124
Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 124 - 130
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.45
Taller en coloquio
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Series de Fourier en el movimiento de los planetas. Un estudio de replicación
Fourier series in the motion of planets. A replication study
Franco Mariani Rivas 1Avenilde Romo Vázquez 2, b
1Instituto Politécnico Nacional –Centro de Investigación
en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, México francomariani88@gmail.com
2Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav,
México
bhttps://orcid.org/0000-0002-1364-5997
avenilde.romo@cinvestav.mx
Información Resumen
El taller se centra en un estudio de replicación (Aguilar, 2020) donde los participantes
resolverán problemas de matemática aplicada a un contexto físico como el del movimiento
de los planetas, resignificando a la Serie Trigonométrica de Fourier. Las tareas propuestas
surgen de un análisis epistemológico de la serie (Farfán y Romero, 2019), lo que es
compatible con los principios del paradigma del Cuestionamiento del Mundo, definidos
en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999). El público considerado es
profesores de matemática o física, o también estudiantes avanzados ya que en el desarrollo
de las tareas pueden aparecer nociones matemáticas: funciones trigonométricas, series,
integrales, funciones, sucesiones de funciones y sistemas de coordenadas cartesianos.
Information Abstract
Keywords:
Fourier series, planetary
motion, replication
study.
The workshop focuses on a replication study (Aguilar, 2020) where participants will solve
mathematical problems applied to a physical context such as the motion of the planets, re-
signifying the Fourier Trigonometric Series. The proposed tasks arise from an
epistemological analysis of the series (Farfán and Romero, 2019), which is compatible
with the principles of the Questioning the World paradigm, defined in the Anthropological
Theory of the Didactic (Chevallard, 1999). The audience considered is mathematics or
physics teachers, or also advanced students, since mathematical notions may appear in the
development of the tasks: trigonometric functions, series, integrals, functions, successions
of functions and Cartesian coordinate systems.
INTRODUCCIÓN
El diseño de actividades y de recursos didácticos es parte del quehacer de la Educación Matemática. Sin
embargo, muchos de los recursos producidos no son difundidos, limitando sus alcances y efectos en la
enseñanza regular. Con el objetivo de incidir en la difusión de recursos didácticos producidos en las
investigaciones en didáctica de las matemáticas, en esta investigación nos propusimos desarrollar un
estudio de replicación (Aguilar, 2020).
La replicación se refiere a los investigadores que realizan un estudio repetido de un proyecto que
generalmente se ha publicado en una revista o libro revisado por pares. Sin embargo, esto no es lo mismo
que la duplicación (Firmin, 2008). Es imposible, según algunos autores, reproducir exactamente las
mismas condiciones de una experiencia que involucra a individuos en un cierto contexto en un
determinado tiempo. Dada esta situación, es que se distinguen dos grandes tipos de estudios replicación:
la replicación directa y la conceptual. En la directa se pretende repetir exactamente la experiencia
125
Franco Mariani Rivas y Avenilde Romo Vázquez
Tipo de
replicación Replicación directa
Replicación
cercana
Replicación Replicación Replicación
conceptual interna externa
Características
Una réplica exacta
de un procedimiento
experimental. Es
prácticamente
inviable llevar a
cabo este tipo de
estudio de
replicación en las
ciencias sociales
(incluida la
educación
matemática)
Replicación
que trata de
cumplir con
los
procedimientos
del estudio
original tanto
como sea
posible
Replicación de
una prueba de
una hipótesis
del resultado de
un trabajo de
investigación
anterior con
diferentes
métodos de los
utilizados en el
estudio original
Replicación
realizada por
investigadores investigadores
los mismos
Replicación
realizada por
que realizaron
el estudio
original
externos
al estudio
original.
mientras que la conceptual es más amplia, se entiende como una repetición de una prueba de hipótesis
o de los resultados de ciertos trabajos de investigaciones a través de diferentes métodos. Es decir, la idea
principal sigue en pie, pero hay ciertas modificaciones.
