje o como un proceso cognitivo. De esta manera, el enfoque antropológico integra muchos
enfoques parciales (epistemológicos, lingüísticos, psicológicos, sociológicos, ...).
La Teoría Antropológica describe la actividad matemática y el saber que de ella emerge en términos de
organizaciones o praxeologías matemáticas. Una organización matemática es una entidad (tipos de
problemas o tareas problemáticas; tipos de técnicas) que permite resolver los tipos de problemas;
tecnologías o discursos (“logos”) que describen y explican las técnicas; una teoría que fundamenta y
organiza los discursos tecnológicos. Los tipos de problemas y los tipos de técnicas constituyen el “saber-
hacer” matemático, mientras que los discursos tecnológicos y teóricos conformarían el “saber”
matemático propiamente dicho (Bosch Casabó, 2000, p. 16).
Además, Bosch (2000, p. 17) sostiene que “la Teoría Antropológica asume, como uno de sus postulados
fundamentales, que toda actividad en sentido estricto, todo “saber-hacer”, presupone la existencia de un
“saber” o discurso justificativo-explicativo de la actividad. El término mismo de “praxeología”, formado
a partir de “praxis”, actividad, y de “logos”, discurso, atestigua la inseparabilidad supuesta entre el “hacer”
y el “explicar” dicho hacer”.
Figura 5
Proceso de la transposición didáctica, adaptado de Solarte E (2006).
Transformado en
Como
Es adoptado por
A lo
Va de lo
Denominado
CONOCIMIENTO
CIENTÍFICO
Saber sabio
OBJETO DE SABER
IMPLÍCITO
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
Saber enseñar
OBJETO A ENSEÑAR
EXPLÍCITO
Como
Saber enseñado
OBJETO DE ENSEÑANZA
Cerapio Quintanilla
60
En consecuencia, en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, no sólo debemos tener en cuenta las
definiciones precisas de los objetos matemáticos, sino también los problemas, las representaciones, las
propiedades involucradas y las justificaciones respectivas. Los conceptos matemáticos, interpretados
desde la perspectiva antropológica, se convierten en un objeto dinámico que se construye
progresivamente.
3.3. Teoría de ingeniería didáctica
La noción de ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas a comienzos de los años
ochenta. Se denomina ingeniería didáctica a una forma de trabajo didáctico, equiparable con el trabajo
del ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos de su
dominio y acepta someterse a un control científico. Cuya visión de la ingeniería didáctica fue abordar dos
aspectos de la didáctica de las matemáticas de la época: las relaciones entre la investigación y la acción
en el sistema de enseñanza; y el papel que conviene hacerle tomar a las “realizaciones didácticas” en
clase, dentro de las metodologías de la investigación en didáctica (Artigue, 1995).
…la ingeniería didáctica no es el desarrollo de un problema; sino, el término de ingeniería
didáctica designa un conjunto de secuencias de clases diseñadas, organizadas y articuladas de
manera coherente en un determinado tiempo por un maestro-ingeniero para efectuar un proyecto
de aprendizaje de un contenido matemático dado para determinado grupo de estudiantes. A lo
largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las
reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la
ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un análisis a priori, y un
proceso, resultante de una adaptación de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con
las condiciones dinámicas de una clase (Douady, 1994, p. 37).
En tal sentido, el término ingeniería didáctica se utiliza en didáctica de las matemáticas con una doble
función: como metodología de investigación y como producciones de situaciones de enseñanza y
aprendizaje. Además, para Artigue (2004, p. 8), en la teoría de situaciones (G. Brousseau, 1996), el
objetivo fundamental no es el sujeto que aprende, sino la situación en la que el sujeto interactúa con otros
y con la matemática.
Asimismo, para Artigue la teoría de situaciones didácticas ha permitido comprender mejor los
mecanismos fundamentales del juego didáctico y construir ingenierías didácticas. La teoría de la
transposición didáctica (iniciada por Yves Chevalard, 1985) contribuye a reforzar este enfoque sistémico
de la didáctica francesa (Artigue, 2004, p. 8).
