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Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 138 - 145
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.47
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Creación de problemas para el estudio del álgebra y composición de
funciones utilizando aplicativos
Creation of problems for the study of algebra and composition of functions
using software.
Maritza Luna Valenzuela 1, a Elton John Barrantes Requejo 2, b
Marco Gregorio Solórzano Mamani 3
1Investigación sobre Enseñanza de la Matemáticas, IREM-PUCP, Perú
ahttps://orcid.org/0000-0002-3039-451X
2Investigación sobre Enseñanza de la Matemáticas, IREM-PUCP, Perú
bhttps://orcid.org/0000-0002-2668-9032
luna.m@pucp.edu.pe
ejbarran@pucp.edu.pe
3Investigación sobre Enseñanza de la Matemáticas, IREM-PUCP, Perú marco.solorzano@pucp.edu.pe
Información Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 10/05/2021.
Palabras clave:
Creación de problemas,
algebra y composición
de funciones,
aplicativos, GeoGebra.
El objetivo principal de este taller es la creación de problemas sobre el álgebra y la
composición de funciones, para lo cual se crearán aplicativos utilizando el software
GeoGebra. Se busca motivar la capacidad de evaluar críticamente la calidad de una
actividad matemática en torno a la solución de un problema y tener la capacidad de
modificarlo para conseguir actividades matemáticas enriquecedoras. Para lograr dicho
propósito, se aplicará la estrategia de creación de problemas por variación, que consiste en
presentar a los participantes un problema, en el marco de un episodio muy concreto, en la
clase de un profesor, dicho episodio describe brevemente algunas reacciones de sus
alumnos al resolver el problema. Luego de una secuencia de actividades los participantes
deberán crear y resolver problemas, finalmente, socializarán de manera sincrónica sobre
su experiencia en el taller.
Information Abstract
Keywords:
Problem creation,
algebra and
composition of
functions, GeoGebra.
INTRODUCCIÓN
La creación de problemas de matemáticas es un proceso mediante el cual se obtiene un nuevo problema,
el cual está directamente vinculado a la resolución de problemas y a la indagación; además, constituye
en ser un estímulo del pensamiento matemático de estudiantes y profesores; más aún, contribuye a
desarrollar competencias didácticas de los profesores (Malaspina 2015, 2017, 2020).
Taller en coloquio
Creación de problemas para el estudio del álgebra y composición de funciones utilizando aplicativos
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La creación de problemas en los últimos años atrae la atención de diversos investigadores como Singer,
Ellerton y Cai (2015), Felmer, Pehkonen y Kilpatrick (2016), entre otros debido a que motiva promover
el aprendizaje, el desarrollo del pensamiento matemático y el estímulo de la creatividad en profesores y
estudiantes. Además, el uso de la tecnología puede llegar a ser una poderosa herramienta para que los
estudiantes y profesores logren crear diferentes representaciones gráficas y sirve como un medio para
que formulen sus propias preguntas o problemas, lo que constituye un importante aspecto en el
aprendizaje de las matemáticas (Barrera & Santos, 2001). Por lo cual, el conocimiento de algunos
procesos o aplicativos podrán contribuir como mediador en el proceso de enseñanza y aprendizaje de
álgebra de funciones y en particular de la composición de funciones.
El álgebra de funciones y sobre todo la composición de funciones son estudiadas en el último año de la
secundaria y en los primeros semestres de nivel universitario, que luego será utilizado en el cálculo
diferencial e integral, donde surgen dificultades por la no identificación del dominio y en particular de
la composición de funciones.
Este taller presenta una primera situación donde un profesor de matemáticas del primer semestre de una
universidad peruana plantea un problema a sus alumnos y luego de pedir la solución muestra la
resolución de dos de sus alumnos. Esta situación presentada a los participantes busca motivar la
exploración de herramientas tecnológicas para ayudar en la resolución, visualización de gráficas y
construcción de aplicativos. Se presenta una segunda situación y se pide la resolución, para luego
solicitar la creación de problemas que pueden se problemas pre opos.
