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Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 179 - 183
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.55
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Sólidos por secciones transversales usando GeoGebra
Solids by transversal sections using GeoGebra
Elizabeth Advíncula Clemente 1, a Nancy Saravia Molina 2, b
1Pontificia Universidad Católica del Perú
Instituto de Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas IREM-PUCP. Lima, Perú
aORCID: https://orcid.org/0000-0003-3941-3139
2Pontificia Universidad Católica del Perú
Instituto de Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas IREM-PUCP. Lima, Perú
bORCID: https://orcid.org/0000-0002-2819-8835
eadvincula@pucp.edu.pe
nsaraviam@pucp.edu.pe
Información Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 10/05/2021.
Palabras clave:
Visualización, sólidos,
secciones transversales,
GeoGebra.
En el estudio del cálculo integral nos encontramos con diversas dificultades, entre ellas
determinar el volumen de sólidos por secciones transversales, siendo un problema
fundamental en estos casos encontrar la función que determine el área de la sección
transversal. El objetivo de este taller es usar el GeoGebra como una herramienta que
favorece la visualización de los sólidos por secciones transversales, en particular de la
sección transversal, cuya manipulación resulta complicada para los estudiantes al trabajar
en un entorno estático con lápiz y papel. El taller está dirigido a docentes de educación
superior. Propondremos actividades para que trabajen con diversas herramientas del
GeoGebra y puedan realizar construcciones dinámicas, y a partir de la manipulación e
interacción con ellas elaboraren y validen sus conjeturas acerca de las características de
las secciones transversales de los sólidos mencionados. Al finalizar cada actividad
tendremos un espacio para reflexionar la pertinencia del uso del GeoGebra en sus clases,
analizando las ventajas y desventajas.
Information Abstract
Keywords:
Visualization, solids,
transversal sections,
GeoGebra.
INTRODUCCIÓN
En matemática, la comprensión de varios conceptos matemáticos requiere de la posibilidad de crear una
imagen visual de un concepto abstracto. Es así que este trabajo tiene como objetivo mostrar actividades
relacionadas con el volumen de sólidos por secciones transversales, que incorporan la visualización
como mediadora en el proceso de enseñanza y aprendizaje a partir del uso de la tecnología.
Taller en coloquio
Elizabeth Advíncula Clemente y Nancy Saravia Molina
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En el curso de cálculo integral, cuando trabajamos volúmenes de sólidos por el método de secciones
transversales observamos que la visualización de los sólidos involucrados no es fácil para los
estudiantes, debido en parte porque nos limitamos a representar figuras.
Observamos que una de las dificultades que presentan los estudiantes es encontrar la función que
determina el área de la sección transversal, dado que no existe explícitamente un método para ello pues
encontrar esta función depende de las condiciones dadas en el problema y de los conocimientos que se
tengan.
Convencidos que la visualización de los sólidos facilita a los estudiantes la comprensión de dichas
figuras, incorporamos en nuestras clases el uso de recursos tecnológicos como el GeoGebra, que es un
software libre que permite construir sólidos y manipularlos para visualizar sus principales características
y propiedades.
Por otro lado, la necesidad de incorporar la visualización en el trabajo con conceptos matemáticos
abstractos a fin de hacer visibles elementos que no se puedan percibir a simple vista ha generado diversas
investigaciones en relación al potencial didáctico de la visualización. En este sentido, Di
Domenicantonio, Costa y Vacchino (2011, p. 76) consideran “a la visualización como un proceso mental
interno, el que puede utilizarse con efectividad para el descubrimiento y comprensión de nociones
matemáticas que involucran sensación, imaginación y manipulación mental de los objetos”.
Enfoque teórico
Actualmente, la visualización en el aprendizaje de las matemáticas viene siendo reconocida como una
componente importante en la resolución de problemas, así como en la realización de demostraciones
(Battista, 2007; Presmeg, 2006, Phillips et al.,2010 y Rivera, 2011).
Según Arcavi (2003, p. 217) "la visualización es la capacidad, el proceso y el producto de la creación,
interpretación, uso y reflexión sobre retratos, imágenes, diagramas, en nuestras mentes, en el papel o
con herramientas tecnológicas, con el propósito de representar y comunicar información, pensar y
desarrollar ideas previamente desconocidas y comprensiones avanzadas". Coincidimos con esta
definición pues en los problemas que nos interesa abordar en nuestro taller es muy importante contar
con un esquema o representación gráfica que nos permita reconocer las características de los sólidos que
se obtienen al seccionarlos usando distintas formas de secciones transversales y cómo estos cambios en
las secciones transversales afectan los volúmenes de los sólidos en cuestión.