Considerando a la teoría de situaciones y la transposición didáctica como componentes de la ingeniería
didáctica, De Faria Campos (2006, p. 2) ilustra a través del diagrama (ver Figura 2.6) el proceso de
apropiación del saber por el sujeto. Artigue (1995, p. 40) distingue tres dimensiones ligadas a los
procesos de construcción de ingenierías didácticas: dimensión epistemológica, dimensión cognitiva y
dimensión didáctica.
Además, la ingeniería didáctica como metodología de investigación, se caracteriza en primer lugar por un
esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase, es decir, sobre la concepción,
realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza. Allí se distinguen por lo general dos
niveles: el micro-ingeniería y la macro-ingeniería, dependiendo de la importancia de la realización
didáctica involucrada en la investigación. Nivel de micro-ingeniería, las investigaciones a este nivel son
las que tienen por objeto el estudio de un determinado tema. Ellas son locales y toman en cuenta
principalmente la complejidad de los fenómenos en el aula. Nivel de macro-ingeniería, son las que
permiten componer la complejidad de las investigaciones de micro-ingeniería con las de los fenómenos
asociados a la duración de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje.
Por lo tanto, “la ingeniería didáctica es singular no por los objetivos de las investigaciones que entran en
sus límites, sino por las características de su funcionamiento metodológico” (Artigue, 1995, p. 35).
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
61
Figura 6
Diagrama del proceso de la Ingeniería Didáctica.
Por otra parte, el proceso como producción de situaciones de enseñanza aprendizaje de la ingeniería
didáctica considera tres fases: Análisis preliminar que considera las dimensiones cognitiva, didáctica y
epistemológica del conocimiento a impartir; segunda fase: concepción y análisis a “priori” (descriptiva y
predictiva) y diseño de una situación didáctica, se determinan qué variables didácticas son pertinentes y
sobre cuáles se actuará, se establece las hipótesis de trabajo; la tercera fase: la experimentación es una
“puesta de escena” de la situación didáctica, donde es un “proceso” en el cual el profesor implementa el
producto y realiza los ajustes y adaptaciones necesarias según la dinámica de clase. La cuarta fase: análisis
a posteriori y evaluación; que consiste en la revisión y validación de los resultados, a las observaciones
que se tuvo en la resolución de problemas de los estudiantes.
En consecuencia, la ingeniería didáctica no sólo se apoya en resultados científicos de los experimentos
realizados, sino que además realiza una toma de decisiones y el control sobre las componentes en el
proceso.
Finalmente, M. Artigue (2004) sostiene que la ingeniería didáctica no implica sustituir un paradigma por
otro, sino integrar diferentes aproximaciones teóricas en una construcción global y coherente, donde cada
uno tiene su lugar, su función, y se organizan de manera eficaz las relaciones entre las diferentes
centraciones posibles en las investigaciones didácticas y entre los diferentes niveles de análisis, del
microdidáctico al macrodidáctico.
3.4. La socioepistemología
La socioepistemología estudia la construcción social del conocimiento; es un enfoque teórico de carácter
sistémico que puede tratar los fenómenos de la producción y difusión de conocimiento desde una
perspectiva múltiple.
Esta teoría forma parte de las Didáctica de la Matemática, que según Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez
Sierra (2006, p. 85) y Cantoral y Farfán (2003), la aproximación socioepistemológica de la investigación
matemática busca construir una explicación sistémica de los fenómenos didácticos en el campo de las
matemáticas, […] interviene en el sistema didáctico en un sentido amplio, al tratar los fenómenos de
producción, adquisición y de difusión del conocimiento matemático, así como en las investigaciones
realizadas por Cantoral y que permite tratar en forma articulada los cuatro componentes fundamentales
en la construcción del conocimiento, al estudio de la epistemología del conocimiento, su dimensión
sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización (modos de
Cerapio Quintanilla
62
transmisión) vía enseñanza. Esta aproximación múltiple ha sido denominada como el acercamiento
socioepistemológico (Cantoral, 1998, 1999).
