Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 103 - 114
103
Artículo en conferencia
V Coloquio Binacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional de
Tumbes, 28 y 29 de mayo de 2021 (V COBISEMAT)
La construcción de fórmulas: una articulación entre geometría y álgebra
The construction of formulas: an articulation between geometry and algebra
A construção de fórmulas: uma articulação entre geometría e álgebra
Maria José Ferreira da Silva 1, a
1 Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Brasil
a https://orcid.org/0000-0002-1249-8091
zeze@pucsp.br
maze.fsilva@gmail.com
Resumen
El objetivo de este artículo es realizar una reflexión teórica sobre dos Actividades de
Estudio e Investigación - AEI, que se centran en la construcción de fórmulas para el cálculo
de medidas de volumen. El primero trata de una fórmula para calcular la medida del
volumen de un tetraedro regular construido a partir de un cubo y el segundo de una fórmula
para calcular la medida del volumen de un octaedro obtenido al truncar un tetraedro
regular. La reflexión se realizó a partir de una articulación entre geometría y álgebra a
partir de las aprehensiones de una figura, en términos de Registros de Representación
Semiótica y de las cuatro fases del proceso de modelización algebraica. El movimiento de
construcciones geométricas, realizado en GeoGebra, junto con el lenguaje natural,
permiten el desarrollo de aprehensiones de figuras, la percepción de relaciones entre partes
de las figuras y la consecuente representación algebraica de las fórmulas buscadas.
Abstract
The objective of this article is to perform out a theoretical reflection on two Activities of
Study and Research - AEI, which focus on the construction of formulas for the calculation
of volume measurements. The first deals with a formula to calculate the volume measure
of a regular tetrahedron constructed from a cube and the second deals with a formula to
calculate the volume measure of an octahedron obtained by truncating a regular
tetrahedron. The reflection was made from an articulation between geometry and algebra
from the apprehensions of a figure, in terms of Records of Semiotic Representation and of
the four phases of the algebraic modeling process. The movement of geometric
constructions, carried out in GeoGebra, together with natural language, allow the
development of apprehensions of figures, the perception of relationships between parts of
the figures and the consequent algebraic representation of the formulas sought.
RESUMO
O objetivo deste artigo é fazer uma reflexão teórica a respeito de duas Atividades de Estudo
e Investigação – AEI, que focam na construção de fórmulas para o cálculo de medidas de
volume. A primeira trata de uma fórmula para calcular a medida do volume de um
tetraedro regular construído a partir de um cubo e a segunda de uma fórmula para calcular
a medida do volume de um octaedro obtido por truncamento de um tetraedro regular. A
reflexão foi realizada a partir de uma articulação entre geômetra e álgebra baseada nas
apreensões de uma figura, em termos de Registros de Representação Semiótica e das
quatro fases do processo de modelização algébrica. A movimentação das construções
geométricas, feitas no GeoGebra, juntamente com a linguagem natural, permitem o
desenvolvimento das apreensões da figura, a percepção de relações entre partes das figuras
e a consequente representação algébrica para as fórmulas procuradas
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.41
Ferreira da Silva, M. J.
