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Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 168 - 172
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.54
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Límite de una sucesión con GeoGebra
Limit of a sequence with GeoGebra
Ana Lucía Arias Balarezo 1, a Jimmy Muela Pillajo 2Jhon Lima Yarpaz 3
1Universidad Central del Ecuador
ahttps://orcid.org/0000-0002-2317-9600
alarias@uce.edu.ec
2Universidad Central del Ecuador jamuelap@uce.edu.ec
3Universidad Central del Ecuador jjlima@uce.edu.ec
Información Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 10/05/2021.
Palabras clave:
Teoría APOE,
Descomposición
Genética, Concepto de
Límite, GeoGebra.
El presente taller tiene por objetivo analizar de qué manera se puede usar el software
GeoGebra en la enseñanza-aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite
para estudiantes de Bachillerato General Unificado, el sustento teórico de la misma
constituye la teoría APOE de Dubinsky en lo que se refiere a la descomposición genética
del concepto de límite de una función. Esta investigación es cualitativa de nivel
exploratorio-descriptivo, se utilizó tanto una investigación bibliográfica documental como
una investigación de campo, para lo cual se elaboró un instrumento compuesto por cinco
tareas didácticas que cuenta con preguntas de selección múltiple y de completar,
presentadas en la plataforma Geogebra.org. Uno de los principales resultados que se espera
alcanzar es una mayor comprensión del concepto de límite por medio del sistema de
representación gráfico en comparación con los otros sistemas de representación.
Information Abstract
Keywords:
APOE Theory, Genetic
Decomposition, Limit
Concept, GeoGebra.
The objective of this workshop is to analyze how the GeoGebra software can be used in
the teaching-learning of the dynamic conception of the concept of limit for students of the
Unified General Baccalaureate, the theoretical support of it constitutes the APOE theory
of Dubinsky in what which refers to the genetic decomposition of the concept of limit of
a function. This research is qualitative at an exploratory-descriptive level, both a
documentary bibliographical research and a field research were used, for which an
instrument composed of five didactic tasks was developed that has multiple choice and
completion questions, presented on the platform. Geogebra.org. One of the main results
that is expected to be achieved is a greater understanding of the concept of limit through
the graphic representation system compared to the other representation systems.
INTRODUCCIÓN
La Matemática es una de las ciencias que mayor dificultad presenta en el proceso de enseñanza-
aprendizaje tanto para docentes como para estudiantes, principalmente porque posee una naturaleza
abstracta, ya que al poseer conceptos que no pueden ser representados visualmente, es necesario generar
estructuras mentales que permitan alcanzar la comprensión de estos conocimientos matemáticos (Socas,
2007). La importancia del proceso enseñanza-aprendizaje radica en que por medio del mismo se lleva a
cabo la formación tanto personal como profesional del estudiante, esto con el fin de formar seres
humanos íntegros (Cottrill, et al., 1996). Es por ello que el presente trabajo, de carácter cualitativo, busca
analizar de qué manera se puede usar el software Geogebra en la enseñanza-aprendizaje de la concepción
dinámica del concepto de límite para estudiantes de Bachillerato General Unificado. La razón por la que
Taller en coloquio
Límite de una sucesión con GeoGebra
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se seleccionó este conocimiento matemático en concreto, se debe a que es uno de los temas base del
Cálculo y además uno de los conceptos que presenta mayor complejidad para los estudiantes de
bachillerato.
Para poder identificar las principales dificultades que surgen durante el proceso enseñanza-aprendizaje
se llevó a cabo una investigación bibliográfica en la que analizamos varios elementos como; las
principales teorías de aprendizaje, entre las que destaca la Teoría APOE, los obstáculos epistemológicos,
las diversas definiciones del concepto de límite, la forma en cómo aprende el estudiante dicho concepto
(Vrancken, et, al, 2006) y la incidencia del software matemático GeoGebra. Posterior a ello, procede
una investigación de campo en la que se aplicó un cuestionario compuesto por cinco tareas didácticas a
los estudiantes de bachillerato previamente seleccionados. Todo este proceso fue necesario para diseñar
una propuesta didáctica, basada en GeoGebra, que aspira a superar las dificultades identificadas en la
comprensión del concepto de límite de una función.