Tradicionalmente, los enfoques epistemológicos asumieron que el conocimiento es el resultado de la
adaptación de las explicaciones teóricas de la evidencia empírica, ignorando en absoluto el papel de los
escenarios de interés histórico, cultural e institucional en cada actividad humana. La socioepistemologia,
propone el examen de conocimientos socialmente situada teniendo en cuenta que a la luz de las
circunstancias y contextos sociales (Cantoral & Ferrari, 2004, pp. 67–68).
Figura 7
Proceso Dimensiones Construcción social del pensamiento matemático; tomada de la exposición
V Foro – Mexicali. Ricardo Cantoral (Cinvestav del IPN / Clame AC).
La frase “práctica social” se refiere a la actividad del ser humano sobre el medio en el que se desenvuelve.
A través de las prácticas sociales el hombre da sentido a los problemas fundamentales de la ciencia,
sometiéndolos a las complejas relaciones entre ellos y su entorno (Camacho Ríos, 2006, p. 133).
Ricardo Cantoral et al. (2006, p. 85), considera a la práctica social como una “normativa” de la actividad,
más que como actividad humana reflexiva o reflexión sobre la práctica o como sostiene Radford (2004,
citado por Cantoral, 2006) quién considera como la “interiorización reflexiva de prácticas sociales
históricamente constituidas”.
Consideramos a la socioepistemología como sostiene Cantoral et al. (2006):
“que la aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática educativa busca
construir una explicación sistemática de los fenómenos didácticos en el campo de las
matemáticas, no sólo discute el asunto de la semiosis o el de la cognición de manera aislada,
sino busca intervenir en el sistema didácticos en un sentido amplio, al tratar a los fenómenos de
producción, adquisición y de difusión del conocimiento matemático desde una perspectiva
múltiple, que incorpore al estudio de la epistemología del conocimiento, su dimensión socio
cultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía la
enseñanza” (2006, pp. 85–86).
Además, se ocupa del problema que plantea la construcción social del conocimiento matemático y su
difusión institucional. Dado que este conocimiento adquiere el estatus de saber sólo hasta que se haya
constituido socialmente, en ámbitos no escolares, su difusión hacia y desde el sistema de enseñanza le
obliga a una serie de modificaciones que afectan también a las relaciones que se establecen entre los
estudiantes y su profesor.
3.5. Enfoque ontosemiótico (EOS)
En los apartados anteriores hemos trabajado sobre las teorías de la Educación Matemática desarrolladas
por los franceses Guy Brousseau, Yves Chevallard y Michèle Artigue y del mexicano Ricardo Cantoral.
Grupos que han desplegado y vienen desplegando esfuerzos en una reflexión teórica sobre el objeto y los
métodos de la investigación específicos en la Didáctica de la matemática. También, Godino presenta un
marco teórico más amplio, a la que autores de la talla de Sierspinaka, Brousseau o D’Amore, consideran
hoy en día al EOS como una de las más relevantes de las existentes en la Educación Matemática actual.
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
63
El EOS ha desarrollado diversas herramientas teóricas que se basan en varios antecedentes teóricos, que
describen y analizan (Godino, 2003, p. 128). Y presenta las nociones teóricas articulando las dimensiones
semióticas, institucionales y personales, epistemológica, psicológica y socio cultural en educación
matemática, así como la ontología matemática en el estudio de la cognición matemática
(Godino, 2002, 2003). En tal sentido, la EOS es un marco teórico que busca integrar y articular diversas
aproximaciones y modelos teóricos usados en la investigación en Educación Matemática. Su objetivo
principal es describir e investigar, de forma holística, los procesos de aprender y enseñar matemáticas
Godino considera un enfoque unificado del conocimiento, esto pasa por tres etapas
(Godino, Batanero y Font, 2007). La primera etapa, se inicia en el periodo 1993 – 1998, (Godino &
Batanero, 1994) con el desarrollo progresivo de las nociones de significado institucional y personal de
un objeto matemático y su relación con la noción de comprensión. Desde supuestos pragmáticos, estas
ideas tratan de centrar el interés de la investigación en los conocimientos matemáticos institucionalizados,
pero sin perder de vista al sujeto, hacia quien se dirige el esfuerzo educativo (Godino et al., 2007a, p.