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INTRODUÇÃO
A importância do ensino de Geometria vem sendo discutida há muito tempo, desde o casal Van Hiele
em 1957 quando apontou que o aluno não compreende geometria, porque é ministrado em temas
separados sem que a relação entre eles seja explicitada, de maneira a não permitir o entendimento do
aluno e sem qualquer ligação com o mundo em que vive. Esses estudos culminaram, em 1984, com a
teorização de Pierre Van Hiele de que o aprendizado em geometria segue cinco níveis de raciocínio ou
de desenvolvimento: N0, visualização ou reconhecimento; N1, análise; N2, dedução informal; N3,
dedução e N4, rigor. Durante a década de 1960, durante o Movimento da Matemática Moderna, Dienes
defendeu o uso de material manipulativo como um meio de as crianças relacionarem o mundo em que
vivem, com o mundo abstrato da matemática focando em jogos e publicando três livros: Topologia,
geometria projetiva e afim; Geometria Euclidiana e Grupos e coordenadas. Parzysz na década de 1980,
alerta para a importância do desenho na aprendizagem de geometria e em 2001 constrói um modelo, que
articula a natureza dos objetos que estão em jogo com os modos de validação, em quatro etapas:G0, a
geometria concreta, G1, a espaço-gráfica, G3, a proto-axiomática e G4, a axiomática. Em G0 e G1
(geometria não axiomática) os objetos são concretos e as justificativas e validações são perceptíveis, em
G2 e G3 (geometria axiomática) os objetos são teóricos e as validações são dedutivas. O autor relaciona
suas etapas com os níveis de Van Hiele, por um ponto de vista didático, em que considera que os níveis
0 e 1 ocorrendo em G0 e G1 e os níveis 3 e 4 em G2 e G3, concluindo que, o nível 2 de Van Hiele, “de
certa forma constitui o nível de articulação entre esses dois tipos de geometria em que a teoria está em
processo de se constituir no aluno.” (p. 100). Em 1998 Houdement e Kuzniak definiram três tipos de
geometria: G1, geometria natural; G2, geometria axiomática natural e G3, geometria axiomática
formalista. Na primeira a dedução é exercida com objetos materiais com a ajuda da percepção e da
manipulação de instrumentos; na segunda se propõe uma axiomatização não formal, o mais precisa
possível e na terceira, o raciocínio lógico se impõe. (Kuzniak, 2003). Para Pazysz (2001) a primeira
“seria a geometria da escola elementar, a segunda a do ensino secundário e a terceira do ensino superior”
(p. 100). Em 2003, Kuzniak define o espaço de trabalho geométrico que consiste de um conjunto de
objetos em um espaço real e local; um conjunto de instrumentos e ferramentas a serviço do geômetra e
um referencial teórico como modelo teórico com o objetivo de permitir a resolução de um problema
geométrico pelo aluno.
Vemos diferentes referenciais com a mesmo objetivo, o ensino (foco na geometria) e a aprendizagem
(foco no aluno) de geometria, muitos outros autores têm se dedicado à essa discussão. No Brasil,
Pavanello (1993) já apontava o prejuízo aos alunos submetidos a um ensino que prioriza o ensino de
uma álgebra mecanizada, em detrimento do ensino de geometria que poderia favorecer a análise de fatos,
relações e dedução. A necessidade de um esforço para modificar o ensino da geometria elementar foi
sugerido por Lorenzato (1995) ao constatar que professores que não haviam aprendido geometria, não
saberiam como ensiná-la. Tal fato foi verificado por Silva, Manrique e Almouloud (2004) ao mostrar
que dificuldades em lidar com diferentes situações em geometria impedem um processo de mudança de
prática. Assim, os alunos, em situações de geometria, continuam apresentando baixo rendimento no
Brasil.
Quanto ao ensino de álgebra ocorreu o mesmo, muitos autores se debruçaram para entender seu ensino
e sua aprendizagem. Para Munzón, Bosch e Gascón (2015, p. 107) “a maioria das investigações didáticas
a respeito de álgebra elementar centram-se em estudar as principais dificuldades dos alunos no início da
aprendizagem e as possíveis atuações do professor (ou do ensino) para minimizá-las.” Os trabalhos de
Chevallard (1984, 1989, 1990) e Gascón (1993, 1994, 1999) mostram que a álgebra escolar, apoiada em
um contexto numérico ao ser trabalhada como aritmética generalizada, reduz as expressões algébricas
ao papel de representar e manipular números desconhecidos (incógnitas) determinados por números
conhecidos (dados) a reduzindo apenas ao cálculo algébrico.