Desde el punto de vista de Duval (1999), la representación y la visualización son el centro de la
comprensión en matemáticas, y por tal, es fundamental analizar en qué medida estos elementos
interactúan para producir aprendizaje. Asimismo, señala que el uso de representaciones semióticas es
esencial para acceder a los objetos matemáticos; cuya comprensión involucra distinguir un objeto de su
representación. Duval (2016) también señala que la conversión requiere el uso interactivo de dos
registros de representación semiótica o más, pero para garantizar la comprensión es necesaria la
coordinación de representaciones formuladas en diferentes registros.
Asimismo, consideramos que el GeoGebra es un artefacto, que en términos de Rabardel (1995) podría
convertirse en un instrumento a través de un proceso de génesis instrumental, el cual permite identificar
los esquemas de utilización que construyen y movilizan los sujetos cuando interactúan con el GeoGebra
al resolver problemas matemáticos, elaborar y verificar conjeturas. En este sentido, el GeoGebra facilita
la visualización, el descubrimiento y el reconocimiento de propiedades invariantes en los objetos
matemáticos involucrados (Madama y Curbelo, 2012) así como la comprensión de las características
propias de los sólidos seccionados por distintas secciones transversales debido al dinamismo y
flexibilidad que presenta este software para realizar construcciones y modificaciones.
En este trabajo presentamos algunas actividades vinculadas a los sólidos generados por secciones
transversales, donde se incorpora la visualización como mediadora en el proceso de enseñanza y
aprendizaje a partir del uso de la tecnología.
Sólidos por secciones transversales usando GeoGebra
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Diseño e implementación del taller
Las actividades que proponemos en este taller buscan identificar el conocimiento matemático que tienen
los docentes para articular aspectos algebraicos y geométricos que demanda la construcción de sólidos
por secciones transversales, así como el uso que hacen de la tecnología como recurso en la enseñanza y
aprendizaje de estos sólidos.
Las actividades propuestas tienen por objetivo que los docentes de matemática resuelven problemas
relacionados con sólidos generados por secciones transversales, reconociendo las propiedades de dichos
sólidos a partir de la exploración, manipulación, elaboración y validación de conjeturas, haciendo uso
del GeoGebra.
Este taller se desarrollará en una sesión de 90 minutos, en el cual los participantes deberán contar con la
instalación del GeoGebra en su computadora, para poder desarrollar las actividades propuestas. En
primer lugar, los docentes realizarán un trabajo individual y luego se realizará una discusión con todos
los participantes para intercambiar estrategias de solución y diversos modos de validación de conjeturas.
En un primer momento, los participantes tendrán 15 minutos para desarrollar la actividad 1 sobre la
construcción de circunferencias, de manera individual, explorando las vistas y herramientas del
GeoGebra que considere necesarias para realizar las construcciones correspondientes. Luego, tendremos
15 minutos para socializar los resultados obtenidos por todos los participantes, y de ser necesario se
solicitará a alguno de los participantes compartir su pantalla de trabajo y haremos la retroalimentación
correspondiente. En un segundo momento, los participantes tendrán 25 minutos para desarrollar de
forma individual la actividad 2 sobre la construcción de los sólidos por secciones transversales. Luego,
tendremos 25 minutos para que los participantes compartan sus pantallas y de esa manera sus resultados,
para juntos analizar las diversas maneras en que abordaron sus construcciones. En los últimos 10
minutos reflexionaremos sobre las ventajas y desventajas que ofrece el GeoGebra respecto a la
visualización de sólidos construidos por secciones transversales y cómo esto favorece la resolución de
problemas que involucran a dichos sólidos.
A continuación, mostramos las actividades diseñadas para ser trabajados con los docentes participantes.
Actividad 1: Construcción de semicircunferencias
a) Construya una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 4 unidades.
b) Construya el arco superior de la circunferencia y denótelo como f.
c) Ubique un punto sobre el arco superior de la circunferencia y denótelo con la letra A, y deslícelo
sobre el arco f.
d) Construya el arco inferior de la circunferencia, denótelo como g.
e) Ubique un punto sobre el arco inferior de la circunferencia y denótelo con la letra B, y deslícelo
sobre el arco g.
f) Construya un segmento perpendicular al eje X que una los puntos A y B, y deslice dicho
segmento usando el deslizador y la animación.
g) Comente lo que observa.
h) Responda lo siguiente:
h1) ¿Qué hizo para resolver esta actividad?
h2) ¿Qué conceptos matemáticos uso para resolver esta actividad?
h3) ¿Qué capacidades matemáticas podría desarrollar un estudiante a través de esta actividad?