MATERIAL Y MÉTODOS
Con este taller se pretende alcanzar lo siguiente:
Analizar de qué manera se puede usar el software GeoGebra en la enseñanza-aprendizaje de la
concepción dinámica del concepto de límite para estudiantes de Bachillerato General Unificado.
Establecer los principales recursos de GeoGebra necesarios para propiciar el aprendizaje de la
concepción dinámica del concepto de límite.
Establecer las características que debe tener una propuesta didáctica para la enseñanza de la
concepción dinámica del concepto de límite de una función usando GeoGebra.
A continuación, se describen cada una de las tareas didácticas que se proponen a través del software
matemático GeoGebra, en cada una de ellas se adjuntan el enlace que dirige a dichas tareas, además se
detallan los objetivos que se pretende alcanzar con los estudiantes, el mecanismo desarrollado y también
el sistema de representación que se utilizó.
TAREA 1
Esta tarea está compuesta por cinco ejercicios como se puede evidenciar en el enlace
https://www.geogebra.org/m/dtcbafqj, los cuales se centran en el desarrollo del mecanismo de idea de
función (M1) que corresponde a la descomposición genética seleccionada con anterioridad (Trigueros,
2005), para ello se emplea el sistema de representación gráfico. Los objetivos que se espera que el
estudiante alcance con esta tarea son los siguientes:
O1. Determinar el valor de la imagen de 𝑓(𝑥)a partir de un sistema de representación gráfico en un
conjunto de puntos finitos.
O2. Identificar el sistema de representación algebraico correspondiente a la imagen de 𝑓(𝑥)para un
determinado valor de 𝑥.
TAREA 2
Esta tarea está compuesta por dos ejercicios como se puede evidenciar en el enlace
https://www.geogebra.org/m/cvjzdpnk, los cuales se centran en el desarrollo del mecanismo de
interiorización (M2) de la acción de evaluar y coordinación (M3) tanto del proceso de evaluar 𝑥cuando
se aproxima a un número 𝑎, como del proceso de evaluar 𝑓(𝑥)cuando se aproxima a 𝐿que
corresponde a la descomposición genética seleccionada con anterioridad, para ello se emplea el
sistema de representación numérico. Los objetivos que se espera que el estudiante alcance con esta
tarea son los siguientes:
O3. Visualizar mentalmente la relación existente entre un valor de 𝑥con su respectiva imagen de 𝑓(𝑥).
O4. Identificar la aproximación sucesiva de 𝑥, por derecha e izquierda, a un determinado número 𝑎, a
partir del sistema de representación numérico.
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O5. Identificar la aproximación sucesiva de la imagen de 𝑓(𝑥), por derecha e izquierda, a un
determinado número 𝐿, a partir del sistema de representación numérico.
TAREA 3
Esta tarea está compuesta por tres ejercicios como se puede evidenciar en el enlace
https://www.geogebra.org/m/evkbed7z, los cuales se centran en el desarrollo del mecanismo de
interiorización (M2) de la acción de evaluar y coordinación (M3) tanto del proceso de evaluar 𝑥cuando
se aproxima a un número 𝑎, como del proceso de evaluar 𝑓(𝑥)cuando se aproxima a 𝐿que
corresponde a la descomposición genética seleccionada con anterioridad, para ello se emplea el
sistema de representación gráfico. Los objetivos que se espera que el estudiante alcance con esta tarea
son los siguientes:
O6. Identificar la aproximación sucesiva de 𝑥, por derecha e izquierda, a un determinado número 𝑎, a
partir del sistema de representación gráfico.
O7. Identificar la aproximación sucesiva de la imagen de 𝑓(𝑥), por derecha e izquierda, a un
determinado número 𝐿, a partir del sistema de representación gráfico.
O8. Reflexionar sobre el proceso de aproximar 𝑥al valor apara poder obtener el proceso de
𝑓(𝑥)aproximándose a 𝐿, cuando las secuencias numéricas son o no coincidentes, por medio del
sistema de representación gráfico.