128).
La segunda etapa, comienza a partir de 1998, elaborando más detalladamente los modelos ontológicos y
semióticos; ya que los problemas epistémicos y cognitivas no pueden separarse de la reflexión ontológica;
de una ontología que describa la actividad matemática y los procesos de comunicación de sus “productos”.
Además, avanzaron en el desarrollo de una ontología específica y semiótica para estudiar los procesos de
interpretación de los sistemas de signos matemáticos utilizados en la interacción didáctica (Godino et al.,
2007, p. 128).
En la tercera etapa, estuvieron interesados en los modelos teóricos para la instrucción matemática
(Godino, Contreras, y Font, 2006). Luego definieron seis dimensiones en el proceso de instrucción
matemática, cada uno de ellos modelizable como un proceso estocástico con sus respectivos espacios de
estados y trayectorias: epistémica (relativo al conocimiento institucional), educativo (funciones del
docentes), estudiante (funciones de los estudiantes), mediacional (uso de recursos instruccionales),
cognitivos (génesis de significados personales) y emocionales (actitudes, emociones, etc. de los
estudiantes ante el estudio de las matemáticas) (Godino et al., 2007a, p. 129). Además, sostienen que el
modelo ontológico y semiótico de la cognición proporciona criterios para identificar los estados posibles
de las trayectorias epistémica y cognitiva, y la adopción de la “negociación de significados” como noción
clave para la gestión de las trayectorias.
El enfoque teórico inicia a partir de las nociones sobre significado personal e institucional de los objetos
matemáticos (Godino & Batanero, 1994), y que, a partir de presupuestos de tipo pragmático, se enfatiza
el papel del conocimiento institucional matemático, sin dejar de lado la importancia del sujeto como foco
central de los esfuerzos educativos.
Figura 7
Componentes y facetas de la cognición matemática
Cerapio Quintanilla
64
En el trabajo mencionado se concibe el significado de un objeto matemático (número, función, etc.) en
términos del sistema de práctica realizadas para resolver un cierto tipo de problemas; es decir, el objeto
matemático designa a todo lo que es indicado, señalado o nombrado cuando se construye, comunica o
aprende matemáticas (Godino, 2002). El significado personal/significado institucional de un objeto
matemático se define como un sistema de prácticas, operativas y discursivas, realizadas por una persona
o en el interior de una institución para resolver un campo de problemas (Godino & Batanero, 1994).
Esta teoría incluye una categorización de los objetos matemáticos. Los objetos matemáticos no son
entidades abstractas y aisladas, sino que son constructos culturales que se configuran a través de prácticas
sociales y discursivas; estos objetos matemáticos son entidades complejas que involucran aspectos
ontológicos (naturaleza del objeto) y semióticos (representaciones y significados). Se propone como
categorías primarias: situaciones, acciones, lenguaje, conceptos, propiedades y argumentación. El modelo
ontológico propuesto se complementa y enriquece con la consideración de las cinco facetas o dimensiones
duales (situaciones – problemas, acciones) como praxis y los tres componentes (concepto – definiciones,
proposiciones y argumentaciones) que desempeñan un papel normativos en las matemáticas, que junto
con la noción de función semiótica como entidad relacional entre los distintos tipos de entidades, permite
escribir y relacionar una variedad de nociones cognitivas (D’Amore & Godino, 2007).
En la estructura ontosemiótico, la enseñanza implica la participación de los estudiantes en la comunidad
a través de prácticas para compartir el sentido institucional, y el aprendizaje se concibe como la
apropiación de los estudiantes de estos significados. Además, debemos indicar que el enfoque EOS, tiene
el triple aspecto de la matemática: como resolución de problemas socialmente compartida, como lenguaje
simbólico y sistema conceptual lógicamente organizado, así como la dimensión cognitiva individual.