Actividad 2: Construcción de sólidos con base circular
a) Construya una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 4 unidades.
Elizabeth Advíncula Clemente y Nancy Saravia Molina
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b) Construya un sólido con secciones transversales perpendiculares al diámetro de la base que son
cuadrados con un lado contenido en la base del sólido.
c) Construya un sólido con secciones transversales perpendiculares al diámetro de la base que son
triángulos rectángulos isósceles con un cateto contenido en la base del sólido.
d) Construya un sólido con secciones transversales perpendiculares al diámetro de la base que son
semicírculos con su diámetro contenido en la base del sólido.
e) Comente los cambios que observa en el sólido al variar las secciones transversales.
f) ¿Alguno de los sólidos construidos, le parece conocido? Responda lo siguiente:
f1) ¿Qué hizo para resolver esta actividad?
f2) ¿Qué conceptos matemáticos uso para resolver esta actividad?
f3) ¿Qué capacidades matemáticas podría desarrollar un estudiante a través de esta actividad?
RESULTADOS
En la Actividad 1, esperamos que los participantes construyan el arco superior e inferior de una
circunferencia de manera independiente, de modo que representen dos funciones distintas. Para que
luego puedan usar un deslizador en el arco superior e inferior, y cuando construyan el segmento que une
los puntos del arco superior e inferior sea perpendicular al diámetro de la circunferencia.
Cabe mencionar que construir la circunferencia completa usando GeoGebra, obstruye la posterior
construcción del segmento que deseamos resulte perpendicular al diámetro de la circunferencia.
En la Actividad 2, esperamos que los participantes incluyan el proceso de construcción realizado en la
Actividad 1, y de acuerdo a las secciones transversales indicadas puedan formar diferentes sólidos y
puedan visualizar los sólidos que se forman, identificando en cada caso características propias de dichos
sólidos. Consideramos que una herramienta importante en esta actividad es la construcción de las
secciones transversales, pues estas requieren primero de una construcción algebraica para luego realizar
la construcción en GeoGebra. Este proceso no es sencillo pues se necesita establecer conexiones entre
la parte algebraica y la parte geométrica.
CONSIDERACIONES FINALES
Consideramos que debido a la versatilidad que ofrece el GeoGebra podemos visualizar el sólido que se
forma al considerar diferentes secciones transversales, identificando las semejanzas y diferencias entre
dichos sólidos a partir de las características propias de cada sólido que se obtiene. Consideramos que las
herramientas que ofrece el GeoGebra facilitan la construcción de los sólidos por secciones transversales,
a diferencia de una construcción realizada con lápiz y papel; lo cual ayuda a una mejor visualización de
la sección transversal con la cual se está trabajando al manipular los sólidos obtenidos. Lo que
finalmente deriva en una mejor comprensión de los sólidos por secciones transversales, facilitando la
determinación de la función que determina el área de las secciones transversales involucradas. Cabe
resaltar que la comprensión de los aspectos geométricos y algebraicos vinculados a los sólidos
construidos por secciones transversales es fundamental al momento de determinar el volumen de dichos
sólidos.
Finalmente, consideramos importante tener un espacio para reflexionar sobre la incorporación del
GeoGebra en nuestras clases, de modo que responda a una intención de favorecer el aprendizaje de
nuestros estudiantes.
REFERENCIAS
Arcavi, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies
in Mathematics,52, 215-241.
Battista, M. T. (2007). The development of geometric and spatial thinking. In F. Lester, (Ed.), Second
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Publising.
Sólidos por secciones transversales usando GeoGebra
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Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: cognitive functions in mathematical
thinking. In F. Hitt & M. Santos (Eds.), Proceedings of the 21st Annual Meeting North American
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Duval, R. (2016). Un análisis cognitivo de problemas de comprensión en el aprendizaje de las
matemáticas. En Duval R. y Sáenz-Ludlow A. (Eds.), Comprensión y Aprendizaje en
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Madama, M. & Curbelo, M. (2012). Visualizar, conjeturar y demostrar utilizando el software GeoGebra.
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Presmeg, N. C. (2006). Research on visualization in learning and teaching mathematics. In A. Gutiérrez
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Rabardel, P. (1995). Los hombres y las tecnologías. Visión cognitiva de los instrumentos
contemporáneos. Traducido por M. Acosta. Universidad Nacional de Santander, Colombia.
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Rivera, F. D. (2011). Toward a visually-oriented school mathematics curriculum. Research, theory,
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