Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2017), vol. 08, pp. 01-07
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v8i.181
1
Artículo original
Características del modelo epistemológico dominante de la proporcionalidad
en textos de educación secundaria
Characteristics of the dominant epistemological model of proportionality in
secondary education textbooks
Luigi Najarro Alcócer 1
Cintya Gonzales Hernández 2, a
1 Pontificia Universidad Católica del Perú-IREM, Perú
2 Pontificia Universidad Católica del Perú-IREM, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2130-1710
cintya.gonzales@pucp.edu.pe
Resumen
El presente artículo tiene por objetivo describir las características del modelo
epistemológico dominante de la proporcionalidad presente en los textos de Matemática de
Educación Secundaria. Desarrollamos una investigación cualitativa con enfoque
bibliográfico utilizando aspectos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), por
ello consideramos modelos epistemológicos construidos en torno a la proporcionalidad
para poder describir la organización matemática (OM) a enseñar. Revisamos cómo se
presenta la proporcionalidad en los documentos curriculares en los cinco grados de
secundaria. Luego describimos la OM en los textos oficiales otorgados a los estudiantes.
Esta descripción la hacemos a través de los componentes de una OM. El análisis muestra
6 tipos de tareas, 11 tareas, 17 técnicas y 8 discursos tecnológicos. Las modelizaciones
dominantes son la modelización discursiva y la proporcional, que en su conjunto es
denominada como organización clásica de la proporcionalidad. Asimismo, en cuanto a los
objetos ostensivos se evidencia una presencia notable de las tablas de proporcionalidad.
Abstract
This article aims to describe the characteristics of the dominant epistemological model of
proportionality present in Secondary Mathematics textbooks. We develop a qualitative
research with a bibliographical approach using aspects of the Anthropological Theory of
Didactics (TAD), for this reason we consider epistemological models built around
proportionality in order to describe the mathematical organization (MO) to be taught. We
review how proportionality is presented in the curricular documents in the five secondary
school grades. We then describe the OM in the official texts given to students. We make
this description through the components of a MO. The analysis shows 6 types of tasks, 11
tasks, 17 techniques and 8 technological discourses. The dominant models are the
discursive model and the proportional model, which as a whole is called the classical
organization of proportionality. Likewise, in terms of ostensive objects, a notable presence
of proportionality tables is evident.
INTRODUCCIÓN
El trabajo describe las características del modelo epistemológico dominante en torno a la
proporcionalidad presente en los textos escolares de Matemática, que fueron distribuidos a estudiantes
de instituciones públicas del Perú por el Ministerio de Educación en el año 2016. Estos materiales fueron
diseñados teniendo en cuenta los indicadores de desempeño descritos en las Rutas de Aprendizaje
(2015). Este análisis nos permitió identificar las características del modelo epistemológico dominante
presente.
Luigi Najarro Alcócer y Cintya Gonzales Hernández
2
Utilizamos las herramientas de la TAD para llevar a cabo nuestro análisis de la OM a enseñar. Según la
transposición didáctica, esta organización tiene influencia en la organización matemática enseñada y en
la organización matemática aprendida.
La importancia del objeto matemático proporcionalidad se evidencia en que desde la antigüedad es
considerada en diferentes ámbitos de la vida. Asimismo, es tomado en cuenta en diferentes currículos a
nivel mundial, como por ejemplo en la ESO de España, por otro lado, es común encontrarla en los
sílabos de los diferentes programas de educación superior, como en Facultades de Ciencias y
Humanidades. Por ello, consideramos relevante y necesario realizar un estudio exploratorio del modelo
epistemológico dominante teniendo en cuenta el Modelo Epistemológico de Referencia (MER)
propuesto por García (2005), las organizaciones matemáticas presentes en los textos escolares de
Secundaria y la normativa curricular.
Finalmente, es importante señalar que la relevancia de este objeto en las Evaluaciones Censales de
Estudiantes, como por ejemplo en la ECE 2015 y ECE 2016 para alumnos de II de secundaria.
Asimismo, es común encontrar tareas vinculadas a la proporcionalidad en los diferentes exámenes de
admisión de casas de estudio de nivel superior.
Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD)
La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) propuesta por Chevallard (1999) sitúa la actividad
matemática en el conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales, considera a la didáctica
de la matemática como una actividad humana y admite que “toda actividad humana regularmente
realizada puede describirse con un modelo único” denominado praxeologías.