Marco teórico
El presente taller está dirigido a profesores de matemática del nivel medio superior con conocimientos
de GeoGebra a nivel intermedio. Para su desarrollo se considera aspectos relacionados a la Situación,
Problema, Reflexión didáctica, Problema pre o pos (SPRP) de creación de problemas, de modo que se
logré fortalecer la articulación entre competencias y conocimientos del profesor de matemáticas
propuesta por Malaspina (2017). En particular, se considerará la creación de problemas por variación,
es decir dada una situación, en el marco de un episodio muy concreto, en la clase de un profesor, dicho
episodio describe brevemente algunas reacciones de sus alumnos al resolver el problema. A partir de
dicho episodio se solicita a los participantes la creación de nuevos problemas. Para nuestro propósito,
adaptamos la estrategia de SPRP siguiendo las siguientes etapas: (1) presentar a los participantes una
situación (Actividad 1) para crear problemas, (2) pedir a los participantes del taller, individualmente,
crear y resolver un problema a partir de la situación dada (denominaremos a este problema como PG),
(3) pedir a los participantes elaboren una configuración cognitiva de la solución del problema creado,
(4) socializar y discutir los problemas creados y sus configuraciones asociadas, (5) solicitar a los
participantes que creen un nuevo problema relacionado con su PG (se le denominará NPG). Puede ser
un Problema-pre, en el sentido de contribuir a comprender mejor y a resolver correctamente PG; o un
Problema-pos, en el sentido de ser más retador que PG, que requiera mayor demanda cognitiva que PG.
Algunos participantes deberán explicitar si creó un problema-pre o un problema-pos respecto a su PG.
(6) Redactar una solución del problema creado (NPG). (7) Presentar de manera sincrónica el problema
creado.
Para describir algunos objetos matemáticos que intervienen en la creación de problemas como producto
de una actividad matemática se harán uso de constructos del Enfoque Ontosemiótico (EOS). Además,
se tendrá presente la propuesta Malaspina (2017) para explicitar los cuatro elementos básicos de un
problema matemático, es decir, la información, el requerimiento, el contexto (intramatemático o
extramatemático) y el entorno matemático.
MATERIAL Y MÉTODOS
Este taller se divide en dos momentos, con una duración de 45 minutos cada uno. En la primera parte,
se presenta una actividad para explorar e instrumentar la creación de problemas. En la segunda parte, se
propone la creación de problemas por elaboración a partir de una situación dada.
Maritza Luna Valenzuela, Elton John Barrantes Requejo y Marco Gregorio Solórzano Mamani
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La función 𝑓es definida
por
𝑎𝑥2+ 4𝑎𝑥 + 1,
𝑓(𝑥)= { 2𝑎−√2𝑎𝑥 −𝑥2,
−3 ≤ 𝑥< 0
0 ≤ 𝑥<𝑎
,
Donde 𝑎es una constante positiva.
a) Esboce la gráfica de 𝑓cuando 𝑎= 2.
b) Encuentre el conjunto de valores de 𝑎para los cuales el rango de 𝑓es un
intervalo.
Para el desarrollo de las actividades propuestas se tiene que tener conocimiento de la definición de
función, dominio y rango, algebra de funciones y la composición de funciones (Stewart, 2008) dada a
continuación:
Definición. Sean 𝐴y𝐵dos conjuntos diferentes del vacío. Una función 𝑓, de 𝐴en 𝐵, es una regla
de correspondencia que asigna a cada elemento 𝑥, de un conjunto 𝐴, un único elemento 𝑦de un
conjunto
𝐵, denotado por 𝑦=𝑓(𝑥). Se simboliza mediante:
𝑓:𝐴→𝐵
𝑥⟼𝑦=𝑓(𝑥)
Función real de variable real. Se dice que una función es real de variable real cuando tanto su dominio
como su rango son subconjuntos de los números reales.
