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Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 146 - 152
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.48
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Estudio de la función cuadrática, que involucran parámetros, con el apoyo
del GeoGebra
Study of the quadratic function, involving parameters, with the support of
GeoGebra
Nancy Edith Saravia Molina 1, a Verónica Neira Fernández 2, b
María Iris Flores Quesquén 3
1Investigación sobre Enseñanza de la Matemáticas, IREM-PUCP, Perú
ahttps://orcid.org/0000-0002-2819-8835
2Investigación sobre Enseñanza de la Matemáticas, IREM-PUCP, Perú
bhttps://orcid.org/0000-0002-2540-3530
nsaraviam@pucp.edu.pe
vneira@pucp.pe
3Investigación sobre Enseñanza de la Matemáticas, IREM-PUCP, Perú iris.flores@pucp.edu.pe
Información Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 10/05/2021.
Palabras clave:
Funciones cuadráticas,
parámetros, registros,
GeoGebra.
En este taller compartiremos una propuesta para la enseñanza de funciones cuadráticas
cuyas reglas de correspondencia contienen parámetros en su expresión matemática y
ciertas condiciones que debe cumplir su rango. Usaremos el GeoGebra como una
herramienta de apoyo para la validación de los valores para el parámetro obtenidos en el
proceso algebraico. Este taller tiene dos finalidades, el primero es proponer problemas con
contexto en los que las soluciones involucran número reales y, el segundo, es presentar a
los docentes las potencialidades del GeoGebra para validar procesos algebraicos.
Asimismo, nos interesa generar un espacio para discutir sobre las ventajas y desventajas
que ofrecen las herramientas del GeoGebra en la verificación de resultados obtenidos de
manera algebraica y reflexionar sobre su incorporación en nuestras clases. En cuanto al
análisis didáctico, se toman aspectos de la Teoría de Registros de Representación
Semiótica. En relación a la metodología, ésta es cualitativa. Finalmente, se evidencia la
necesidad de utilizar diferentes representaciones y se señala la pertinencia del uso del
GeoGebra que favorece el aprendizaje y la enseñanza.
Information Abstract
Keywords:
Quadratic functions,
parameters, registers,
GeoGebra.
INTRODUCCIÓN
La función cuadrática es una noción que se enseña en el nivel secundario de la Educación Básica Regular
(EBR) y en el nivel superior, tanto para carreras de Humanidades como para carreras de Ingeniería.
Taller en coloquio
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Estudio de la función cuadrática, que involucran parámetros, con el apoyo del GeoGebra
Cuando se enseña el tema, se hace usando problemas en contexto que suelen presentar soluciones en los
números enteros, o se fuerzan situaciones para que las soluciones sigan siendo enteros, pero ¿por qué se
tiende a presentar problemas solo con soluciones en los números enteros? ¿por qué no se usan
parámetros en las funciones cuadráticas para analizar las posibles respuestas? Sabemos que en la vida
real los resultados que se obtienen de modelar la realidad con algún modelo matemático no siempre son
números enteros, sino que muchas veces son racionales e irracionales.
Es por ello que el taller que presentamos tiene por finalidad proponer problemas con contexto en los que
las soluciones involucran número reales y, presentar a los docentes las potencialidades del GeoGebra
para validar procesos y resultados algebraicos. Se presenta en el artículo aspectos del curso Fundamentos
de Cálculo dirigido a estudiantes de Ingeniería, quienes desarrollaron las tareas usando lápiz y papel.
Vamos a presentar una propuesta de problemas que se pueden usar para enseñar funciones cuadráticas,
que involucran parámetros, y usaremos el software GeoGebra para validar las respuestas.