Nesse sentido, Chevallard (1989) afirma que “a funcionalidade do cálculo algébrico como uma
perspectiva de renovação curricular deve visar, desde cedo, a utilização de parâmetros, para conduzir à
noção de fórmula (produção e exploração) e a noção de função”. Para o autor, as fórmulas são modelos
funcionais construídos para estudar os objetos modelizados com base em relações funcionais entre
variáveis. Concordando com Chevallard, para Gascón (1995) a álgebra não deve focar apenas em
La construcción de fórmulas: una articulación entre geometría y álgebra
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problemas aritméticos, mas ao estudo de campos de problemas que envolvam outras áreas da
matemática, como é o caso da geometria e do desenho geométrico.
Assim, podemos concluir que um dos problemas da aprendizagem, tanto de álgebra, quanto de geometria
é a qualidade de seu ensino. Entendemos que diversas situações geométricas podem propiciar a
construção de modelos, com a utilização de parâmetros que, além de conhecimentos de geometria
conduzem à compreensão do papel efetivo da álgebra nesse processo. No entanto, temos que considerar
que “integrar a álgebra como instrumento de modelização na escola secundária requer uma mudança
cultural que provoque mudanças significativas dos modelos epistemológicos e didáticos dominantes nas
instituições escolares o que, obviamente, apresenta enormes dificuldades” (Munzón, Bosch e Gascón,
2015, p. 125). É nesse sentido que as pesquisas em Educação Matemática podem apontar alternativas
para o ensino, Segundo Gascón (2003, p. 33) “a Didática da Matemática, como o resto das disciplinas
teórico-experimentais (cada qual em seu âmbito), não pode renunciar à ambição de explicar por que
existe o que existe e porque não existe o que não existe no âmbito das instituições didáticas. Sem isto, a
didática seria apenas um catálogo perfeitamente inútil de descrições a posteriori.
Dessa forma, neste artigo, faremos uma breve relação entre algumas teorias que tratam da aprendizagem
e do ensino de matemática, para então, baseados nelas, fazer uma análise teórica de duas Atividades de
Estudo e Investigação, que envolvem o ensino de geometria por modelos algébricos, especificamente, o
desenvolvimento de fórmulas para o cálculo de medidas de volumes. Cabe lembrar que o foco do ensino
de poliedros nas escolas, como consequência da utilização do livro didático, foca no cálculo de medidas
de comprimento, área e volume, a partir da memorização de fórmulas, muitas vezes sem as justificativas
necessárias para que os alunos construam algum significado para elas.
MATERIAL E MÉTODOS
Para Vergnaud (1999, p.1) o professor não “é o único responsável pela aprendizagem que ocorre em
sala de aula: os alunos têm sua parte no processo dinâmico produtor de efeitos de aprendizagem” e para
produzir esse processo dinâmico deve estudar um conjunto de situações, um conjunto de conceitos e um
conjunto de representações, ou seja, um campo conceitual, para compreender o desenvolvimento e a
aprendizagem dos alunos, pois um conceito não se reduz apenas à definição de um objeto matemático.
Esta teoria psicológica do conceito foca no processo de conceituação do aluno e permite analisar a
relação entre conceitos, enquanto conhecimentos explícitos, e os invariantes operatórios implícitos nas
condutas dos alunos quando atuam em uma situação. Enfim, como professores, temos que entender o
que estamos buscando conceituar, construir classes de situações que conduzam os alunos a agir e a
construir conhecimentos por conta própria. Nesse processo é importante ouvir e interpretar o que o aluno
diz e escreve, porque é dessa forma que o professor identifica o significado que ele está construindo
para o conceito em questão.
No entanto, quando falamos de situações temos que estar atentos às diferenças de seus significados de
acordo com o teórico que utilizamos. A situação tratada por Vergnaud, não tem o mesmo sentido que as
citadas por Brousseau, ou a noção de tarefa de Chevallard, embora todos orientem que elas devem
permitir a ação dos alunos. De acordo com Vergnaud (1990, p. 11) “em princípio, toda situação pode
ser reduzida a uma combinação de relações de base com dados conhecidos e desconhecidos, que
correspondem a outras tantas questões possíveis”.