Si bien tanto la replicación directa como la conceptual se pueden considerar diametralmente opuestas,
se pueden hacer diferentes tipos de estudios de replicación más cerca de una que de la otra. Siguiendo a
Aguilar (2020), estas replicaciones pueden clasificarse según sus características, así como también
puede hablarse de una replicación interna o externa que se reflejan en la Tabla 1:
Tabla 1
Tipo de replicación
Aguilar (2020) plantea que los estudios de replicación son importantes porque permiten comprender
más profundamente algunos de los fenómenos que se han identificado y estudiado en el campo de la
educación matemática, así como también permiten saber más sobre las condiciones que favorecen los
resultados de las investigaciones, limitar su validez y ampliar la comprensión de las variables que
influyen en la investigación.
MATERIAL Y MÉTODOS
La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) permite análisis de la actividad humana en su dimensión
institucional (Chevallard, 1999). Toda actividad puede ser analizada mediante la praxeología [T,τ, θ,
Θ], conformada por cuatro componentes: los tipos de tareas (T), —lo que se hace—; las técnicas (τ) –la
forma en que se hace—, las tecnologías (θ) –porqué se hace así—
y la teoría (Θ) –justificaciones más generales de porqué se hace así—. Las dos primeras componentes
conforman el bloque técnico-práctico, lo que llamamos saber-hacer y las otras dos, el bloque
tecnológico-teórico o lo que llamamos saber. Las praxeologías corresponden a organizaciones de la
actividad y se pueden establecer relaciones entre diferentes organizaciones. En el caso de las
matemáticas, las praxeologías u organizaciones matemáticas (OM) y las praxeologías u organizaciones
didácticas (OD) se co-determinan. Es decir, una OM puede ser organizada didácticamente de diferentes
maneras y cada una de ellas, afecta su organización matemática. De la misma manera, la OM elegida
(e.g., intuitiva, formal, muy abstracta) incide en su OD. La OD puede definirse como el proceso de
estudio de una OM mediante seis momentos didácticos: M1 Momento del primer encuentro; M2
Momento exploratorio, M3 Momento de la construcción del bloque tecnológico-teórico; M4 Momento
del trabajo de la técnica; M5 Momento de la evaluación y M6 Momento de la institucionalización.
La replicación de una actividad didáctica en el marco de esta teoría está relacionada con el análisis de
la dimensión ecológica, es decir analizar la influencia de las condiciones y restricciones de la institución
educativa en la replicación. ¿Qué condiciones posibilitan la implementación del recurso didáctico?, ¿qué
adaptaciones son posibles?, ¿cuáles restricciones motivan ciertas adaptaciones o impiden su
126
Series de Fourier en el movimiento de los planetas. Un estudio de replicación
implementación? Se trata de identificar la viabilidad institucional que posibilita la replicación y
particularmente las adaptaciones requeridas, de acuerdo a las características de la institución donde la
implementación con un grupo de estudiantes tiene lugar. Ahora bien, involucrar a los profesores en el
estudio de la dimensión ecológica, implica elementos metodológicos relacionados con una experiencia
vivencial del recurso didáctico y de actividades que permitan reconocer que las condiciones
institucionales, determinan ciertas adaptaciones del recurso o de la propia enseñanza (la posibilidad de
incorporar nuevas tecnologías, las actividades prescritas para los estudiantes y para el docente, un plan
de estudios rígido, la posibilidad de implementar actividades abiertas o que promuevan procesos de
investigación, el trabajo en equipo, etc.).
RESULTADOS
En este taller se propone analizar una de las tareas de la secuencia didáctica producida por Farfán y
Romero (2019), basada en el modelo alejandrino del movimiento de los planetas, con el objetivo de
construir y dar sentido a la serie de Fourier. La secuencia está compuesta por seis grandes tareas: 1)
Explicando el movimiento de los planetas; 2) Modelando el movimiento de los planetas; 3) Un modelo
más general; 4) El fenómeno de Gibss; 5) El modelo general; 6) El cálculo de los coeficientes, que se
proponen dentro de un applet de Gegebra en formato de “libro”: https://www.geogebra.org/m/byc8hxdv.