Dominio y rango de una función. Sea 𝑓:𝐴→𝐵, con 𝐴,𝐵ℝ, una función. Al conjunto 𝐴se le
llama dominio de 𝑓y se representa por 𝐷𝑜𝑚(𝑓). Al subconjunto de 𝐵formado por las imágenes de
cada uno de los elementos de 𝐴, se denomina rango de 𝑓y se denota por 𝑅𝑎𝑛(𝑓). Es decir:
𝐷𝑜𝑚(𝑓)= {𝑥∈𝐴:𝑦=𝑓(𝑥)} y𝑅𝑎𝑛(𝑓)= {𝑓(𝑥)∈𝐵:𝑥∈𝐴}
Gráfica de una función. Si 𝑓es una función con dominio 𝐴, entonces la gráfica de 𝑓es el conjunto
de pares ordenados
𝐺𝑟(𝑓)= {(𝑥;𝑓(𝑥)): 𝑥∈𝐴}
Álgebra de Funciones. Sean 𝑓y𝑔funciones con dominios 𝐴⊂ ℝ y𝐵⊂ ℝ. Se definen las siguientes
operaciones entre funciones:
(𝑓±𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥),𝐷𝑜𝑚(𝑓+𝑔)=𝐷𝑜𝑚(𝑓)∩𝐷𝑜𝑚(𝑔)=𝐴
∩𝐵(𝑓⋅𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥),𝐷𝑜𝑚(𝑓⋅𝑔)=𝐷𝑜𝑚(𝑓)∩𝐷𝑜𝑚(𝑔)=𝐴
∩𝐵
𝑓 𝑓(𝑥)𝑓
(𝑔)(𝑥)=𝑔(𝑥),𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓)∩𝐷𝑜𝑚(𝑔)−{𝑥∈𝐵:𝑔(𝑥)= 0}
=𝐴∩𝐵− {𝑥∈𝐵:𝑔(𝑥)= 0}
Composición de funciones. Sean 𝑓y𝑔funciones, la función compuesta 𝑓∘𝑔(también llamada la
composición de fyg), está definida por
(𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)).
El dominio de 𝑓∘𝑔es
𝐷𝑜𝑚(𝑓∘𝑔)={𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑔):𝑔(𝑥)∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)}
Para el desarrollo de las actividades se les envía mediante chat de la plataforma UNTUMBES el link del
classroom para poder interactuar sincrónicamente con los participantes.
Actividad 1. Sepresenta la siguientesituación a los participantes: El profesor John solicita a sus
alumnos que resuelvan el siguiente un ejercicio:
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RESULTADOS
A continuación, presentamos la solución de dos alumnos:
El alumno A1 escribe lo siguientes:
Figura 1.Gráfica de la función 𝑓por el alumno A1
Mientras que el alumno A2 escribe la solución de la parte a) como se muestra en la Figura que sigue:
Maritza Luna Valenzuela, Elton John Barrantes Requejo y Marco Gregorio Solórzano Mamani
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Figura 2.Gráfica de la función 𝑓por el alumno A2
Se solicita a los participantes:
a) Verifiquen si alguna de las soluciones es correcta y de no ser así ellos deberán dar en la solución
correcta.
b) Grabar en el link de classroom que se indicara durante el taller.
c) Compartir en el plenario con todos los participantes su solución.
El hecho que no se llegue a resolver el ejercicio o surjan con dudas en la respuesta permite iniciar el
taller con el apoyo del software GeoGebra.
Creación de problemas para el estudio del álgebra y composición de funciones utilizando aplicativos
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En esta actividad la parte a) se usará para la exploración con las herramientas del GeoGebra respecto
ingresar funciones seccionadas y su representación gráfica. Mientras que la parte b) que requiere el uso
de la herramienta de deslizadores del GeoGebra, así poder generar el comportamiento de la gráfica de
funciones cuando presentan parámetros, en este caso “a”. Asimismo, en esta parte se aprovechará para
introducir la creación de aplicativos.