Asimismo, aporta herramientas teóricas para analizar el pensamiento matemático, los ostensivos que le
acompañan, las situaciones y los factores que condicionan su desarrollo; propiciando un modelo unificado
de la cognición e instrucción matemática (Godino, Batanero, & Font, 2007b).
En este contexto, la EOS propone el concepto de configuración didáctica para analizar las situaciones de
enseñanza y aprendizaje, siendo este un sistema complejo que involucra a los estudiantes, el profesor, los
contenidos matemáticos, los recursos didácticos y el contexto social y cultural.
3.6. De la teoría de la objetivación
Radford
2
, concibe la teoría de la objetivación en la educación como un esfuerzo político, social, histórico
y cultural cuyo fin es la creación de individuos éticos y reflexivos que se posicionan de manera crítica en
prácticas sociales constituidas histórica y culturalmente (Radford, 2014, p. 34). La Teoría Cultural de la
Objetivación se sustenta en tres conceptos claves: el saber, el conocimiento y el aprendizaje; cuya
propuesta como una teoría general sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se inspira de escuelas
antropológicas e histórico-culturales del conocimiento; además dicha teoría se apoya en una
epistemología y una ontología no racionalista que dan lugar, por un lado, a una concepción antropológica
del pensamiento y, por el otro, a una concepción esencialmente social del aprendizaje (Radford, 2006);
además, ésta teoría está relacionado con conceptos muy complejos como la historia y cultura, en particular
del conocimiento matemático (Moretti, Panossian, & de Moura, 2015).
La teoría de la objetivación tiene sustento en la base epistemológica que consiste en precisar la manera en
que, según la teoría, esos objetos pueden (o no) llegar a ser conocidos y base ontológica que precisa el
sentido en que la teoría aborda la cuestión de la naturaleza de los objetos conceptuales; asimismo, el
concepto de pensamiento y su significado antropológico. Además el principal tema es el enseñanza -
aprendizaje a la luz del concepto fundamental de sala de clase como comunidad de aprendizaje (Radford,
2006).
2
Luis Radford es profesor de la Universidad Laurentiana, en Sudbury, Ontario, Canadá. Enseña en la École des sciences de
l’éducation, es director del Laboratorio de Investigación en Semiótica y Pensamiento Matemático. Su investigación incluye el
desarrollo del pensamiento algebraico, la relación entre cultura y pensamiento, epistemología de las matemáticas y semiótica.
Trabaja en el desarrollo de una teoría cultural-histórica de enseñanza y aprendizaje: la teoría de la objetivación (Moretti,
Panossian, & de Moura, 2015). Por sus investigaciones de trascendencia, la Universidad Laurentiana le otorgó el Premio a la
excelencia investigativa 2004-2005; asimismo por sus investigaciones y aportes a a la matemática educativa internacionalmente,
en 2011 ha recibido la Medalla Hans Freudenthal de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI).
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
65
A nivel epistemológico, la teoría de la objetivación propone un concepto dialéctico-materialista del saber;
cuyo sustento se encuentra en la epistemología histórica, quién se ocupa de dilucidar la naturaleza de los
objetos del conocimiento como entidades históricas culturales, particularmente con su naturaleza y
conocimiento. La epistemología debe mostrar cómo la cognoscibilidad de los objetos matemáticos se
encuentra dentro de los modos históricos de evolución cognoscitivos definidos (Radford, 2015, p. 129).
Para la teoría de la objetivación, el saber no es algo que se adquiere o que se transmite; es decir, el
aprendizaje no consiste en construir o reconstruir un conocimiento. Se trata de dotar de sentido a los
objetos conceptuales que encuentra el alumno en su cultura. La adquisición del saber es un proceso de
elaboración activa de significados, denominado procesos de objetivación (Radford, 2006, p. 113).