Existe una preocupación, por parte de los investigadores, sobre la enseñanza y aprendizaje de las
funciones cuadráticas tales como las de Surichaqui (2018), Ruiz et al. (2016), Salazar (2015) y Gómez
(2011) que indican que el uso de recursos tecnológicos (Ambientes de Representación Dinámica-ARD,
Software con herramientas CAS, calculadoras científicas, entre otras) son utilizados como medios para
realizar tratamientos en las representaciones gráficas de diferentes objetos matemáticos. Por ejemplo,
las investigaciones de Gómez (2004, 2005) y Calderón-Zambrano, Franco-Pesantez y Alvarado-
Espinoza (2018) muestran que el uso de las calculadoras y el software libre GeoGebra, en el proceso de
enseñanza – aprendizaje, no se utilizan sólo como herramientas de cálculo o para realizar gráficos, sino
también como un medio para movilizar conocimientos matemáticos y suscriben que, para ello, los
docentes deben conocer las bondades que nos brindan las tecnologías y además, deben organizar su
clase de tal manera que sepan cómo y cuándo deben incorporarlas. En estos tiempos, la tecnología debe
ser usada como un recurso didáctico, es otra de las herramientas didácticas que un docente de
matemáticas puede utilizar en sus clases con previa planificación didáctica.
Es importante aclarar que el uso de la tecnología digital (GeoGebra) es con la finalidad de favorecer la
movilización del concepto función cuadrática y de validar resultados algebraicos. Se considera necesario
incorporar progresivamente este software libre del GeoGebra, debido a que sus interfaces, tales como:
vista gráfica, algebraica y hojas de cálculo, permite la percepción de los diferentes registros de
representaciones semióticas de la función cuadrática, en línea mediante el uso de código QR, es decir,
que los gráficos y otros elementos se pueden visualizar en las pantallas de los teléfonos inteligentes o
tabletas.
En ese sentido, se afirma que la tecnología puede simplificar procesos algorítmicos o técnicos y dirigir
la atención en la exploración, manipulación, contraste e interpretación de los resultados de cálculo, con
lo que es posible realizar conjeturas de las propiedades y/o conceptos matemáticos involucrados en la
tarea; es decir, permite centrar la atención en el análisis de la solución del problema desarrollado.
ENFOQUE TEÓRICO
Muchos objetos matemáticos pueden ser representados usando registros de representación semiótica. En
el taller nos apoyaremos en algunos aspectos de la Teoría de Registro de Representación Semiórica de
Duval (2004).
El autor, aclara que un objeto matemático no es factible de ser manipulado directamente sino a través
de sus representaciones, las cuales pertenecen a registros de representación semiótica. Según el autor,
dichos registros son: Lenguaje natural, figural, algebraico y gráfico. En nuestro caso, no usaremos el
registro figural.
De acuerdo con Duval (1995), para que el aprendizaje de un objeto matemático exista, necesariamente
el sujeto debe realizar la conversión de la representación de dicho objeto, como mínimo, en dos registros
de representación semiótica distintos. Es en este salto cognitivo donde el sujeto articula las distintas
aprehensiones de la representación en un registro, movilizando nociones y conocimientos previos
mediante el planteamiento de estrategias que permitan dar solución a la situación, lo cual evidencia,
según el autor, el aprendizaje del objeto matemático. En este artículo, se toman los aportes de Bejarano
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Nancy Edith Saravia Molina, Verónica Neira Fernández, María Iris Flores Quesquén
(2018) en cuanto a las aprehensiones en el Registro Gráfico Dinámico (RGD) ya que, el autor, solo ha
trabajado las aprehensiones perceptiva, secuencial, operatoria y discursiva en el registro figural. Según
el autor, las diferentes transformaciones que se realizan en una representación dentro de un mismo
registro se denominan tratamientos, y al cambiar la representación de un registro de representación a
otro distinto se denomina conversión.
Por ejemplo, la figura 1 muestra los registros de representación semiótica de la función cuadrática, así
como las conversiones entre sus representaciones y los tratamientos en el registro algebraico.