TAREA 4
Esta tarea está compuesta por tres ejercicios como se puede evidenciar en el enlace
https://www.geogebra.org/m/ph3tdyzg, los cuales se centran en el desarrollo del mecanismo de
coordinación (M3) tanto del proceso de evaluar 𝑥cuando se aproxima a un número 𝑎, como del
proceso de evaluar 𝑓(𝑥)cuando se aproxima a 𝐿y de encapsulación (M4) que corresponde a la
descomposición genética seleccionada con anterioridad, para ello se emplea el sistema de
representación gráfico. Los objetivos que se espera que el estudiante alcance con esta tarea son los
siguientes:
O9. Reflexionar sobre el proceso de aproximar xal valor apara poder obtener el proceso de
𝑓(𝑥)aproximándose a 𝐿, cuando las secuencias numéricas son o no coincidentes, por medio
del sistema de representación gráfico.
O10. Describir formalmente la existencia o no del límite 𝐿de una función 𝑓(𝑥)en el punto 𝑎, por
medio de la expresión 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝐿.
TAREA 5
Esta tarea está compuesta por dos ejercicios como se puede evidenciar en el enlace
https://www.geogebra.org/m/txjvqyxz, los cuales se centran en el desarrollo del mecanismo de des-
encapsulación (M5) que corresponde a la descomposición genética seleccionada con anterioridad, para
ello se emplea el sistema de representación gráfico. Los objetivos que se espera que el estudiante alcance
con esta tarea son los siguientes:
O11. Expandir su estructura de conocimiento a partir de las características y propiedades comunes que
ya domina.
O12. Alcanzar un punto de vista más amplio sobre el concepto de límite, identificando el límite en el
infinito.
Por último, en la Tabla 1 se muestra de manera sintetizada las características de cada una de las tareas
didácticas que componen el instrumento de recolección de información.
Tabla 1. Características generales de las tareas didácticas
TAREA Ejercicio Mecanismo S. de representación Coincidencia Objetivo
1.1 M1 Gráfico - O1
11.2 M1 Gráfico SÍ O2
1.3 M1 Gráfico NO
Límite de una sucesión con GeoGebra
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1.4 M1 Gráfico NO
1.5 M1 Gráfico NO
22.1 M2, M3 Numérico SÍ O3, O4, O5
2.2 M2, M3 Numérico NO
3.1 M2, M3 Gráfico SÍ
33.2 M2, M3 Gráfico SÍ
3.3 M2, M3 Gráfico NO
O6, O7, O8
4.1 M3, M4 Gráfico SÍ O9
44.2 M3, M4 Gráfico SÍ
4.3 M3, M4 Gráfico NO
O10
55.1 M5 Gráfico SÍ O11
5.2 M5 Gráfico SÍ O12
Fuente: Tareas didácticas de la propuesta
RESULTADOS
Lo que se espera alcanzar con la aplicación de la propuesta didáctica que se presenta en este taller es lo
siguiente:
Comprender y entender mejor el uso del software matemático GeoGebra en el proceso enseñanza-
aprendizaje del concepto de límite para estudiantes de BGU. Así como dejar atrás las clases
tradicionales y monótonas, adaptándose a las necesidades actuales de los estudiantes; adecuar dicho
recurso tecnológico en el desarrollo de un proceso enseñanza-aprendizaje con un enfoque más
dinámico, participativo y activo, logrando así captar la atención e interés de los estudiantes.
El estudiante de BGU sea capaz de alcanzar la concepción dinámica del concepto de límite por
medio de un conjunto de tareas didácticas, diseñadas a partir de una descomposición genética
basada en la teoría APOE de Dubinsky. Esta teoría describe cómo el estudiante aprende nuevos
conocimientos matemáticos, tomando como base el concepto de abstracción reflexiva de Piaget
(Cottrill, et al., 1996). Dichas tareas didácticas fueron elaboradas en el software matemático
GeoGebra y presentadas al estudiante en dos sesiones semanales a través de talleres individuales.
Para tratar el concepto de límite de una función se utilizaron únicamente los sistemas de
representación gráfico y numérico que resultaron ser fáciles de visualizar, analizar y comprender
para la gran mayoría de los estudiantes.