Siguiendo los procesos explicados en este taller se espera que los participantes resuelvan el ejercicio
presentado por el profesor John y obtener el resultado se muestra a continuación:
a) Cuando 𝑎= 2, la función es de la forma
2𝑥2+ 8𝑥+ 1, −3 ≤ 𝑥< 0
𝑓(𝑥)= {
Su gráfica se muestra en la figura 1 es:
4 − √4𝑥−𝑥2, 0 ≤ 𝑥< 2
Figura 3.Gráfica de la función 𝑓
b) Para dar solución se debe analizar el comportamiento de las distintas gráficas y parte de las
construcciones se muestran en las Figuras 2, 3 y 4.
Maritza Luna Valenzuela, Elton John Barrantes Requejo y Marco Gregorio Solórzano Mamani
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Figura 4. Gráfica de la función 𝑓Figura 5. Gráfica de la función 𝑓
Figura 6. Gráfica de la función 𝑓
Luego de un análisis en conjunto con todos los participantes se obtendrá el parámetro 𝑎∈[1,1].
5
Seguidamente se presenta la actividad 2, la que está orientada a motivar la creación de problemas.
Actividad 2. Sean las funciones
𝑓(𝑥)=𝑥+ 1, 0 ≤ 𝑥< 3
𝑔(𝑥)=𝑥2+ 1, 𝑘2− 1 ≤ 𝑥<𝑘
Se solicita que responda lo siguientes:
a) Halle los valores de kpara que f-gexista.
Creación de problemas para el estudio del álgebra y composición de funciones utilizando aplicativos
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b) Determine los valores de kpara que fogexista.
c) Se solicita que resuelvan el problema.
d) Se solicitan que creen un problema que puede ser Pos o Pre.
e) Grabar en el classroom que se indicara durante el taller.
f) Compartir en el plenario con todos los participantes el problema creado y su solución.
DISCUSIÓN
Esperamos que los participantes se habitúen con la creación de aplicativos y logren crear nuevos
problemas incorporando herramientas tecnológicas, como es el caso del GeoGebra, ya que pudieron
experimentar las bondades y potencialidades de este software para así lograr el desarrollo de la
creatividad, el razonamiento lógico y la validación de conjeturas.
Por medio de esta propuesta consideramos relevante la creación de problemas por parte de los
profesores, ya que se pretende que motivar el desarrollo de habilidades matemáticas como por ejemplo
la exploración, el descubrimiento, la elaboración, refutación y validación de conjeturas, para el mejor
desempeño docente.
REFERENCIAS
Barrera, F. & Santos, M. (2001). Students’ use and understanding of different mathematical
representations oftasksin problemsolving instruction. Proceedings of the Twenty-Three Annual
Meeting North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education. Vol. 1, pp. 459-466. ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and
Environmental Education.
Felmer, P., Pehkonen, E. & Kilpatrick, J. (Eds.) (2016). Posing and Solving Mathematical Problems:
Advances and New Perspectives. Springer.
Malaspina, U. (2017). La creación de problemas como medio para potenciar la articulación de
competencias y conocimientos del profesor de matemáticas. En J. M. Contreras, P. Arteaga, G.
R. Cañadas, M. M. Gea, B. Giacomone y M. M. López-Martín (Eds.), Actas del Segundo
Congreso International Virtual sobre el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la
Instrucción Matemáticos. Disponible en, enfoqueontosemiotico.ugr.es/civeos.html
Malaspina, U. (2020). Indagar, crear y resolver Problemas de Matemáticas. X Congreso Internacional
sobre Enseñanza de las Matemáticas. Actas de congreso, 82-90
Malaspina, U., Mallart, A. & Font, V. (2015). Development of teachers’ mathematical and didactic
competencies by means of problem posing. En Krainer, K., & Vondrová, N. (Eds.), Proceedings
of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME
9), (pp. 2861-2866). Prague, Czech Republic: ERME.
Singer, F., Ellerton, N. y Cai, J. (Eds). (2015). Mathematical Problem posing: From research to effective
practice. New York: Springer.
Stewart, J. (2008). Calculus: Early trascendentals (Sixth edition). Thomson Brooks/Cole.
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