Um ponto que recai na escolha das situações, a serem trabalhadas no ensino de algum conteúdo
matemático, é a compreensão do professor a respeito da razão de ser de tal ensino. Gascón (2003) aponta
que a escola básica esqueceu a razão do que busca ensinar, isto é, “por quê” e “para que” o estudo de
determinado conteúdo na escola. Se nos detemos apenas na reprodução de modelos na escola, as
discussões matemáticas não aparecem. Chevallard (1992), fazendo uma analogia a um ecossistema
biológico, apresenta a noção de ecologia para mostrar que um objeto matemático não pode viver isolado,
em uma instituição, mas fazer parte de um conjunto de saberes em que um garante a sobrevivência do
outro. É neste sentido que procuramos relacionar o ensino de álgebra ao ensino de geometria, além de
buscar razões de ser para seus ensinos.
Para Vergnaud (1998, p. 3), “quando os alunos começam a estudar álgebra com mais intensidade, eles,
necessariamente, contam com a aritmética e, parte das operações algébricas encontra sua justificativa
Ferreira da Silva, M. J.
106
em relações aritméticas.” Já para Gascón (1994), a álgebra deve ser considerada como um meio de
resolver problemas, não isolados, campos de problemas, não só aritméticos, mas em construções
geométricas para as quais a solução algébrica represente globalmente as relações entre dados e
incógnitas em que as letras podem representar incógnitas, número generalizado, variável ou parâmetro,
o que conduz a um modelo algébrico. Nesse sentido, Bolea (2002) apresenta o processo de modelização
algébrica em quatro etapas. A primeira consiste em determinar o sistema que será modelado, ou seja, a
situação intra ou extra matemática que será estudada e que não possui respostas imediatas; a segunda,
na construção do modelo baseada na identificação das variáveis que o caracterizam e de suas relações;
a terceira etapa compreende o trabalho com o modelo para obter um modelo final que mostre as
propriedades do sistema, sua interpretação e os resultados e, na quarta etapa, se amplia o conhecimento
do sistema de estudo a partir de novos problemas. Bolea, Bosch e Gascon 2000, p. 139, especificamente,
afirmam “que um trabalho matemático é algebrizado se puder ser considerado um modelo algébrico de
outro trabalho matemático, o sistema a ser modelado” e para Chevallard (1989) a geometria é um
excelente ponto de partida para conduzir o aluno ao papel modelizador da álgebra.
A escolha das situações cumpre parte do que é necessário para a conceituação, pois para Vergnaud
(1990, p. 14) “são as situações que dão sentido aos conceitos matemáticos, mas o sentido não está nas
próprias situações” Para o autor, uma representação simbólica, uma palavra ou um enunciado
matemático pode ter sentido, ou vários sentidos ou sentido algum para certos indivíduos, porque a
atividade linguística favorece a realização da tarefa e a resolução do problema, tendo em vista que
favorece a representação dos elementos relevantes da situação, da ação e das relações entre a ação e a
situação, ou seja, auxiliam na identificação dos objetos matemáticos decisivos para a conceituação (p.
18). Dessa forma, além da língua materna, tanto no estudo de álgebra, quanto de geometria necessitamos
de representações simbólicas, ou seja, de representações algébricas e de representações figurais. Para
Chevallard (1984) a atividade algébrica envolve atividades de simbolização (letras para designar
quantidades desconhecidas, mas também parâmetros a fim de estudar soluções gerais) e o uso
sistemático de sistema de signos na articulação entre vários registros semióticos.
Por outro lado, para Duval (2004) a conceituação depende da utilização de diferentes representações
para um mesmo objeto matemático, além das transformações de tratamento e conversão que podemos
realizar com uma representação. Para Duval (2006, p. 128) “o verdadeiro desafio de educação
matemática é primeiro desenvolver a capacidade de alterar o registro de representação” porque “o papel
principal dos signos não é representar objetos matemáticos, mas permitir a capacidade de substituir
alguns signos por outros” (p. 106). Assim, “na verdade, as representações mentais úteis ou pertinentes
à matemática são sempre representações semióticas interiorizadas.” (p. 126).