Praxeologías
La noción de praxeología constituye una herramienta fundamental para modelizar la actividad
matemática, que son construcciones institucionales, como toda obra humana surge como respuesta a un
conjunto de cuestiones y como medio para llevar a cabo determinadas tareas problemática. Esta presenta
la siguiente estructura [T/𝜏//].
• Tipos de tareas T: Conjunto de ejercicios, problemas, o actividades propuestas.
• Técnica 𝝉: Es un saber -hacer una determinada tarea. Una técnica 𝜏 es una manera de dar solución
efectiva a una tarea. En nuestra investigación, consideraremos la reducción a la unidad y la regla
de tres simples como técnicas que permiten resolver tareas específicas.
• Tecnología : Discurso que justifica racionalmente la técnica 𝜏 para asegurarse de que pueda
realizar las tareas. La definición de razones y proporciones es la tecnología que justifica, por
ejemplo, la técnica “regla de tres” para nuestra investigación.
• Teoría : Justifica el discurso tecnológico. Por ejemplo, la teoría de las magnitudes variables
podría justificar la tecnología que respalde la técnica de “regla de tres”.
Ostensivos en la TAD
Según Bosh (1994) se denomina ostensivo a todo objeto dotado de una naturaleza sensible, de cierta
materialidad, y que, por ello, puede presentarse al sujeto como una realidad perceptible y manipulable.
Podemos considerar como ostensivos a los sonidos (morfemas lingüísticos), los grafismos (grafemas
que componen la escritura de las lenguas naturales y formales), los gestos, entre otros.
Los objetos ostensivos permiten evocar objetos no ostensivos, es decir, nociones matemáticas que no se
pueden manipular (conceptos, definiciones, ideas, etc.). Teniendo en cuenta esta afirmación, por
ejemplo, la notación f(x)=kx evoca a la proporcionalidad directa. Según Bosch (1994) los objetos
ostensivos tienen una valencia instrumental y una valencia semiótica dentro de una institución, un
periodo de tiempo y con ciertos objetos matemáticos.
Modelo Epistemológico de Referencia (MER)
Es un modelo teórico básico construido para analizar la transición y evolución de los saberes entre
diferentes instituciones. También para describir y analizar, los modelos epistemológicos dominantes en
Características del modelo epistemológico dominante de la proporcionalidad en textos de educación secundaria
3
determinadas instituciones. Según Gascón (2014) permite fijar la amplitud del problema de
investigación, identificar fenómenos didácticos y elaborar explicaciones tentativas y tipos de soluciones.
Un MER tiene carácter relativo, asimismo, ayuda a construir modelos alternativos didácticos en una
institución dada. Este puede expresarse en forma de una sucesión de praxeologías elaboradas en base a
respuestas parciales de una cuestión problemática inicial. Cada una de estas surge de la ampliación o
desarrollo de la anterior ante las limitaciones de ésta para aportar respuestas a las cuestiones que se
plantean.
MATERIAL Y MÉTODOS
Adoptamos un enfoque cualitativo según Hernández et al (2010) puesto que se observa, describe e
intenta comprender los fenómenos tal como se presentan en su medio natural.
Asimismo, consideramos que es una investigación de tipo bibliográfica, porque, analizamos los
documentos y también libros de texto. A continuación, presentaremos la secuencia de pasos que
realizamos para la realización de nuestros objetivos.
• Identificamos en las Rutas de Aprendizaje el objeto matemático proporcionalidad.
• Identificamos y describimos los elementos de la OM proporcionalidad.
• Identificamos las características del modelo epistemológico dominante presente en la OM descrita
teniendo en cuenta el MER de García (2005).
Estudio de la proporcionalidad. Modelización de sistemas de variación entre magnitudes
García (2005) reformula y completa los niveles de algebrización propuestos por Bolea, Bosch y Gascón
(2001), y elabora un MER teniendo en cuenta las siguientes modelizaciones:
Modelización discursiva: La describe como una OM puntual, generada en torno a la técnica de
“reducción a la unidad”, que permite la realización de una actividad matemática bastante limitada para
sistemas lineales e lineales inversos (proporcionalidad directa e inversa). Su marco tecnológico - teórico
explícito es casi inexistente, limitándose a la descripción oral de las propiedades.