Las bases filosóficas de la teoría se encuentran en el trabajo de Georg W. F. Hegel y su desarrollo posterior
en la filosofía de K. Marx y la tradición dialéctica (que incluye a Vygotsky y a Leont’ev). El saber,
sostengo, es movimiento. De manera más específica, el saber está constituido de formas siempre en
movimiento de reflexión y acción histórica y culturalmente codificadas (Radford, 2013).
Radford (2008) formula varios principios clave que definen su teoría:
a) Aprendizaje como proceso social y cultural: A diferencia de las teorías constructivistas que
enfatizan la construcción interna del conocimiento, la teoría de la objetivación considera que el
aprendizaje es esencialmente un fenómeno social que ocurre a través de interacciones con otras
personas. Esto implica que los estudiantes no simplemente "descubren" el conocimiento, sino que
lo objetivan mediante prácticas sociales y culturales específicas (Radford, 2013).
b) El lenguaje y los gestos: La comunicación a través del lenguaje y los gestos es muy importante,
ya que éstas son herramientas fundamentales en la mediación del aprendizaje. Según Radford
(2009), los significados matemáticos se objetivan a través de una combinación de palabras,
acciones y expresiones corporales; esto implica que la comprensión matemática está íntimamente
ligada al contexto comunicativo y corporal.
c) Temporalidad y historicidad del aprendizaje: El aprendizaje de contenidos matemáticos no es
un evento aislado, sino un proceso histórico que se desarrolla a lo largo del tiempo. Esto implica,
que los conceptos matemáticos se deben entender no solo en términos de su adquisición
individual, sino también en relación con su evolución cultural y su transmisión generacional
(Radford, 2006).
La aplicación de la Teoría de la Objetivación en la enseñanza de las matemáticas, ha demostrado ser
efectiva para crear entornos de aprendizaje más inclusivos y colaborativos. Un estudio de Radford et al.
(2011) mostró que los estudiantes que participaron en actividades diseñadas bajo este enfoque
desarrollaron una comprensión más profunda de los conceptos matemáticos al ser guiados por prácticas
discursivas compartidas en el aula.
Por ejemplo, en una clase de álgebra, Radford (2010) observó que cuando los estudiantes trabajaban en
tareas colaborativas, sus interacciones permitían la co-construcción de significados algebraicos que
trascendían las interpretaciones individuales. A través de la discusión y el uso de gestos, los estudiantes
no solo resolvían problemas, sino que también desarrollaban una comprensión más rica de los conceptos
subyacentes, como las relaciones entre variables y coeficientes.
La aplicación de la teoría de la objetivación en la enseñanza de las matemáticas ha demostrado ser efectiva
para crear entornos de aprendizaje más inclusivos y colaborativos. Un estudio de Radford et al. (2011)
mostró que los estudiantes que participaron en actividades diseñadas bajo este enfoque desarrollaron una
comprensión más profunda de los conceptos matemáticos al ser guiados por prácticas discursivas
compartidas en el aula.
Por ejemplo, en una clase de álgebra, Radford (2010) observó que cuando los estudiantes trabajaban en
tareas colaborativas, sus interacciones permitían la co-construcción de significados algebraicos que
trascendían las interpretaciones individuales. A través de la discusión y el uso de gestos, los estudiantes
no solo resolvían problemas, sino que también desarrollaban una comprensión más rica de los conceptos
subyacentes, como las relaciones entre variables y coeficientes.
Cerapio Quintanilla
66
La teoría de la objetivación enfatiza el diseño de actividades que fomenten la interacción social y la
mediación cultural. Esto incluye el uso de tareas abiertas que requieren la colaboración entre estudiantes
y la discusión colectiva como medio para desarrollar el pensamiento matemático. Un ejemplo de esto es
el uso de juegos matemáticos donde los estudiantes deben trabajar juntos para resolver problemas. En
un estudio llevado a cabo por Radford y Sabena (2015), se descubrió que los estudiantes de secundaria,
al participar en juegos algebraicos, no solo aprendían los conceptos necesarios para resolver las tareas,
sino que también desarrollaban habilidades comunicativas y de razonamiento colectivo.
