Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 115 - 121
DOI:
115
Artículo de conferencia
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
Los fractales en la enseñanza-aprendizaje de la concepción dinámica del
concepto de límite de una sucesión: una propuesta didáctica para estudiantes
de Bachillerato General Unificado (BGU)
Fractals in the teaching-learning of the dynamic conception of the concept of
limit of a sequence: a didactic proposal for students of the Bachillerato
General Unificado (BGU)
Ana Lucía Arias Balarezo 1, a
Jhon Lima Yarpaz 2
Jimmy Muela Pillajo 3
1 Universidad Central del Ecuador
a https://orcid.org/0000-0002-2317-9600
alarias@uce.edu.ec
2 Universidad Central del Ecuador
jjlima@uce.edu.ec
3 Universidad Central del Ecuador
jamuelap@uce.edu.ec
Resumen
El objetivo de la presente investigación fue diseñar tareas didácticas para la enseñanza-
aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite de una sucesión para
estudiantes de Bachillerato General Unificado (BGU) mediante el uso de fractales. La
investigación se sustenta en el constructo de origen Piagetiano denominado
Descomposición Genética (DG) y en la teoría Acción-Proceso-Objeto-Esquema (APOE),
también se consideran las dificultades asociadas al proceso de enseñanza y aprendizaje del
concepto de límite, así como los sistemas de representación numérico y simbólico. Tiene
un enfoque cualitativo, un nivel de profundidad descriptivo. El producto final de este
trabajo fue un conjunto de tareas enmarcadas en las construcciones y mecanismo de la
teoría APOE que permiten a los estudiantes de BGU deducir en términos de límite de una
sucesión las dimensiones de fractales como el Conjunto de Cantor, Copo de nieve de Koch,
Alfombra y Triángulo de Sierpinski.
Abstract
The objective of the present research was to design didactic tasks for the teaching-learning
of the dynamic conception of the concept of limit of a sequence for students of Bachillerato
General Unificado (BGU) through the use of fractals. The research is based on the
Piagetian construct called Genetic Decomposition (GD) and on the Action-Process-
Object-Object-Scheme (APOE) theory; it also considers the difficulties associated with
the teaching and learning process of the concept of limit, as well as the numerical and
symbolic representation systems. It has a qualitative approach, a descriptive level of depth.
The final product of this work was a set of tasks framed in the constructs and mechanism
of APOE theory that allow BGU students to deduce in terms of the limit of a sequence the
dimensions of fractals such as the Set of Cantor, Koch's Snowflake, Carpet and Sierpinski's
Triangle.
INTRODUCCIÓN
La enseñanza y el aprendizaje del concepto de límite es un proceso complejo, así lo aseveran
investigadores como Blázquez y Ortega (2001), Cornu (1991), Cottrill et al. (1996), Pons, (2014),
https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.43
Arias Balarezo, A. L.; Lima Yarpas, J. y Muela Pillajo, J.
116
Sierpinska (1985), Sierra, Gonzales y López (2000) y Valls, Pons y Llinares, (2011). Varias
investigaciones se han preocupado por caracterizar las dificultades que se generan en este proceso, al
respecto Artigue (1995) indica que: "Las dificultades de acceso al cálculo son de diversa índole y se
imbrican y refuerzan en redes complejas. Por lo tanto, es posible reagruparlas en grandes categorías",
estas categorías son: la complejidad matemática de los objetos básicos del cálculo, la conceptualización
y formalización de la noción de límite y su tratamiento en la enseñanza, y la ruptura álgebra-cálculo.
Además de las dificultades antes señaladas respecto al desarrollo de la comprensión del significado de
límite de una función, se debe considerar la influencia de los diferentes modos de representación donde
se evidencia la brecha entre el pensamiento analítico y el algebraico (Blázquez y Ortega, 2000; Elia et
al., 2009; Moru, 2009).