Figura 1
Tratamientos y conversiones en las representaciones de la función cuadrática
Nota. Adaptado de Duval (2004, p.146)
En la figura 1 se observa que, en la representación en lenguaje natural, se presenta información sobre
tres puntos de paso de la representación de la función cuadrática 𝑓y su respectivo dominio. Luego se
produce una conversión, del registro de lengua natural al registro algebraico, pues con los tres puntos
proporcionados se plantea un modelo matemático que representa a dicha función con constantes
desconocidas, donde, por medio de tratamientos de los datos y las leyes del Álgebra, se determinan los
valores de las constantes. Dada la representación algebraica de 𝑓, por medios tecnológicos (lápiz y
papel, software graficador, calculadoras, entre otros), es factible hacer una conversión, del registro
algebraico al registro gráfico, para representarla gráficamente y de la representación gráfica resultante
puede identificarse los puntos de paso, dando a este proceso un comportamiento cíclico, el cual también
puede ser realizado en forma inversa (registro gráfico → registro algebraico → registro en lengua
natural).
La representación de 𝑓en el registro gráfico, mostrado en la figura 1, ha sido realizada mediante el
software libre GeoGebra.Como se observa, están representados los ejes 𝑋e𝑌, y puede usarse la
vista geométrica para realizarla, primero se ingresa la regla de correspondencia en el registro
algebraico y luego el GeoGebra nos presenta el registro gráfico.
DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DEL TALLER
Las actividades que proponemos en este taller buscan proponer problemas con contexto y problemas sin
contexto, en los que las soluciones involucran número reales y, además, se quiere presentar las
potencialidades del GeoGebra para validar procesos algebraicos. Asimismo, nos interesa generar un
espacio para discutir sobre las ventajas y desventajas que ofrecen las herramientas del GeoGebra en la
verificación de resultados obtenidos de manera algebraica y reflexionar sobre su incorporación en
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Estudio de la función cuadrática, que involucran parámetros, con el apoyo del GeoGebra
nuestras clases.Este taller estará dirigido a docentes del nivel secundario y superior, a quienes se les
presentará una actividad que contiene problemas con y sin contexto, que involucran a la función
cuadrática, cuyas soluciones involucran número reales y, además, se usarán el GeoGebra para validar
sus procesos algebraicos y dar respuesta a lo planteado.
El taller se desarrollará en una sesión de 90 minutos, tiene como requisito previo que los participantes
tengan instalado el GeoGebra en su computadora, para poder desarrollar las actividades propuestas. En
un inicio, la actividad será desarrollada por los docentes de manera individual y luego se realizará una
discusión con todos los participantes para intercambiar ideas, estrategias de solución y diversos modos
de validación las respuestas obtenidas.
A partir de los problemas mostrados, se le pide al docente que identifique los elementos y condiciones
que se encuentran inmersas en dicha situación. Luego, se le pide que identifique cuáles podrían ser las
posibles nociones matemáticas que estarían vinculadas a ésta (función cuadrática, ecuaciones
cuadráticas, propiedades, etc.), así como, los procesos cognitivos que el estudiante podría desarrollar a
partir de las consignas dadas. Luego de avanzar con el desarrollo de la actividad usando lápiz y papel,
se usará el GeoGebra para analizar soluciones y resultados algebraicos.
El taller se desarrollará en tres momentos. Un primer momento, estará destinado a que los participantes
exploren el GeoGebra, sobre todo las interfaces que son necesarios para el desarrollo de la actividad y,
durará 10 minutos. Un segundo momento, será destinado al desarrollo de la Actividad 1, se socializarán
las soluciones presentadas por los participantes y discutiremos propiedades de la función cuadrática;
además, en el GeoGebra se colocará las reglas de correspondencia de la función cuadrática usando el
registro algebraico (vista algebraica) para luego visualizarla en el registro gráfico (vista gráfica); este
momento durará 20 minutos. El tercer momento está destinado al desarrollo de la Actividad 2, en la cual
se socializarán y discutirán los resultados obtenidos, los planteamientos hechos, si los resultados
hallados son correctos o no y se usará el GeoGebra para verificar dichos resultados; este momento se
desarrollará en 45 minutos.
