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Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en
línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 124 - 130
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.45
Taller en coloquio
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Series de Fourier en el movimiento de los planetas. Un estudio de replicación
Fourier series in the motion of planets. A replication study
Franco Mariani Rivas 1Avenilde Romo Vázquez 2, b
1Instituto Politécnico Nacional –Centro de Investigación
en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, México francomariani88@gmail.com
2Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav,
México
bhttps://orcid.org/0000-0002-1364-5997
avenilde.romo@cinvestav.mx
Información Resumen
El taller se centra en un estudio de replicación (Aguilar, 2020) donde los participantes
resolverán problemas de matemática aplicada a un contexto físico como el del movimiento
de los planetas, resignificando a la Serie Trigonométrica de Fourier. Las tareas propuestas
surgen de un análisis epistemológico de la serie (Farfán y Romero, 2019), lo que es
compatible con los principios del paradigma del Cuestionamiento del Mundo, definidos
en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999). El público considerado es
profesores de matemática o física, o también estudiantes avanzados ya que en el desarrollo
de las tareas pueden aparecer nociones matemáticas: funciones trigonométricas, series,
integrales, funciones, sucesiones de funciones y sistemas de coordenadas cartesianos.
Information Abstract
Keywords:
Fourier series, planetary
motion, replication
study.
The workshop focuses on a replication study (Aguilar, 2020) where participants will solve
mathematical problems applied to a physical context such as the motion of the planets, re-
signifying the Fourier Trigonometric Series. The proposed tasks arise from an
epistemological analysis of the series (Farfán and Romero, 2019), which is compatible
with the principles of the Questioning the World paradigm, defined in the Anthropological
Theory of the Didactic (Chevallard, 1999). The audience considered is mathematics or
physics teachers, or also advanced students, since mathematical notions may appear in the
development of the tasks: trigonometric functions, series, integrals, functions, successions
of functions and Cartesian coordinate systems.
INTRODUCCIÓN
El diseño de actividades y de recursos didácticos es parte del quehacer de la Educación Matemática. Sin
embargo, muchos de los recursos producidos no son difundidos, limitando sus alcances y efectos en la
enseñanza regular. Con el objetivo de incidir en la difusión de recursos didácticos producidos en las
investigaciones en didáctica de las matemáticas, en esta investigación nos propusimos desarrollar un
estudio de replicación (Aguilar, 2020).
La replicación se refiere a los investigadores que realizan un estudio repetido de un proyecto que
generalmente se ha publicado en una revista o libro revisado por pares. Sin embargo, esto no es lo mismo
que la duplicación (Firmin, 2008). Es imposible, según algunos autores, reproducir exactamente las
mismas condiciones de una experiencia que involucra a individuos en un cierto contexto en un
determinado tiempo. Dada esta situación, es que se distinguen dos grandes tipos de estudios replicación:
la replicación directa y la conceptual. En la directa se pretende repetir exactamente la experiencia
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Franco Mariani Rivas y Avenilde Romo Vázquez
Tipo de
replicación Replicación directa
Replicación
cercana
Replicación Replicación Replicación
conceptual interna externa
Características
Una réplica exacta
de un procedimiento
experimental. Es
prácticamente
inviable llevar a
cabo este tipo de
estudio de
replicación en las
ciencias sociales
(incluida la
educación
matemática)
Replicación
que trata de
cumplir con
los
procedimientos
del estudio
original tanto
como sea
posible
Replicación de
una prueba de
una hipótesis
del resultado de
un trabajo de
investigación
anterior con
diferentes
métodos de los
utilizados en el
estudio original
Replicación
realizada por
investigadores investigadores
los mismos
Replicación
realizada por
que realizaron
el estudio
original
externos
al estudio
original.
mientras que la conceptual es más amplia, se entiende como una repetición de una prueba de hipótesis
o de los resultados de ciertos trabajos de investigaciones a través de diferentes métodos. Es decir, la idea
principal sigue en pie, pero hay ciertas modificaciones.
Si bien tanto la replicación directa como la conceptual se pueden considerar diametralmente opuestas,
se pueden hacer diferentes tipos de estudios de replicación más cerca de una que de la otra. Siguiendo a
Aguilar (2020), estas replicaciones pueden clasificarse según sus características, así como también
puede hablarse de una replicación interna o externa que se reflejan en la Tabla 1:
Tabla 1
Tipo de replicación
Aguilar (2020) plantea que los estudios de replicación son importantes porque permiten comprender
más profundamente algunos de los fenómenos que se han identificado y estudiado en el campo de la
educación matemática, así como también permiten saber más sobre las condiciones que favorecen los
resultados de las investigaciones, limitar su validez y ampliar la comprensión de las variables que
influyen en la investigación.