El sistema educativo ecuatoriano no escapa a esta problemática toda vez que la concepción que orienta
el tratamiento de esta temática en la organización curricular oficial, determina entre otras destrezas con
criterios de desempeño básicos imprescindibles: “Calcular, de manera intuitiva, el límite cuando h→0
de una función cuadrática con el uso de la calculadora como una distancia entre dos número reales”
(Bachillerato General Unificado - Ministerio de Educación, 2017, pp. 1252-1283) (primer y segundo
año de bachillerato) y “Conocer y aplicar el álgebra de límites de sucesiones convergentes en la
resolución de aplicaciones o problemas con sucesiones reales en matemática financiera (interés
compuesto), e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas” (Ibídem) (tercer año de
bachillerato); y, las siguientes destrezas con criterios de desempeño básicos deseables: “Identificar
sucesiones convergentes y calcular el límite de la sucesión” y “Reconocer sucesiones numéricas reales
que convergen para determinar su límite” (Ibídem). Es decir, subyace en el proyecto curricular vigente
la prioridad del cálculo y la aplicación de propiedades de los límites, sobre la comprensión de este
concepto matemático, aspecto que reafirmado en el tratamiento que se da al tema en los textos oficiales.
Cómo respuesta a los problemas que se generan en el proceso de enseñanza aprendizaje del concepto de
límite de una función en un punto, se han desarrollado varias propuestas didácticas que intentan
superarlos. Así, Mira, Valls y Llinares (2013) presentan la investigación “Un experimento de enseñanza
sobre el límite de una función. Factores determinantes en una trayectoria de aprendizaje”, cuyo objetivo
fue identificar características de la construcción del significado de límite de una función en estudiantes
de bachillerato (16-17 años), los resultados de esta investigación determinan que la trayectoria de
aprendizaje se ve condicionada por la coordinación de las aproximaciones en el dominio y en el rango
en diferentes tipos de funciones. Engler, Vrancken, Hecklein, Müller y Gregorini (2007) plantean la
investigación “Análisis de una propuesta didáctica para la enseñanza de límite finito de variable finita”
cuyo objetivo fue “analizar una secuencia de actividades en el aula de modo que los alumnos gestionen
con sentido el conocimiento matemático para que resulte un conocimiento vivo (…) y además que sea
funcional (…)”, esta investigación fue dirigida a estudiantes universitarios de carreras no Matemáticas,
uno de los resultados de esta investigación señala la importancia de vivenciar el diseño y la ejecución
de diferentes tareas de aula, así como comprobar y reconocer la importancia de estas como recursos para
la enseñanza y para su propia formación. Camacho y Aguirre (2001) presentan los resultados de la
investigación “Situación didáctica del concepto de límite infinito. Análisis preliminar” el objetivo de
esta fue “diseñar una situación didáctica para introducir el concepto de límite infinito en el curso de
Matemática I del nivel de enseñanza superior en las carreras de ingeniería del Sistema Tecnológico”,
una de las conclusiones que sugiere la autora es la necesidad de reemplazar el uso de argumentos
imprecisos por razonamientos matemáticos basados en operaciones con números reales, sucesiones y
definiciones elementales de convergencia. Fernández (2000) desarrolló la investigación
“Perfeccionamiento de la enseñanza-aprendizaje del tema límite de funciones con el uso de un asistente
matemático”, esta propuesta didáctica busca resolver problemas detectados en la comprensión de límites
de una función mediante la introducción de la Informática como recurso didáctico; como conclusión se
establece que el uso de la informática mejorar la comprensión conceptual del límite y contribuye a
realizar ejercicios y problemas de mayor complejidad de manera eficiente.
La problemática plantada permite evidenciar la necesidad de diseñar situaciones didácticas de enseñanza
que contribuyan a superar las dificultades del proceso de enseñanza y aprendizaje del concepto de límite.
Los fractales en la enseñanza-aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite de una sucesión
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En este contexto nos planteamos como problema de investigación determinar cómo usar los fractales
para contribuir en la enseñanza aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite de una
sucesión y vencer las dificultades asociadas a este concepto. Para ello diseñamos tareas con base al
análisis cualitativo de las características de los fractales y descripción de su proceso dinámico e iterativo
de construcción del Conjunto de Cantor, Copo de nieve de Koch, Alfombra y Triángulo de Sierpinski.
El fractal “es el resultado de aplicar una función a un punto y a lo obtenido volver a aplicársela y así
sucesivamente” (Martínez, 2015, p. 10), este proceso permite representar sus dimensiones en la forma
simbólica del límite. Las tareas diseñadas para la guía didáctica llevan suscritas los mecanismos y
construcciones mentales de la Teoría APOE y la descomposición genética propuesta por Roa Fuentes y
Oktaç (2014), como se presenta en la siguiente tabla.
Tabla 1. Interpretación de la Descomposición Genética Aplicada al Límite de Sucesiones Mediante Fractales
Fuente: Roa Fuentes S. y Oktaç A. (2014) en Lima J. (2020).