Además, la teoría de la objetivación aboga por el uso de mediadores semióticos como diagramas, gráficos
y objetos manipulables para facilitar el proceso de objetivación del conocimiento. Según Radford (2012),
estos mediadores permiten a los estudiantes materializar sus ideas y pensamientos, ayudándoles a
construir significados.
Finalmente, la Teoría de la Objetivación de Luis Radford ofrece un marco teórico robusto para repensar
cómo se enseña y se aprende matemáticas, destacando la importancia de las prácticas sociales y culturales
en la construcción del conocimiento. Este enfoque permite un aprendizaje más profundo y significativo,
al situar los conceptos matemáticos en contextos de interacción social y colaboración.
Al adoptar estrategias pedagógicas basadas en esta teoría, los educadores pueden crear entornos de
aprendizaje que no solo mejoran la comprensión conceptual, sino que también promueven habilidades
esenciales para el desarrollo personal y social de los estudiantes. Como sugiere Radford (2013), el objetivo
no es simplemente transmitir conocimientos matemáticos, sino cultivar un espacio donde los estudiantes
puedan objetivar esos conocimientos a través de la participación activa en prácticas matemáticas
significativas.
3.7. El Constructivismo Radical en el Contexto de la Matemática Educativa
El Constructivismo Radical, una teoría de Ernst von Glasersfeld, ha tenido un impacto profundo en la
enseñanza de las matemáticas al cambiar la perspectiva sobre la formación del conocimiento matemático.
Según esta teoría, el conocimiento no es una reproducción fiel de una realidad objetiva, sino una
construcción activa que realiza cada individuo con base en sus experiencias y sus interacciones con el
entorno. Además, el constructivismo radical considera que todo conocimiento es una construcción interna
que no necesariamente representa una realidad objetiva, sino más bien un modelo útil basado en la
experiencia personal de cada persona
Además, Von Glasersfeld (1989) define varios principios del constructivismo radical que son aplicables
a la enseñanza de las matemáticas:
a) Conocimiento como Construcción Activa: El conocimiento no es algo que se transmite de una
persona a otra, sino que el estudiante lo construye activamente en un proceso continuo y dinámico.
En la clase de matemáticas, esto implica que los estudiantes deben participar en actividades que
fomenten el pensamiento crítico y la resolución de problemas a través de sus experiencias y
interacciones sociales, en vez de simplemente memorizar fórmulas y procedimientos.
b) Viabilidad con criterio: En lugar de perseguir la verdad absoluta, el constructivismo radical se
centra en la viabilidad de los conceptos en el contexto de la experiencia individual. Es decir, el
conocimiento es viable si resulta útil para la persona en su interacción con el entorno. En la
educación matemática, esto significa que se busca que los estudiantes comprendan los conceptos
desde su propia perspectiva, creando significados que sean útiles y funcionales para ellos (Steffe
& Kieren, 1994).
c) Énfasis en la autonomía del estudiante: Se fomenta la autonomía intelectual al motivar a los
estudiantes a ser responsables de su propio aprendizaje. En matemáticas, esto implica crear
entornos de aprendizaje donde los estudiantes exploren, formulen conjeturas, prueben sus
hipótesis y desarrollen estrategias de resolución por sí mismos.
d) Papel del lenguaje: El lenguaje es una herramienta clave en la construcción del conocimiento,
pero también puede limitar nuestra comprensión de ciertos conceptos. Las palabras no son
Principales teorías sobre el aprendizaje de las matemáticas
67
simplemente etiquetas para objetos externos, sino construcciones mentales que utilizamos para
comunicar nuestras experiencias.
La aplicación del constructivismo radical en la enseñanza de las matemáticas ha demostrado ser efectiva
en varios estudios. Por ejemplo, Simon (1995) destaca que cuando los estudiantes construyen activamente
significados matemáticos y comprenden mejor los conceptos; también, desarrollan una mayor habilidad
para transferir esos conceptos a nuevos contextos.