Modelización proporcional: Esta modelización es conocida también como “clásica” y estará formulada
en términos de razones y proporciones. Se evidencia la ausencia de una teoría del álgebra de magnitudes
que justifique la realización de operaciones entre cantidades de magnitudes de diferente naturaleza
(razones heterogéneas), por lo que solo se considera proporciones con razones homogéneas en la técnica
de la regla de tres.
Modelización ecuacional: Puede considerarse como una organización matemática local, porque
contiene cierta variedad de técnicas y de tipos de cuestiones problemáticas, más allá de la mera
determinación de nuevos estados, y porque lleva a cabo ciertos cuestionamientos en el nivel tecnológico.
La ampliación del marco teórico justifica las operaciones entre magnitudes y permite establecer razones
heterogéneas.
Modelización funcional: En esta modelización la teoría evoluciona hasta la teoría de las funciones
reales de variable real, esta da lugar a una variación ostensiva en las tecnologías, que considera la
correspondencia entre M y M’ como una correspondencia unívoca entre conjuntos numéricos.
La proporcionalidad en Rutas de Aprendizaje
Fueron publicadas por el Ministerio de Educación (MINEDU) en el año 2012 y se fueron
reestructurando hasta su última versión en el año 2015. Considera orientaciones para el área e
indicadores de desempeño para cada grado y/o ciclo y sirvieron de insumos para la elaboración de los
textos escolares de Secundaria que analizamos en el presente trabajo de investigación. La
proporcionalidad es identificada en los cinco grados en la competencia de cantidad y en I y II en la
competencia de regularidad, equivalencia y cambio.
RESULTADOS
Análisis de los textos escolares
Luigi Najarro Alcócer y Cintya Gonzales Hernández
4
En la tabla 1 identificamos las tareas presentes en cada uno de los textos de Matemática de Secundaria.
Podemos observar que el tipo de tareas que más situaciones presenta en los textos es el de determinar el
término desconocido en una relación de magnitudes proporcionales.
Tabla 1. Tareas presentes en los textos de Matemática de Secundaria
TIPO DE TAREA
TAREA
CANTIDAD DE
PROBLEMAS RESUELTOS
I
SEC
II
SEC
III
SEC
IV
SEC
V
SEC
(T1): Determinar el
término desconocido en
una relación de
magnitudes
proporcionales
Tarea (t1,1): Calcular el término desconocido
de dos magnitudes directamente
proporcionales
10
5
3
3
Tarea (t1,2): Calcular el término desconocido
en una relación de dos magnitudes
inversamente proporcionales
4
4
3
3
Tarea (t1,3): Calcular el término desconocido
en una relación de más de dos magnitudes
proporcionales
1
3
3
(T2): Identificar
magnitudes
proporcionales
Tarea (t2, 1): Identificar magnitudes
directamente proporcionales en una tabla
1
1
(T3): Distribuir una
cantidad en partes
proporcionales a
números dados
Tarea (t3,1): Distribuir una cantidad en partes
inversamente proporcionales a números
dados
1
3
Tarea (t3,2): Distribuir una cantidad en partes
directamente proporcionales a números
dados
3
(T4): Interpretar la
relación de dos
magnitudes
proporcionales como
una función
Tarea (t4,1): Interpretar la relación de dos
magnitudes directamente proporcionales
como una función lineal
3
5
Tarea (t4,2): Interpretar la relación de dos
magnitudes inversamente proporcionales
como una función de proporcionalidad
inversa
1
(T5): Analizar la razón
entre dos magnitudes
Tarea (t5,1): Determinar la razón entre dos
cantidades en un mismo espacio de medidas
1
1
Tarea (t5,2): Determinar una cantidad
teniendo el valor de la razón
2
(T6): Aplicar
propiedades de razones
y proporciones
Tarea (t6,1): Aplicar propiedades en una serie
de razones
1
A continuación, en la tabla 2 se muestran los ostensivos identificados en los textos escolares analizados.
Características del modelo epistemológico dominante de la proporcionalidad en textos de educación secundaria
5
Tabla 2: Ostensivos presentes en los textos de Matemática de Secundaria
TEXTOS
ESCOLARES
Ostensivos
a/b = c/d
Tabla
K: constante de proporc.
Repres. Cartes.
a:b :: c:d
y= kx;y=k/x
f(x) =mx;f(x)=m/x
Oper
mat.