No caso da geometria, afirma que as principais funções das construções geométricas é visualizar, fazer
ver, resumir informações e ajudar a provar e a conjecturar. Para o autor a figura é uma apreensão
cognitiva porque depende da maneira como se olha para ela e por isso identifica quatro apreensões
cognitivas para uma representação figural. A perceptiva que permite a identificação ou a interpretação
imediata das formas de uma figura ou o reconhecimento de forma direta do objeto. A discursiva que
permite interpretar e explicitar propriedades matemáticas da figura, além das que são dadas por uma
legenda ou por hipóteses, em suma, permite a interpretação dos elementos da figura geométrica além do
que está articulado nos enunciados em uma rede semântica de propriedades do objeto. A apreensão
sequencial está associada à ordem seguida durante a construção de uma figura geométrica por meio de
algum instrumento ou para a descrição de uma construção já realizada. Por fim, a apreensão operatória
foca nas possíveis modificações ou transformações possíveis em uma dada figura e as reorganizações
perceptivas que permitem novos elementos para solução de um determinado problema. O autor distingue
três tipos de modificações para a apreensão operatória: a modificação ótica que permite aumentar,
diminuir ou deformar uma figura a partir da produção de uma imagem da figura inicial (homotetia); a
modificação posicional que desloca uma figura sem modificar medidas e forma (rotação, translação, ...)
e a modificação mereológica que decompõe ou compõe uma figura a partir da relação parte-todo, em
particular, a reconfiguração que consiste em reorganizar uma ou mais subfiguras diferentes de uma
dada figura em outra figura e se apoia na percepção. (Duval, 2004).
La construcción de fórmulas: una articulación entre geometría y álgebra
107
Para o autor a resolução de um problema, em geometria, pode solicitar a articulação entre dois ou mais
tipos de apreensão nomeadas de figura geométrica; visualização; heurística e demonstração, e a
construção geométrica. A figura geométrica articula a apreensão discursiva com a apreensão perceptiva;
a visualização as apreensões perceptiva e operatória, embora a apreensão perceptiva não exija
conhecimento matemática ela pode comandar a apreensão operatória; a heurística e a demonstração
articulam as apreensões operatória (subordinada à perceptiva) e a discursiva e, por fim, a construção
geométrica que resulta da articulação entre as operações discursiva e sequencial que requerem a
perceptiva.
Para o estudo de geometria Duval (2011, p. 92) sugere que “é preciso propor tarefas em que se exclua
toda atividade de medida e de cálculo, pois para aprender a ver, os alunos devem aprender a trabalhar
sem recorrer primeiro aos aspectos métricos” e, ainda, que as operações figurais são necessárias para
poder aplicar fórmulas ou para aplicar uma propriedade.
Neste artigo buscamos conceituar medidas de volumes a partir do desenvolvimento de fórmulas para
seus cálculos buscando percorrer os níveis de modelização e o trabalho com o registro algébrico e o
registro figural. As situações, que apresentamos foram baseadas na noção de Atividades de Estudo e
Investigação – AEI que é um modelo didático que propõe, segundo Bosch e Gascón (2010, p. 77) a
reconstrução funcional dos conhecimentos matemáticos situando sua “razão de ser” ou seu “sentido” no
centro do estudo. Esse modelo busca reformular os saberes para fazê-los viver no estudo de questões
que são apresentadas aos alunos e na busca de suas respostas sob a direção do professor. Uma AEI tem
início com a busca de uma questão problemática que deve ser refinada, por alunos e professor, durante
um momento exploratório até que a resposta final seja obtida. Para Matheron e Noirfalise (2007) é
necessário que o professor dê aos alunos a responsabilidade de buscar respostas, à questão proposta,
fazendo-os sentirem que são os autores da matemática que será desenvolvida e que ela tem utilidade.
Porém, reconhecem a existência de restrições à esse modelo didático impostas tanto por professores,
quanto pelo sistema de ensino.
RESULTADOS
No que segue apresentamos as análises das questões das duas AEIs propostas, que podem ser adaptadas
ou modificadas pelo professor de acordo com seus objetivos de ensino.