MATERIAL Y MÉTODOS
La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) permite análisis de la actividad humana en su dimensión
institucional (Chevallard, 1999). Toda actividad puede ser analizada mediante la praxeología [T,τ, θ,
Θ], conformada por cuatro componentes: los tipos de tareas (T), —lo que se hace—; las técnicas (τ) –la
forma en que se hace—, las tecnologías (θ) –porqué se hace así—
y la teoría (Θ) –justificaciones más generales de porqué se hace así—. Las dos primeras componentes
conforman el bloque técnico-práctico, lo que llamamos saber-hacer y las otras dos, el bloque
tecnológico-teórico o lo que llamamos saber. Las praxeologías corresponden a organizaciones de la
actividad y se pueden establecer relaciones entre diferentes organizaciones. En el caso de las
matemáticas, las praxeologías u organizaciones matemáticas (OM) y las praxeologías u organizaciones
didácticas (OD) se co-determinan. Es decir, una OM puede ser organizada didácticamente de diferentes
maneras y cada una de ellas, afecta su organización matemática. De la misma manera, la OM elegida
(e.g., intuitiva, formal, muy abstracta) incide en su OD. La OD puede definirse como el proceso de
estudio de una OM mediante seis momentos didácticos: M1 Momento del primer encuentro; M2
Momento exploratorio, M3 Momento de la construcción del bloque tecnológico-teórico; M4 Momento
del trabajo de la técnica; M5 Momento de la evaluación y M6 Momento de la institucionalización.
La replicación de una actividad didáctica en el marco de esta teoría está relacionada con el análisis de
la dimensión ecológica, es decir analizar la influencia de las condiciones y restricciones de la institución
educativa en la replicación. ¿Qué condiciones posibilitan la implementación del recurso didáctico?, ¿qué
adaptaciones son posibles?, ¿cuáles restricciones motivan ciertas adaptaciones o impiden su
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Series de Fourier en el movimiento de los planetas. Un estudio de replicación
implementación? Se trata de identificar la viabilidad institucional que posibilita la replicación y
particularmente las adaptaciones requeridas, de acuerdo a las características de la institución donde la
implementación con un grupo de estudiantes tiene lugar. Ahora bien, involucrar a los profesores en el
estudio de la dimensión ecológica, implica elementos metodológicos relacionados con una experiencia
vivencial del recurso didáctico y de actividades que permitan reconocer que las condiciones
institucionales, determinan ciertas adaptaciones del recurso o de la propia enseñanza (la posibilidad de
incorporar nuevas tecnologías, las actividades prescritas para los estudiantes y para el docente, un plan
de estudios rígido, la posibilidad de implementar actividades abiertas o que promuevan procesos de
investigación, el trabajo en equipo, etc.).
RESULTADOS
En este taller se propone analizar una de las tareas de la secuencia didáctica producida por Farfán y
Romero (2019), basada en el modelo alejandrino del movimiento de los planetas, con el objetivo de
construir y dar sentido a la serie de Fourier. La secuencia está compuesta por seis grandes tareas: 1)
Explicando el movimiento de los planetas; 2) Modelando el movimiento de los planetas; 3) Un modelo
más general; 4) El fenómeno de Gibss; 5) El modelo general; 6) El cálculo de los coeficientes, que se
proponen dentro de un applet de Gegebra en formato de “libro”: https://www.geogebra.org/m/byc8hxdv.
Esta secuencia es el resultado de la investigación educativa y de alguna manera podría suponerse que su
destino es el de ser implementada por los docentes de matemáticas o de física en el aula. Lo que lleva a
cuestionarse ¿cuál es el proceso requerido para que un docente implemente un material didáctico en el
aula? Es decir, ¿cuáles son las adaptaciones que realiza el profesor y cuáles son los conocimientos que
las fundamentan? Georget (2009) sugiere que, en el análisis de los recursos didácticos, concebidos como
la actividad didáctica y una guía para su implementación, puede realizarse considerando cuatro
categorías ergonómicas: flexibilidad, utilidad, usabilidad, y adaptabilidad del recurso didáctico y tres
potenciales, el didáctico, el de resistencia dinámica y el de debate. Con el objetivo de mostrar una ruta
para realizar este proceso y de analizar su alcance y sus limitantes, se proponen en este taller, tres grandes
actividades:
1) Presentar y realizar la tarea 1
2) Analizar la OM y la OD de la tarea 1
3) Analizar las condiciones y restricciones escolares
Estas tres actividades en su conjunto pretenden dar cuenta de las dimensiones epistemológica, didáctica
y ecológica relacionadas con la implementación de un material o recurso didáctico en el aula.