→
→
Repres Sagital
Oral
I SECUNDARIA
9
13
6
6
1
1
2
1
1
1
11
II SECUNDARIA
8
13
6
1
5
2
7
III SECUNDARIA
6
8
1
1
1
8
IV SECUNDARIA
9
9
7
2
8
V SECUNDARIA
4
1
Autoría propia
Observamos que la mayor recurrencia de ostensivos es la tabla de proporcionalidad. Este es a la vez un
registro de representación de datos y un ostensificador. Cuando los datos se representan en una tabla,
las cantidades proporcionales son distinguidas; hay una mejor organización del trabajo, en particular al
determinar si el valor a calcular es una imagen o un antecedente. Además, permite la materialización de
la constante de proporcionalidad y de los operadores internos (adición y multiplicación) que intervienen
en la situación. Asimismo, la tabla de proporcionalidad tiene una valencia instrumental ya que la técnica
del producto cruzado o del producto lineal se puede utilizar para el cálculo de la cuarta proporcional si
estamos trabajando problemas de proporcionalidad directa o inversa respectivamente.
Según Hersant (2001, citada en Najarro, 2018) Los ostensivos utilizados para resolver problemas de
proporcionalidad tienen diferentes valencias semióticas e instrumentales. La elección de uno u otro
determina la actividad matemática a realizar.
Otro de los ostensivos recurrentes es el lenguaje oral con expresiones del tipo “a más, menos” y “a
menos, más”. Estos ostensivos tienen un valor instrumental porque pueden servir para el tratamiento
oral de un problema de proporcionalidad inversa, aunque también pueden llevar al error de tipo
conceptual si es que no se acompaña del concepto de constante de proporcionalidad, pudiendo generar
así un obstáculo didáctico.
El análisis de los documentos curriculares, así como la identificación y descripción de los elementos de
las organizaciones matemáticas en torno a la proporcionalidad en los textos escolares, nos permitió
conocer cómo vive y/o pervive nuestro objeto de estudio en la noosfera e identificar las características
del modelo epistemológico dominante.
1. Con respecto a las Rutas de Aprendizaje (2015), documento guía para la elaboración de los textos
escolares, la proporcionalidad de manera explícita es considerada en los cinco grados de Educación
Secundaria en la competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. Los
indicadores de desempeño están referidos a que el estudiante identifique magnitudes proporcionales
y resuelva problemas utilizando como técnicas la reducción a la unidad, la regla de tres simple y la
Luigi Najarro Alcócer y Cintya Gonzales Hernández
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regla de tres compuesta. Asimismo, en la competencia: Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, la proporcionalidad se presenta solo en los grados
de primero y segundo. Algunos indicadores de desempeño en esta competencia buscan articular la
proporcionalidad directa con la función lineal y la proporcionalidad inversa con la función de
proporcionalidad inversa lo que correspondería, según García (2005), a la modelización funcional
de sistemas lineales y lineales inversos.
2. Con respecto al análisis de los textos escolares haciendo uso de las herramientas de la TAD,
identificamos 6 tipos de tareas, 15 tareas, 23 técnicas y 8 discursos tecnológicos. Teniendo en cuenta
los resultados obtenidos, podemos decir que la organización matemática es local (formado por
organizaciones puntuales) y que las modelizaciones dominantes son la discursiva y la proporcional,
que corresponden a la organización clásica de la proporcionalidad. En la organización clásica, se
describe la proporcionalidad como una relación de dos series de números, pero los problemas y
técnicas utilizadas en su mayoría siempre están relacionadas a la regla de tres, este fenómeno lo
denomina la “evitación del álgebra”. Comin (2000) denomina a este fenómeno como la
“numeralización de la proporcionalidad”, esto debe ser considerado como una consecuencia de la
algebrización desigual de los componentes de la OM. En efecto dado que la algebrización no alcanza
las técnicas, los problemas de la proporcionalidad son considerados como aritméticos y la relación
de proporcionalidad pasa de una relación funcional entre variables (continuas) a ser simplemente
una relación aritméticas entre números
3. En los grados de primero y segundo de secundaria se identifica una presencia de las tareas, técnicas
y discursos tecnológicos correspondientes, según García (2005), a una modelización funcional de
sistemas lineales y lineales inversos, siendo la constante de proporcionalidad un elemento de
articulación entre la proporcionalidad y la función. Sin embargo, la actividad matemática en torno
a esta modelización no llega a cimentarse pues es diluida por las tareas clásicas en torno a las
funciones como, por ejemplo, encontrar dominio y rango, crecimiento, interceptos, entre otros. En
tercero, cuarto y quinto de secundaria la posibilidad de articulación de la proporcionalidad y las
relaciones funcionales está descartada.