MATERIAL Y MÉTODOS
Este es un estudio descriptivo, de enfoque cualitativo. Se respalda en la revisión de resultados de
investigaciones argumentadas en fuentes documentales que se complementó con una investigación de
campo, en esta participaron 33 estudiantes de tercer año de bachillerato de la Unidad Educativa
Municipal “San Francisco de Quito” durante el año lectivo 2020-2021.
El diseño de esta investigación se basa en cuatro etapas:
Primera etapa: elaboración de las actividades que se presentaron en la situación didáctica. Se desarrolló
una investigación bibliográfica referente a los elementos y mecanismos de la descomposición genética
del límite al infinito e infinito de una sucesión.
Se diseñaron 4 tareas de aprendizaje, los mecanismos de la teoría APOE, están suscritos a las tareas
propuestas, en la Tabla 2 se expone la relación que existe entre las tareas de cada tarea y los elementos
de la DG utilizada. Donde E0 corresponde a la idea de sucesión, E1, E2 y E3 representan a la
Interiorización, Coordinación y Encapsulación, respectivamente, LF y LI simbolizan al límite finito y
límite infinito.
Arias Balarezo, A. L.; Lima Yarpas, J. y Muela Pillajo, J.
118
Tabla 2. Relación de Sub-tarea y Elementos de las Tareas 1, 2, 3 y 4
Sub-tarea
Elementos Matemáticos
Límite
E0
E1
E2
E3
LF
LI
Tarea 1
1.1
X
X
1.2 (a)
X
1.2 (b)
X
1.3 (1)
X
1.3 (2)
X
Tarea 2
2.1
X
X
2.2 (a)
X
2.2 (b)
X
2.3 (1)
X
2.3 (2)
X
Tarea 3
3.1
X
X
3.2 (a)
X
3.3 (a)
X
X
3.3 (a1,2)
X
3.3 (b1)
X
3.3 (b2)
X
Tarea 4
4.1 (b)
X
X
X
4.1 (b1)
X
4.1 (b2)
X
4.2
X
4.3
X
Fuente: Lima J. (2020)
Para la redacción de las tareas didácticas se diseñó una primera propuesta con indicadores redactados
en algunos casos como afirmación y en otros como preguntas abiertas motivando de esta forma al
estudiante a que reflexione su razonamiento y permitiendo al investigador analizar sus respuestas. La
Tarea 1 consiste en construir el Conjunto de Cantor, formar los primeros términos de la sucesión tanto
para el número de segmentos como su longitud, deducir la longitud del fractal de forma numérica y
representarla en lenguaje matemático. La Tarea 2 consiste en analizar la construcción del Copo de Nieve
de Koch, deducir su perímetro de forma numérica y representarla en lenguaje matemático. La Tarea 3
consiste en construir la Alfombra de Sierpinski, formar los primeros términos de la sucesión tanto para
el número de cuadrados como para su área en función del área inicial, deducir el área del fractal y
representarla en lenguaje matemático. La Tarea 4 consiste en analizar la construcción del Triángulo de
Sierpinski, formar los primeros términos de la sucesión tanto para el perímetro como el área en función
de sus medidas iniciales, deducir el perímetro y área del fractal y representarla en lenguaje matemático.
Segunda etapa: consistió en la validación que fue realizada mediante el juicio de expertos. Los mismos
que son docentes en diferentes ramas de la educación con la finalidad de contar con sus observaciones
y puntos de vista en pro de mejorar y enriquecer nuestro instrumento. En la Tabla 3 se observa los
expertos que validaron el instrumento.
Los fractales en la enseñanza-aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite de una sucesión
119
Tabla 3. Expertos que Validaron la Guía de Observación
Experto
Área
Lugar de Trabajo
Observación
PhD. Salvador
Llinares,
PhD. Julia Valls,
PhD. Joan Pons
Investigación en
Didáctica de la
Matemática
Universidad de Alicante,
España
Informe 20.09.2020.
Mg. Milton
Coronel
Matemática
Universidad Central del
Ecuador
Correcciones asociadas al concepto
matemático de sucesiones.
MSc. Edwin
Lozano
Investigación y
Psicología
Universidad Central del
Ecuador
Se verifica coherencia en el documento.
MSc. Narcisa de
Jesús
Lengua y
Literatura
U.E.M. Calderón
En un documento formal se debe evitar
el uso de diminutivos.