1) Presentar y realizar la tarea 1
Un primer paso para el análisis de un material didáctico consiste en realizarlo, adoptando el rol de
matemático o de aprendiz matemático (Sierra, 2006; Olarría-Ruiz, 2015). Esto permite reconocer el tipo
de tarea que se propone, ya sea una consigna típica en la que se indica lo que debe hacerse: calcular un
integral, encontrar el valor de un ángulo, demostrar un teorema, encontrar el conjunto solución de un
sistema de ecuaciones lineales, etc. O bien, desarrollar una tarea en un contexto no matemático o abierta
que motive la creatividad, la exploración de técnicas y su validación por parte del estudiante. En este
caso la tarea 1 es una introducción a la secuencia mediante el modelo de los griegos para el estudio de
los planetas representado en Geogebra y se solicitará a los participantes realizarla de manera autónoma.
2) Analizar la OM y la OD de la tarea 1
En esta segunda actividad del taller se analizará la OD apoyada en el uso del applet, que los autores de
la secuencia proponen. En la tarea introductoria los autores presentan el modelo alejandrino de los
planetas: “Los astrónomos alejandrinos (323 a.C. - 30 a.C.) propusieron un modelo para el movimiento
de los planetas, […] consistía en una circunferencia centrada en la Tierra y sobre su perímetro se mueve
un punto, […] centro de otra circunferencia, y sobre el perímetro de esta se mueve otro punto, el cual es
centro de otra circunferencia y así sucesivamente, todos los puntos se mueven con velocidad angular
uniforme y en sentido anti-horario. A este modelo del movimiento se le conoce con el nombre de
superposición de movimientos circulares o epiciclos.” En el applet, la tierra aparece al centro de una
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Franco Mariani Rivas y Avenilde Romo Vázquez
circunferencia y está simbolizada con la T, sobre el perímetro de la circunferencia, aparece un punto P,
como se ilustra en la figura 1.
Figura 1. Applet propuesto para explorar el modelo alejandrino
Esta tarea posibilita el momento de encuentro con la tarea (M1): estudiar el cambio de la trayectoria del
planeta Pcon relación a cierto número de circunferencias. El applet permite elegir hasta cuatro
circunferencias a través del deslizador, como se muestra en las figuras 2 y 3. Asimismo, esta tarea
posibilita un primer acercamiento con el applet y el deslizador, particularmente, para quienes no tengan
experiencia con Geogebra.
Figura 2. Movimiento planetario con n=2 Figura 3. Movimiento planetario con n=4
La tarea 1 “Explicando el movimiento de los planetas” se divide en dos partes:
Parte I. ¿Qué permite explicar este modelo?
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Series de Fourier en el movimiento de los planetas. Un estudio de replicación
Figura 4. Consigna de la parte I de la Actividad introductoria
La primera parte de esta actividad apunta a contrastar el modelo de los epiciclos de los alejandrinos con
el de los griegos, que es el caso en que hay una única circunferencia. En el modelo griego, la distancia
del planeta Pa la Tierra es la misma por lo que no se corresponde con el cambio de luminosidad que
aparentan los planetas. En la época de los astrónomos alejandrinos se creía que el cambio de brillo estaba
relacionado con la distancia a la Tierra y esto se ajustaba mejor a su modelo con más circunferencias.
La misma explicación se daba para las estaciones del año, como el Sol era considerado un planeta, el
modelo griego no se contrastaba con la realidad de manifestar las diferentes estaciones. El fenómeno de
retrogradación planetaria está relacionado con la trayectoria que describen en el cielo los planetas. Si se
enfoca, por ejemplo, en el movimiento aparente que describe Marte se puede observar con el transcurso
del tiempo que parece detenerse progresivamente, retroceder y luego continuar con su trayectoria
“habitual”, como se muestra en la figura 5.
Este recorrido no puede explicarse desde el modelo griego con una única circunferencia, pues todos los
planetas seguirían la trayectoria con la misma velocidad y no describirían esos “retrocesos” donde el
cuerpo celeste parece dirigirse en sentido contrario al previsto. Actualmente, se sabe que la Tierra y
Marte giran alrededor del Sol pero al planeta rojo le lleva casi dos años terrestres recorrer su órbita de
forma completa. Esto implica que en cierto momento nuestro planeta se “adelante” y produzca ese
movimiento aparente en el cielo.