A continuación, se muestran dos ejemplos de los problemas que serán trabajados en el taller.
Figura 2. Problema C presentado en la Actividad 1 del taller
Figura 3. Problema D presentado en la Actividad 2 del taller
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Nancy Edith Saravia Molina, Verónica Neira Fernández, María Iris Flores Quesquén
Actividad 1: Resolución de problemas con contexto
a) Se presentan tres problemas con contexto los cuales se pueden modelar con una función
cuadrática.
b) Definen variables
c) Determinan el modelo que les va a permitir modelar el contexto
d) Resuelven usando el registro algebraico.
e) Análisis de resultados matemáticos en el contexto.
f) Respuesta al problema.
Preguntas que guiarán la discusión:
P1) ¿Qué hizo para resolver el problema?
P2) ¿Por qué eligió una función cuadrática?
P3) ¿Todas las respuestas que obtuvo al resolver las ecuaciones cuadráticas son respuestas del
problema?
P4) ¿Qué competencias matemáticas podría desarrollar un estudiante a través de esta actividad?
Actividad 2: Aprendizaje con apoyo del GeoGebra
a) Se presentan tres problemas, sin contexto, que representan funciones cuadráticas en el registro
algebraico y que, además, involucran parámetros.
b) Se presentan algunas interrogantes para ser desarrolladas.
c) Pueden realizar tratamientos en el registro algebraico para determinar la solución del problema.
d) Apoyarse en el GeoGbra para tener una representación gráfica del problema y al realizar
aprehensiones en el registro gráfico, se puede verificar si los resultados obtenidos a partir de los
cálculos algebraicos son correctos.
Preguntas que guiarán la discusión:
P1) ¿Qué hizo para resolver el problema?
P2) ¿En qué propiedades se basa para resolver el problema?
P3) ¿Le ayudó apoyarse en el GeoGebra para identificar las propiedades que analizó de manera
algebraica?
P4) ¿Los resultados coinciden?
P5) ¿Qué opina del uso del parámetro?
P6) ¿Qué competencias matemáticas podría desarrollar un estudiante?
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Estudio de la función cuadrática, que involucran parámetros, con el apoyo del GeoGebra
P7) ¿Qué conceptos matemáticos uso para resolver esta actividad?
P8) ¿Qué capacidades matemáticas podría desarrollar un estudiante a través de esta actividad?
RESULTADOS ESPERADOS
Sabemos que en la enseñanza de la matemática se privilegia el uso del registro algebraico, es por ello,
que en este taller se busca usar otros registros para generar aprendizaje.
En la Actividad 1, esperamos que los participantes logren hacer tratamientos en el registro de lengua
natural al identificar los datos del problema; luego hagan la conversión al registro algebraico y en este
registro, realicen tratamientos para poder simplificar o reducir los términos algebraicos y lleguen a un
resultado.
En la Actividad 2, esperamos que los participantes apliquen los conocimientos básicos de función
cuadrática como son definición, el discriminante asociado a la función cuadrática y otros, que nos lleven
a un análisis o planteamiento de alguna ecuación o inecuación que permitan obtener el valor del
parámetro.
También se espera que estas propuestas de solución puedan ser aplicados a situaciones o modelos
contextualizados.
CONSIDERACIONES FINALES
La implementación del uso del GeoGebra en los procesos de enseñanza-aprendizaje de la matemática,
hoy en día, es de mucha ayuda ya que nos permite trabajar la representación de un objeto matemático
en diferentes registros y ello, en sentido de Duval (2004), genera aprendizaje. Los docentes debemos
estar conscientes de los beneficios y limitaciones del software si es que deseamos incorporarlo en la
enseñanza de la matemática. No solo nos ayuda a comprobar resultados sino también a realizar análisis
mediante las aprehensiones en el registro gráfico.
Por último, creemos que es importante generar espacio para reflexionar sobre la incorporación del
GeoGebra en nuestras clases, de modo que el aprendizaje de nuestros estudiantes se vea favorecido.
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