AEI 1: fórmula para o cálculo da medida do volume de um tetraedro regular obtido de um cubo.
A tarefa consiste em responder a questão: é possível construir uma fórmula para calcular a medida do
volume de um tetraedro regular construído a partir de um cubo?
Essa situação envolve duas variáveis principais a medida da aresta do cubo e a medida da aresta do
tetraedro e será produtora de outras questões e respostas até a obtenção de sua resposta. Para realizá-la
o aluno deve conhecer o cubo, o tetraedro regular, ter alguma familiaridade com o software GeoGebra,
mas desconhecer como se calcula a medida do volume de uma piramide. A primeira questão que pode
surgir é como construir um tetraedro regular baseado em um cubo? Que dá origem a uma subtarefa
que se cumpriria com a construção de um tetraedro regular, baseada em um cubo construído no software.
Essa construção depende da percepção de que um tetraedro regular tem seis arestas congruentes e que o
cubo tem seis faces congruentes, ou seja, do desenvolvimento de uma figura geométrica a partir da
apreensão perceptiva e discursiva, para representar o tetraedro regular (figura 1) cujas arestas são as
diagonais das faces do cubo. A percepção da figura comanda a atividade linguística, discurso, para fazer
as relações necessárias a partir da situação e da ação do aluno. Pode ocorrer de algum aluno não perceber
a relação entre as duas figuras ou não conseguir realizar a construção. Neste caso cabe ao professor
lançar questões para estimular sua apreensão perceptiva (relações entre o cubo e o tetraedro) e, talvez,
a apreensão sequencial lhe mostrando os passos da construção.
Ferreira da Silva, M. J.
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Figura 1: construção de um cubo qualquer e do tetraedro regular
A partir da construção deve surgir a questão: como desenvolver uma fórmula para calcular a medida
do volume desse tetraedro? Para cumprir essa subtarefa é necessário, primeiro, relacionar partes do
tetraedro regular e partes do cubo, possíveis por meio da visualização que articula a apreensão perceptiva
e a operatória. Uma primeira reflexão vem da percepção de que o tetraedro pode ser decomposto em 4
pirâmides congruentes e da trissecção do prisma.
A apreensão perceptiva conduz ao discurso de que o tetraedro pode ser decomposto em 4 pirâmides
congruentes e a apreensão operatória do tipo mereológica permite que ela seja construída, que expande
o discurso para constatar que essas pirâmides são congruentes à pirâmide JKDE (manipulação no
GeoGebra), sendo J, o ponto médio da aresta GE e K o ponto médio de AC (figura 2A), que ainda não
conduz à resposta, mas a questionar, se considerarmos o prisma triangular de base JHE, qual a
relação dele com o cubo? E com o tetraedro?
(A) (B)
Figura 2: Estudo das relações entre o tetraedro regular e o cubo
Essas questões levam a buscar relações entre as partes do tetraedro regular e partes do cubo, possíveis
por meio da visualização que articula a apreensão perceptiva para provocar o discurso de que o prisma
é composto por três pirâmides de mesmo volume que JKDE e de uma justificativa para tal afirmação. A
manipulação da representação feita no GeoGebra (figura 2B), permite ver que o prisma de base JHE
representa um quarto do volume do cubo e a pirâmide JKDE está contida, tanto no tetraedro, quanto no
prisma. Na realização destas construções o aluno mobiliza a apreensão perceptiva e a discursiva, para
fazer as relações, além da apreensão operatória, do tipo mereológica, para decompor o tetraedro e
compor o prisma, ou seja, articular visualização com figura geométrica.
Então, qual seria a relação entre essa pirâmide e o prisma? Espera-se uma apreensão discursiva, que
permita afirmar que o prisma pode ser decomposto em três pirâmides: JKDE, HJDE e EKDA e a
justificativa de que as pirâmides JEDH e EKDA têm mesmo volume, porque possuem as bases HJE e
AKD congruentes e a mesma altura do prisma, portanto, têm mesmo volume. E, que as pirâmides HJDE
e JKDE, também são congruentes, pois têm bases congruentes HJD e JKD (JD é diagonal da face JKDH
do prisma) e têm mesma altura JE. Assim, podemos concluir que se   e  
então  .