Esta secuencia es el resultado de la investigación educativa y de alguna manera podría suponerse que su
destino es el de ser implementada por los docentes de matemáticas o de física en el aula. Lo que lleva a
cuestionarse ¿cuál es el proceso requerido para que un docente implemente un material didáctico en el
aula? Es decir, ¿cuáles son las adaptaciones que realiza el profesor y cuáles son los conocimientos que
las fundamentan? Georget (2009) sugiere que, en el análisis de los recursos didácticos, concebidos como
la actividad didáctica y una guía para su implementación, puede realizarse considerando cuatro
categorías ergonómicas: flexibilidad, utilidad, usabilidad, y adaptabilidad del recurso didáctico y tres
potenciales, el didáctico, el de resistencia dinámica y el de debate. Con el objetivo de mostrar una ruta
para realizar este proceso y de analizar su alcance y sus limitantes, se proponen en este taller, tres grandes
actividades:
1) Presentar y realizar la tarea 1
2) Analizar la OM y la OD de la tarea 1
3) Analizar las condiciones y restricciones escolares
Estas tres actividades en su conjunto pretenden dar cuenta de las dimensiones epistemológica, didáctica
y ecológica relacionadas con la implementación de un material o recurso didáctico en el aula.
1) Presentar y realizar la tarea 1
Un primer paso para el análisis de un material didáctico consiste en realizarlo, adoptando el rol de
matemático o de aprendiz matemático (Sierra, 2006; Olarría-Ruiz, 2015). Esto permite reconocer el tipo
de tarea que se propone, ya sea una consigna típica en la que se indica lo que debe hacerse: calcular un
integral, encontrar el valor de un ángulo, demostrar un teorema, encontrar el conjunto solución de un
sistema de ecuaciones lineales, etc. O bien, desarrollar una tarea en un contexto no matemático o abierta
que motive la creatividad, la exploración de técnicas y su validación por parte del estudiante. En este
caso la tarea 1 es una introducción a la secuencia mediante el modelo de los griegos para el estudio de
los planetas representado en Geogebra y se solicitará a los participantes realizarla de manera autónoma.
2) Analizar la OM y la OD de la tarea 1
En esta segunda actividad del taller se analizará la OD apoyada en el uso del applet, que los autores de
la secuencia proponen. En la tarea introductoria los autores presentan el modelo alejandrino de los
planetas: “Los astrónomos alejandrinos (323 a.C. - 30 a.C.) propusieron un modelo para el movimiento
de los planetas, […] consistía en una circunferencia centrada en la Tierra y sobre su perímetro se mueve
un punto, […] centro de otra circunferencia, y sobre el perímetro de esta se mueve otro punto, el cual es
centro de otra circunferencia y así sucesivamente, todos los puntos se mueven con velocidad angular
uniforme y en sentido anti-horario. A este modelo del movimiento se le conoce con el nombre de
superposición de movimientos circulares o epiciclos.” En el applet, la tierra aparece al centro de una
127
Franco Mariani Rivas y Avenilde Romo Vázquez
circunferencia y está simbolizada con la T, sobre el perímetro de la circunferencia, aparece un punto P,
como se ilustra en la figura 1.
Figura 1. Applet propuesto para explorar el modelo alejandrino
Esta tarea posibilita el momento de encuentro con la tarea (M1): estudiar el cambio de la trayectoria del
planeta Pcon relación a cierto número de circunferencias. El applet permite elegir hasta cuatro
circunferencias a través del deslizador, como se muestra en las figuras 2 y 3. Asimismo, esta tarea
posibilita un primer acercamiento con el applet y el deslizador, particularmente, para quienes no tengan
experiencia con Geogebra.
Figura 2. Movimiento planetario con n=2 Figura 3. Movimiento planetario con n=4
La tarea 1 “Explicando el movimiento de los planetas” se divide en dos partes:
Parte I. ¿Qué permite explicar este modelo?