Fuente: Lima J. (2020)
Las observaciones fueron aceptadas e incluidas en la propuesta inicial.
Tercera etapa: pilotaje de las tareas. En esta etapa participaron 33 estudiantes, de la Unidad Educativa
Municipal “San Francisco de Quito” que actualmente se encuentran cursando el tercer curso de BGU
paralelo C en el periodo académico 2020-2021, y cuyas edades oscilan entre los 17 y 18 años. Estos
estudiantes en primero y segundo año de BGU, estudiaron el concepto de límite de una forma intuitiva,
dinámica y únicamente de funciones. Referente al contenido de sucesiones, su estudio se ha enfocado
en la aplicación de progresiones aritméticas y geométricas.
Esta etapa se desarrolló en tres sesiones de 40 minutos, mediante la plataforma Zoom. La primera sesión
se realizó una introducción general y se presentó la Tarea 1 (construir el Conjunto de Cantor), la segunda
sesión se desarrolló la Tarea 2 (analizar la construcción del Copo de Nieve de Koch) y la Tarea 3
(construir la Alfombra de Sierpinski), se envió como trabajo autónomo la tarea 4 (analizar la
construcción del Triángulo de Sierpinski, y la tercera sesión se realizó la revisión de la tarea y el
respectivo el refuerzo.
Durante el desarrollo de esta etapa se tomaron en cuenta las inquietudes de los estudiantes y se tabularon
los resultados para determinar el porcentaje de estudiantes que desarrollaban de forma adecuada cada
tarea.
Cuarta etapa: elaboración de una guía didáctica. En esta etapa se redactó un documento que recoge las
observaciones de los expertos y los resultados del análisis del pilotaje.
RESULTADOS
Como resultado de la investigación se diseñó una guía didáctica para favorecer el proceso de enseñanza
y aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite de una sucesión mediante el uso de
fractales. La guía didáctica consta de actividades de inicio (Lección 1: conceptos básicos), para el
desarrollo de los contenidos (Lección 2: Conjunto de Cantor; Lección 3: Copo de Nieve de Koch;
Lección 4: Alfombra de Sierpinski) y para evaluación (Lección 5: Triángulo de Sierpinski).
La tarea asociada al conjunto de Cantor aporta con el límite finito, el Copo de nieve de Koch aportan
con el límite infinito. La Alfombra de Sierpinski aporta con el refuerzo del límite finito y finalmente, el
Triángulo de Sierpinski aporta con los dos tipos de límites. Además, la guía está apegada al currículo
vigente ecuatoriano, por ello cada lección contiene su destreza con criterio de desempeño, el objetivo y
Arias Balarezo, A. L.; Lima Yarpas, J. y Muela Pillajo, J.
120
las aptitudes a desarrollar por los estudiantes, un resumen de la lección, los materiales requeridos, las
tareas a realizar y sugerencias para el docente. La guía es de corte constructivista, por lo que cada
lección y tarea contienen preguntas que posibilitan al estudiante construir el concepto de límite de una
sucesión al infinito e infinito.
DISCUSIÓN
Con base en las tareas previas y posteriores a la aplicación del instrumento, se destaca que es posible
utilizar los fractales Conjunto de Cantor y Triángulo de Sierpinski en el proceso de enseñanza -
aprendizaje de la concepción dinámica del concepto de límite de una sucesión, ya que su proceso de
construcción permite visualmente deducir la tendencia de sus dimensiones y comprender que la longitud
del Conjunto de Cantor tiende a cero, el perímetro del Triángulo de Sierpinski tiende a infinito y su área
tiende a cero.
Se destaca que los fractales que favorecen en mayor medida a la enseñanza de este concepto son el
Conjunto de Cantor y Triángulo de Sierpinski, ya que su proceso de construcción permite visualmente
deducir la tendencia de sus dimensiones y comprender que la longitud del Conjunto de Cantor tiende a
cero 󰇡
  
 󰇡
󰇢 󰇢, el perímetro del Triángulo de Sierpinski tiende a infinito
󰇡
  
 󰇡
󰇢 󰇢 y su área tiende a cero 󰇡
  
 󰇡
󰇢 󰇢.
En las actividades propuestas se descartó el perímetro de la Alfombra de Sierpinski 󰇡
 󰇣
󰇡
󰇢󰇤
󰇢 y el área del Copo de Nieve de Koch 󰇡

󰇢 ya que su deducción y
representación en lenguaje matemático requiere de conocimientos más profundos en sucesiones.
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