Na busca de resposta à questão proposta, outra questão se apresenta qual a relação entre o volume da
pirâmide JKDE e o tetraedro regular? Esta questão deve permitir o desenvolvimento de um discurso
que afirme que essa pirâmide representa um quarto do tetraedro e ainda um terço de um quarto do cubo,
La construcción de fórmulas: una articulación entre geometría y álgebra
109
que conduz à representação algébrica:
 , considerando que VT representa a medida
do volume do tetraedro e VC a medida do volume do cubo e, por um tratamento (mudança de variável),
concluir que

sendo que a representa a medida da aresta do cubo. Neste ponto,
com as conversões de uma representação figural, para um discurso na língua natural e desta para uma
representação algébrica, que a álgebra começa a mostrar seu papel na construção do modelo para a
situação apresentada, pois as expressões algébricas são identificadas como fórmulas ou modelos que,
neste caso, dependem de construções algébricas e geométricas. Se, na escola, ficamos apenas na
reprodução de modelos as discussões matemáticas não aparecem.
Uma outra solução, por truncatura do cubo, depende da percepção de que se pode obter o tetraedro
regular construído, retirando 8 pirâmides com vértices em A, H, F e C congruentes à pirâmide AKDE
que tem 1/12 do volume do cubo que, simbolicamente. pode ser representada por 
 . Por
meio da apreensão discursiva pode-se concluir e representar que  e, portanto,

.
Nesta solução ocorrem as mesmas conversões e tratamentos da solução anterior, mas até aqui
desenvolvemos uma fórmula para calcular a medida do volume de um tetraedro regular em função da
medida da aresta do cubo que lhe deu origem. Logo, temos que generalizar essa fórmula para um
tetraedro regular qualquer que gera o seguinte questionamento: podemos construir uma fórmula para
esse cálculo a partir da medida da aresta do tetraedro regular?
As apreensões das figuras permitem observar e afirmar que, como todas as arestas do tetraedro regular
são diagonais das faces do cubo, elas são congruentes e, portanto, se forem representadas por x, podemos
dizer que . Para obter a resposta, ao questionamento proposto, há que se proceder a uma
mudança de variável, substituindo
na fórmula anterior para obter
󰇡
󰇢

que permite calcular a medida do volume de um tetraedro regular a partir da medida de sua aresta.
Assim, construímos uma fórmula para calcular a medida do volume de um tetraedro regular, em função
da medida de sua aresta que, em termos algébricos, solicitou a mobilização de um raciocínio funcional
e a substituição de variáveis, pontos fundamentais no processo de construção de um modelo (fórmula),
que vai além do cálculo algébrico, e da conceituação de volumes de sólidos, no entendimento de que as
fórmulas resultam de construções geométricas e algébricas.
Neste ponto do trabalho, o professor pode institucionalizar a trissecção do prisma em pirâmides de
mesmo volume e apresentar o princípio de Cavalieri ou associá-lo à situação, sem dispensar as
demonstrações necessárias, bem como apresentar outras situações como dar um tetraedro regular
qualquer e perguntar qual a medida da aresta do cubo que o gerou.
Para dar continuidade ao estudo, pode lançar uma nova questão: se considerarmos agora, um tetraedro
qualquer é possível obter uma fórmula em função de sua altura? Aqui, observando as figuras e
conclusões anteriores os alunos podem enunciar e mostrar que a medida do volume de um tetraedro
qualquer (figura 3) é igual a um terço do produto da medida da área da base pela medida de sua altura.
Baseando-se nas situações anteriores, podemos compor um prisma a partir de uma pirâmide qualquer e
a trissecção do prisma e o princípio de Cavalieri permitem dar a à questão.
Ferreira da Silva, M. J.
