153
Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 153 - 156
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.49
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Límite de funciones reales con apoyo de GeoGebra
Limit of real functions with support of GeoGebra
Nélida Salomé Medina García
Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú
http://orcid.org/0000-0003-2074-945X
nmedina@pucp.edu.pe
Información Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 10/05/2021.
Palabras clave:
Aprendizaje y
enseñanza de la
matemática, Geogebra,
Tecnologías de la
Información y la
Comunicación.
Los objetivos de este taller son: 1). Capacitar a los participantes en el manejo de Barra de
entrada, Vistas, Hoja de Cálculo, menú Opciones, herramientas Deslizador, Texto,
Desplaza vista gráfica, Intersección, Perpendicular y algunos comandos del programa
GeoGebra Clásico 5; 2). Facilitar un aprendizaje significativo del concepto formal de
límite de una función real en un número y en el infinito y 3). Desarrollar la capacidad de
comunica y representa ideas matemáticas con límite de funciones reales. Desarrollo:
Exploramos las Vistas, herramientas y comandos de GeoGebra que usaremos.
Presentamos una Actividad que contiene las definiciones intuitiva y formal de límite de
una función real en un número y en el infinito, ejemplos sobre límite de funciones para
resolver y preguntas orientadas al concepto intuitivo y posteriormente a una construcción
dinámica del concepto formal de límite, con apoyo de GeoGebra. Procedemos en forma
similar con el concepto límite de una función real en el infinito. Finalizamos la actividad
con un ejemplo que será resuelto por los participantes reunidos en grupos pequeños.
Resultados esperados. El uso de GeoGebra permitirá al participante aumentar el número
de ejemplos que puede observar y generar certezas sobre el tema límite de funciones con
el propósito de ir desarrollando la capacidad de comunica y representa ideas matemáticas.
También tiene la oportunidad de conocer un recurso didáctico útil en la enseñanza y
aprendizaje de la Matemática.
Information Abstract
Keywords:
Learning and teaching
of mathematics,
GeoGebra, Information
and Communication
Technologies.
The objectives of this workshop are: 1). Train participants in the handling of Input Bar,
Views, Spreadsheet, Options menu, Slider, Text, Scroll graphical view, Intersection,
Perpendicular and some commands of the GeoGebra Classic 5 program; 2). Facilitate
significant learning of the formal concept of limit of a real function at a number and at
infinity and, 3). Develop the ability to communicate and represent mathematical ideas with
limit of real functions. Development: We explore the GeoGebra Views, tools and
commands that we will use. We present an Activity that contains the intuitive and formal
definitions of limit of a real function at a number and at infinity, examples on limit of
functions to solve and questions oriented to the intuitive concept and later to a dynamic
construction of the formal concept of limit, with GeoGebra support. We proceed in a
similar way with the concept limit of a real function at infinity. We end the activity with
an example that will be solved by the participants in small groups. Expected results. The
use of GeoGebra will allow the participant to increase the number of examples that can be
observed and generate certainties on the topic limit of functions with the purpose of
developing the ability to communicate and represent mathematical ideas. It also provides
the opportunity to learn about a useful didactic resource in the teaching and learning of
mathematics.
Taller en coloquio
Nélida Salomé Medina García
154
INTRODUCCIÓN
Presentamos una Actividad que comienza con las definiciones: distancia entre dos números reales, límite
de una función en un punto, límite de una función en el infinito.
Con apoyo del programa GeoGebra observamos en simultáneo diferentes representaciones de un objeto
matemático (algebraico, geométrico, tabular). Calculamos el límite de una función en un punto.
Construimos rectas, rectas perpendiculares. Calculamos el mínimo de dos números. Usamos la
herramienta Texto. Con los deslizadores haremos animaciones para ilustrar la definición de límite de
una función en un punto y límite de una función en el infinito
Diseño e implementación del taller
ACTIVIDAD
Definiciones
La distancia entre los números reales 𝑎y𝑥se define por |𝑥−𝑎|.
Límite de una función en un punto.
Sea 𝒇una función definida en un intervalo abierto 𝑰que contiene el punto 𝒂, excepto posiblemente
𝒂. Se dice que el límite de 𝒇(𝒙)cuando 𝒙tiende a 𝒂es 𝑳y se escribe
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)=𝐿
𝑥→𝑎
si para cada número 𝜀> 0 existe un número 𝛿> 0 (que depende de 𝜀) tal que
|𝑓(𝑥)−𝐿|<𝜀siempre que 0 < |𝑥−𝑎|<𝛿,𝑥∈
𝐼.
Límite de una función en el infinito
Sea 𝑓una función definida en algún intervalo (𝑎,+∞). Se dice que el límite de 𝑓(𝑥)cuando 𝑥tiende
a más infinito es 𝐿y se escribe
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)=𝐿
si para cada número 𝜀> 0 existe un número 𝑀> 0 (que depende de 𝜀) tal que
|𝑓(𝑥)−𝐿|<𝜀siempre que 𝑥>𝑀.
Exploración en GeoGebra
Barra de Menú.
Opciones: Redondeo, Tamaño de letra
Botones: Elige y Mueve, Punto, Recta, Perpendicular, Texto, Deslizador, Desplaza Vista Gráfica.
Comandos: Renombra, Propiedades
Barra de Entrada, Vista Algebraica, Vista Gráfica, Hoja de Cálculo.
Construcción 1. Gráfica de una función y su dominio
Escribir en la Barra de Entrada
(2𝑥2+𝑥− 3)/(𝑥5+𝑥− 2)
Pulsar Enter
En la Barra de entrada utilizar el comando Raíz y digitar Raíz[ 𝑥5+𝑥− 2, 0,4], para obtener los ceros
de la función 𝑓.