4. La gran mayoría de problemas presentes en los textos escolares ya se suponen proporcionales y se
define la relación de proporcionalidad de manera implícita o como una convención social y a partir
de ello se utiliza las técnicas de la organización clásica.
5. En cuanto al uso de los ostensivos podemos indicar que se identifica con mayor presencia el uso de
tablas para representar relaciones de proporcionalidad directa, inversa y compuesta. Asimismo, la
notación clásica para representar razones y proporciones, es decir, a través de la pequeña línea
horizontal que se utiliza para las fracciones, tiene también una presencia fuerte en los materiales
analizados. En los textos de primero y segundo de secundaria se identifica también como ostensivos
la representación cartesiana y la notación f(x), que permiten articular la proporcionalidad con la
función.
El discurso coloquial y cultural “a más, más” y “a menos, menos” aún persiste en los textos escolares.
Aunque se trata siempre de complementar con la definición de constante de proporcionalidad, a veces
no se logra. Esto podría afianzar una tecnología espontánea de los docentes en torno a la
proporcionalidad y generarles confusión al momento de programar sus sesiones de aprendizaje.
DISCUSIÓN
La TAD ha sido oportuna pues brinda las herramientas para describir y analizar cuestiones relativas al
estudio del objeto matemático proporcionalidad en los documentos curriculares y materiales educativos.
El modelo epistemológico dominante en torno a la proporcionalidad en los materiales educativos
escolares difundidos a nivel nacional por el Ministerio de Educación no es el del álgebra como
instrumento de modelización pues las tareas y técnicas de la modelización discursiva y de la
modelización proporcional se presentan de manera dominante en todos los grados de la Educación
Secundaria.
Características del modelo epistemológico dominante de la proporcionalidad en textos de educación secundaria
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El tipo de tarea dominante en los materiales es el de determinar el término desconocido en una relación
de magnitudes proporcionales, en donde la reducción a la unidad, regla de tres simple y regla de tres
compuesta se convierten generalmente en las técnicas empleadas en la mayoría de grados. Aunque la
presente investigación no pretende describir las características del modelo docente en torno a la
proporcionalidad, es importante tener presente el modelo epistemológico dominante pues podría tener
una influencia significativa.
REFERENCIAS
Bosch, M.; Fonseca, C.; Gascón, J. (2004). Incompletitud de las Organizaciones Matemáticas Locales
en las Instituciones Escolares. Recherches en Didactique des Mathématiques, 24 (2), p. 205-250.
Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique.
Recherches en didactique des Mathématiques, 19(2), 221-266.
Comin, E. (2000). Proportionnalité et fonction linéaire: caractères, cause et effets didactiques des
évolutions et des réformes dans la scolarité obligatoire. (Tesis de doctorado, Universidad de
Bordeaux I, Bordeaux, Francia). Recuperado de http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00827905/
García, F. (2005). La modelización como herramienta de articulación de la matemática escolar. De la
proporcionalidad a las relaciones funcionales. (Tesis Doctoral). Universidad de Jaén, España.
Gonzales, C. (2014). Una praxeología matemática de proporción en un texto universitario. (Tesis de
Maestría). Pontificia Universidad Católica del Perú. Recuperado de
http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/handle/123456789/5225
Hernández, R., Fernández, C., & Batista, P. (2010). Metodología de la Investigación. McGraw-Hill
Interamericana. México.
Hersant, M. (2005). La proportionnalité dans l'enseignement obligatoire en France, d'hier à aujourd'hui.
Repéres, IREM, 59, p. 5-41.
Najarro, L. (2018). Caracterización del modelo epistemológico dominante de la proporcionalidad en
los textos de matemática de educación secundaria. (Tesis de Maestría en proceso de
sustentación). Pontificia Universidad Católica del Perú.
MINEDU (2015). Rutas de aprendizaje. Editado por el Ministerio de Educación, del Perú. Lima.