Una de las estrategias pedagógicas derivadas de esta teoría es el uso de situaciones-problema que
fomentan el aprendizaje activo. En un estudio realizado por Cobb et al. (1991), se observó que los
estudiantes que participaron en entornos de aprendizaje constructivista mostraron una comprensión más
profunda y duradera de los conceptos matemáticos en comparación con aquellos que recibieron una
enseñanza tradicional.
a) El papel del profesor: El docente deja de ser un transmisor de conocimientos y pasa a ser un
facilitador del aprendizaje. Su función es crear un ambiente de aprendizaje donde los estudiantes
puedan explorar, experimentar y construir sus propios significados. Esto implica, que el profesor
debe diseñar actividades que desafíen las ideas preconcebidas de los estudiantes y fomenten la
reflexión metacognitiva (von Glasersfeld, 1995).
b) Aprendizaje activo: Se promueven actividades que involucran a los estudiantes en la resolución
de problemas, la exploración de patrones y la formulación de conjeturas.
c) Énfasis en los procesos: Se presta más atención a los procesos de pensamiento que a los resultados
finales. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo se construyen los conceptos
matemáticos y no solo que sean capaces de aplicar algoritmos.
d) Importancia de las representaciones múltiples: Se utilizan diversas representaciones (gráficas,
algebraicas, geométricas) para ayudar a los estudiantes a construir una comprensión más profunda
de los conceptos matemáticos.
Además, en esta teoría se valora los errores como oportunidades de aprendizaje; además, en lugar de
corregir inmediatamente los errores, los profesores deben animar a los estudiantes a reflexionar el por qué
sus enfoques no funcionaron y cómo podrían modificarlos para resolver problemas matemáticos de
manera más efectiva (Confrey,1990).
Por otro lado, esta teoría permite a que los estudiantes desarrollen ciertas habilidades metacognitivas, tales
como:
a) Desarrollo del pensamiento crítico: Los estudiantes se convierten en pensadores independientes
que pueden abordar problemas complejos sin depender de procedimientos memorizados.
b) Comprensión Profunda: En lugar de aprender superficialmente las matemáticas, los estudiantes
construyen una comprensión más profunda y conceptual de los temas (Steffe, 1991).
c) Motivación Intrínseca: Al ser activos en su propio proceso de aprendizaje, los estudiantes a
menudo desarrollan un mayor interés y motivación por la materia.
Además, su implementación es un desafío en este enfoque constructivista radical por las siguientes
razones:
a) El rol del profesor: Los profesores deben estar dispuestos a permitir que los estudiantes tomen la
iniciativa y a renunciar al control total de la clase. Esto requiere una formación profesional muy
especializada para desarrollar estrategias de enseñanza constructivistas (Ball, 1990).
b) Resistencia de los estudiantes: Los estudiantes deben estar dispuestos a romper las estructuras de
la enseñanza tradicional y desarrollar el proceso de construcción de su propio conocimiento.
Cerapio Quintanilla
68
c) Evaluación compleja: Evaluar el aprendizaje en un entorno constructivista radical es muy
desafiante, ya que se centra en la comprensión y el pensamiento crítico en lugar de la
memorización de procedimientos (Cobb, 1994).
El constructivismo radical de von Glasersfeld introduce una nueva manera de enfocar la enseñanza de las
matemáticas, enfatizando que el aprendizaje es un proceso activo, personal y continuo. Estudios en el
campo de la educación matemática muestran que los entornos de aprendizaje que aplican estos principios
no solo mejoran la comprensión conceptual de los estudiantes, sino que también desarrollan habilidades
transferibles esenciales para el pensamiento crítico y la resolución de problemas.
A pesar de los desafíos que presenta su implementación, los beneficios potenciales hacen que el
constructivismo radical sea un enfoque valioso para la enseñanza de las matemáticas en el siglo XXI.
Como menciona Simon (1995), "la clave no es enseñar a los estudiantes qué pensar, sino cómo pensar".
Por lo tanto, el objetivo de la educación matemática desde esta perspectiva es formar estudiantes
autónomos y críticos, capaces de enfrentar y resolver problemas en contextos variables.
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