Usar el comando Renombra para cambiar el nombre de 𝐴= (1,0) (Clic derecho en 𝐴) a 𝑎= (1,0).
Límite de funciones reales con apoyo de GeoGebra
155
Aplicar el comando Propiedades a 𝑎= (1,0) , entonces selecciona Color blanco.
Construcción 2. Tabla de valores de una función cerca de un punto.
En Menú Vista, seleccionar Hoja de Cálculo.
Crear títulos en la Tabla. En la Barra de Entrada, digitar 𝐴1 = ”𝑥”, 𝐵1 = ”𝑓(𝑥)”.
Considerar 0 < 𝑥< 1: Ingresar en Barra de Entrada A2=0.1, A3=A2+0,05. Entonces, Clic izquierdo en
A3 y arrastrar el mouse de A3 a A4.
Para obtener los valores 𝑓(𝑥), correspondientes, escribir en Barra de Entrada B2=𝑓(𝐴2) y arrastrar el
mouse de B2 a B3.
Considerar 1 < 𝑥< 2: Ingresar en Barra de Entrada: C2=1.9, C3=C2-0.05. Proceder en forma similar
a paso anterior.
¿Cuál es el comportamiento de los valores f(x) cuando x está cerca de a=1?
Animación 1: Límite de una función en un punto
En Barra de Entrada, ingresar Limite[Función, Valor numérico], Limite[𝑓,1].
Renombra 𝐿.
Deslizador: nombre 𝜀, Min 0, Máx 0.25, Incremento 0,001.
Graficamos las rectas 𝑦=𝐿+𝜀,𝑦=𝐿−𝜀.
Con el Botón Perpendicular, trazar rectas perpendiculares que pasen por el punto de intersección de la
gráfica de 𝑓y las rectas 𝑦=𝐿+𝜀,𝑦=𝐿−𝜀.
Si 𝐴= (𝑎,𝑏)tenemos 𝑥(𝐴)=𝑎,𝑦(𝐴) = 𝑏.
Usar el comando Mínimo [Número, Número]. Mínimo[𝑥(𝐴), 𝑥(𝐵)]
Aplicar el comando Renombra Mínimo por 𝛿.
En el Botón ABC seleccionar Texto y hacer Clic cerca de punto (0,𝐿); en esta ventana seleccionar
Símbolos, Básico 𝜀, luego OK. Repetir este procedimiento con el punto (1,0) y el número 𝛿.
Clic derecho en Deslizador y elegir Animación.
Construcción 3. Tabla de valores f(x) cuando x toma valores arbitrariamente grandes.
Escribir en la Barra de Entrada
Pulsar Enter
5√𝑥5+7𝑥4+2−𝑥.
En Menú Vista, seleccionar Hoja de Cálculo.
Crear títulos en la Tabla. En la Barra de Entrada, digitar A1= ”𝑥”, B1= ”𝑓(𝑥)”.
Considerar 𝑥> 10. Ingresar en Barra de Entrada A2=10, A3=A2+15. Entonces, Clic izquierdo en A3
y arrastrar el mouse de A3 a A4.
Para obtener los valores 𝑓(𝑥), correspondientes, escribir en Barra de Entrada B2=𝑓(𝐴2) y arrastrar
el mouse de B2 a B3.
¿Cuál es el comportamiento de los valores f(x) cuando x crece indefinidamente?
Animación 2: Límite de una función en el infinito
En Barra de Entrada, ingresar LimiteIzquierda[Función, Valor], LimiteIzquierda[𝑓,+∞].
Renombra 𝐿.
Deslizador: nombre 𝜀, Min 0, Máx 0.25, Incremento 0,001.
Nélida Salomé Medina García
156
Graficamos las rectas 𝑦=𝐿+𝜀,𝑦=𝐿−𝜀.
Con el Botón Perpendicular, trazar rectas perpendiculares que pasen por el punto de intersección de la
gráfica de 𝑓y la recta 𝑦=𝐿−𝜀.
Utilizar el Comando Renombra, M=𝑥(𝐵)..
En el Botón ABC seleccionar Texto y hacer Clic cerca de punto (0,𝐿); en esta ventana seleccionar
Símbolos, Básico 𝜀, luego OK. Repetir este procedimiento con el punto (𝑥(𝐵),0) y el número 𝑀.
Clic derecho en Deslizador y elegir Animación.
Resultados esperados
Los participantes al terminar el Taller:
1. Lograrán, con apoyo de GeoGebra, una forma dinámica para obtener una relación entre los
números 𝜀y𝛿usados en la definición formal de límite de una función real en un número.
2. Conocerán una aplicación de GeoGebra, la cual les motivará a usar este recurso didáctico en
otras aplicaciones.
REFERENCIAS
Borbón, A. (2010). Manual para Geogebra: Guías para geometría dinámica, animaciones y deslizadores.
Revista Digital Matemática Educación e Internet. Disponible en
https://www.academia.edu/6685502/Introducci%C3%B3n_MANUAL_PARA_GEOGEBRA_
Gu%C3%ADas_para_geometr%C3%ADa_din%C3%A1mica_animaciones_y_deslizadores
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas. (Sexta edición). CENGAGE Learning.
Valverde Berrocoso, J., Garrido Arroyo, M., & Fernández Sánchez, R. (2010). Enseñar y aprender con
tecnologías:
Un modelo teórico para las buenas prácticas con TIC. Teoría de la educación. Educación y cultura en la
sociedad de la información,11(3), 203-229.