Identificar cuáles son las características idóneas y más adecuadas que debe conformar una
propuesta didáctica para un correcto aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite
en estudiantes de BGU. Una propuesta debe estar compuesta, en primer lugar, por una revisión
sobre los conocimientos previos y necesarios para la comprensión de este nuevo concepto, seguido
de un análisis acerca de lo que se entiende por límite y acompañado de tareas didácticas que
permitan al estudiante construir su propio conocimiento (Blázquez, et, al., 2006). Todo ello con la
constante guía y orientación del docente.
CONSIDERACIONES FINALES
Algunas consideraciones y aspectos que se deben tener en cuenta a la hora de aplicar la propuesta
didáctica que se presenta en este taller son los siguientes:
Es primordial mantener el enfoque dinámico y participativo que presenta esta propuesta didáctica
para el proceso enseñanza-aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite. Para ello,
se recomienda trabajar con un número de tareas didácticas moderado; es decir, que no comprendan
demasiados ejercicios ya que, a pesar de que trabaja con preguntas las cuales captan la atención e
interés de los estudiantes debido a la forma en como están presentadas, una cantidad excesiva de
las mismas puede resultar tedioso y un tanto pesado para los alumnos.
Durante el desarrollo de este proyecto se pudo determinar que el concepto de límite posee una gran
variedad de sistemas de representación; entre los que destacan, el verbal, el algebraico, el numérico
y el gráfico. Tras llevar a cabo el proceso de investigación científica, tomando como respaldo las
Ana Lucía Arias, Jimmy Muela y Jhon Lima
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afirmaciones de (Engler et al., 2007) y de (Palomino et al., 2009), junto con el proceso de
recolección de información se puede afirmar que los sistemas de representación gráfico y numérico
son los que resultan más comprensibles y fáciles de analizar por los estudiantes. Por esta razón se
recomienda utilizar estos sistemas de representación en los ejercicios planteados para el proceso
enseñanza-aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite.
El tiempo limitado de las clases no permitió abordar los conceptos teóricos tan detalladamente
como se esperaba. Es por ello que se recomienda organizar mejor el tiempo del que se dispone para
el desarrollo de la clase, con el fin de preparar correctamente a los estudiantes en el proceso de
aplicación de ejercicios y tareas propuestas por el docente. Además, es importante hacer un mayor
énfasis al finalizar cada una de las tareas, realizando preguntas de reflexión que invitan al estudiante
a pensar detenidamente sobre los ejercicios resueltos, evitando así que respondan de manera
mecánica.
REFERENCIAS
Blázquez, S., Ortega, T., Gatica, S. N., & Benegas, J. (2006). Una conceptualización de límite para el
aprendizaje inicial de análisis matemático en la universidad. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, 9(2), 189-209.
Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Shwingendorf, K., Thomas, K., & Vidakovic, D. (1996).
Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process scheme. Journal of
Mathematical Behavior, 15(2), 167-92.
Engler, A., Vrancken, S., Hceklein, M., Müller, D., & Gregorini, M. (2007). Análisis de una propuesta
didáctica para la enseñanza de límite finito de variable finita. Revista Iberoamericana de
Educación Matemática, 11, 113-132.
Palomino, J., C.; Hurtado, J. & Barrios, E. (2009). Dificultades en los procesos de enseñanza-
aprendizaje del concepto de límite y su relación con los sistemas de representación. Encuentro
Internacional de Matemáticas - EIMAT (18-21 Aug 2009). Barranquilla, Colombia.
Socas, M. (2007). Dificultades y errores en el aprendizaje de las matemáticas. Análisis desde el enfoque
lógico semiótico. XI Simposio de la SEIEM.
Trigueros, M. (2005). La noción de esquema en la investigación en matemática educativa a nivel
superior. Educación Matemática, 17(1), 5-31.
Vrancken, S., Gregorini, M., Engler, A., Müller, D., & Hecklein, M. (2006). Dificultades relacionadas
con la enseñanza y el aprendizaje del concepto de límite. PREMISA, 8(29), 9-19.