Figura 5. Vista y modelo del movimiento aparente de Marte
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Franco Mariani Rivas y Avenilde Romo Vázquez
Con respecto a las partes b) y c) de esta tarea 1, se puede concluir que cualquiera de los modelos con 2,
3 o 4 circunferencias permiten explicar el cambio de brillo o el fenómeno de las estaciones, puesto que
logra evidenciar que la distancia del planeta Pa la Tierra varíe. Sin embargo, los modelos con 2 o 3
circunferencias no describen el fenómeno de retrogradación. Para ello, se necesitan 4 circunferencias
(pueden ser más, pero en el applet el máximo permitido es 4) para que se generen esos “bucles” en el
cielo.
De todas formas, ese adelantamiento de la Tierra sobre Marte que produce ese movimiento aparente no
lo contemplaban, porque pensaban que los planetas no giraban alrededor del Sol. En esa época primaba
la teoría geocéntrica y el modelo de los epiciclos propuesto por los alejandrinos se asemejaba mejor a
los datos empíricos.
Parte II. ¿Y si aumentamos el número de epiciclos?
Figura 6. Consigna de la parte II de la Actividad introductoria
La parte a) se puede responder con la manipulación y observación del applet, que los radios de las
circunferencias que se van agregando son cada vez menores, en otras palabras, tienden a cero. Con
respecto a la parte b), se considera que no está clara la consigna porque puede dar lugar a confusión,
pues de las representaciones gráficas se puede deducir que cada punto se mueve a velocidad constante
aunque distintas, según la circunferencia. Sin embargo, como dice que se trata de la distancia recorrida,
no queda claro si se refiere a la velocidad angular respecto específicamente de la circunferencia en la
que se mueve o a la velocidad del planeta que va recorriendo cierta trayectoria. En este último caso, al
hacer simulaciones con el applet se observa que el punto no recorre su trayectoria con la misma
velocidad, incluso hay intervalos breves de tiempo donde parece casi detenerse por la propia órbita que
describe. De hecho en el artículo se manifiesta que al llevar adelante la propuesta didáctica, han tenido
que aclarar este aspecto para que se considere la primera situación. Otra observación que puede hacerse
es que algo cambió con respecto al applet de la introducción, porque si se elige una cantidad cualquiera
de circunferencias, ya no se describe en la trayectoria ese fenómeno de retrogradación, ni siquiera con
cuatro como el caso introductorio. Seguramente no influye en la realización de esta parte de la tarea,
pero puede ser algo que pueda analizarse, que se está cambiando el modelo en algún aspecto y podría
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Series de Fourier en el movimiento de los planetas. Un estudio de replicación
evaluarse si es pertinente hacer alguna pregunta que haga reflexionar sobre esto. Con respecto al inciso
c), se realiza una pregunta interesante porque pueden haber múltiples observaciones y el docente puede
aprovechar para proponer una puesta en común y enriquecer las ideas que surjan. Además, se pueden
detallar algunas características de la trayectoria conforme se van agregando más circunferencias que
están intrínsecamente relacionadas con la convergencia de una serie, aunque aún no se haya explicitado
nada al respecto en la consigna. Más aún, hasta esta tarea, el enfoque está en aspectos cualitativos del
movimiento planetario y no se ha solicitado calcular absolutamente nada. Como se decía anteriormente,
se puede deducir a partir del applet que “una parte” de la trayectoria parece estabilizarse a medida que
se agregan circunferencias y “otra parte” sigue inestable. Sin embargo, la trayectoria en sí como un todo,
no parece cambiar mucho cuando el número de circunferencias va en aumento.
La última parte de esta actividad puede resultar compleja de contestar debido a que se espera establecer
una relación entre lo trabajado anteriormente. Una conjetura que se espera que surja es la siguiente:
agregar circunferencias implica ir reduciendo la dimensión de sus radios, pero a la vez aumentar la
velocidad respecto de la circunferencia en la que se mueve para generar la estabilidad de la trayectoria
del planeta. La complejidad identificada se basa en que con los elementos trabajados no pueden probar
su conjetura, de eso se encargarán las tareas que siguen.
3) Analizar las condiciones y restricciones escolares
Se analizará cómo la pedagogía tradicional puede ser una limitante para la implementación de esta
actividad en el aula y formas para flexibilizar ciertas restricciones institucionales.
DISCUSIÓN
La replicación de recursos didácticos es una actividad que desarrollan la mayoría de los docentes. Sin
embargo, no siempre se cuentan con herramientas teóricas y metodológicas para regular y controlar la
forma en que estas replicaciones tienen lugar y sobre todo el rol que la ecología didáctica juega en dicha
actividad. Es por ello, que en este taller se propone analizar la dimensión ecológica -casi invisible por
su cotidianeidad- y la forma en que puede ser modificada para implementar recursos didácticos, surgidos
en otros paradigmas educativos.
REFERENCIAS
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50.https://doi.org/10.1007/s10763-020-10069-7
Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique.
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Madrid, Madrid, España.