110
Figura 3: pirâmide qualquer e prisma
E para pirâmides de outros tipos, que não são triangulares? Considerando novas construções e as
conclusões anteriores os alunos podem verificar que, uma pirâmide de base qualquer, pode ser
decomposta em pirâmides triangulares e provar que a medida de seu volume pode ser obtida pelo
produto da medida da área da base pela medida de sua altura, como comumente é feito no ensino.
Na realização das tarefas apresentadas até o momento o aluno mobilizou conhecimentos anteriores para
construir novos conhecimentos que, por sua vez, devem ser mobilizados em outros tipos de situações,
como é requerido na última fase do processo de modelização algébrica. Podemos então realizar a AEI2,
com a questão: dado um tetraedro regular qual a medida do volume do sólido que se obtém quando
se faz sua truncatura a partir dos pontos médios de suas arestas?
Essa situação deve conduzir os alunos a realizarem a construção da figura 4, por meio da apreensão
operatória do tipo mereológica, e perceber que, a princípio, o novo sólido é obtido pela retirada de 4
tetraedros congruentes ao tetraedro EFGD que tem arestas medindo
, sendo x a medida do tetraedro
regular inicial, ou seja,  em que representa a medida do volume do novo sólido,
representa a medida do volume do tetraedro inicial e a medida do volume dos tetraedros retirados,
isto é,
 󰇡
󰇢

 , ou seja tem a metade da medida do tetraedro regular inicial.
Figura 4: truncatura do tetraedro regular
Os resultados das situações anteriores e as apreensões perceptiva e operatória conduzem à construção
da figura e à afirmação de que o novo sólido tem a metade do volume do tetraedro inicial e à novas
questões: que sólido resultou dessa truncatura? Qual a fórmula para calcular a medida de seu
volume em função de sua aresta?
A manipulação da representação no GeoGebra permite verificar que o sólido resultante é um octaedro
regular e, ainda que, representando a medida de sua aresta por y, sabemos que  e, portanto,
 󰇛󰇜
. O professor pode pedir a validação desse resultado questionando: podemos verificar
La construcción de fórmulas: una articulación entre geometría y álgebra
111
esse resultado, considerando que um octaedro é formado por duas pirâmides de base
quadrangular?
Figura 4: Octaedro regular obtido pela truncatura do tetraedro regular
Neste caso, a base quadrangular tem lado medindo y, porque são arestas do octaedro e, observando o
triângulo retângulo GLE (figura 5), temos que EL representa metade da diagonal do quadrado e tem
mesma medida que GL, logo a altura da pirâmide mede 
. Assim, a medida do volume do
octaedro é dada por
.
Essas situações podem gerar outras questões para familiarizar os estudantes com os novos
conhecimentos como, por exemplo, associar as medidas de áreas das superfícies desses sólidos em
situações de construção de embalagens de capacidades determinadas.
Pudemos ver por essas AEIs uma relação estreita entre geometria e álgebra que mostram a importância
de se ampliar o ensino de geometria para além da memorização de fórmulas e o ensino de álgebra, para
além do cálculo algébrico, com a utilização de parâmetros para a produção e exploração de fórmulas e
a mudança de variáveis para o desenvolvimento do pensamento funcional.
Em termos geométricos vimos a importância das apreensões da figura para a construção de
conhecimentos em momentos de exploração e ainda a possibilidade de trabalhar com a álgebra focando
em problemas de outras áreas, como afirma Gascón (1995). Em termos do processo de modelização
cumprimos suas etapas quando escolhemos uma situação intra-matemática que questiona, a princípio, a
construção de uma fórmula para o cálculo da medida do volume de um tetraedro regular construído a
partir de um cubo, em que as variáveis são a medida da aresta do cubo e a medida da aresta do tetraedro
regular. Na sequência, as relações entre essas variáveis permitiram construir um modelo algébrico para
calcular a medida do volume do tetraedro em função da medida da aresta do cubo e da medida de sua
aresta. A interpretação desses resultados conduziu a enunciar outros problemas como a truncatura do
tetraedro regular.
Esperamos que as situações aqui trabalhadas inspirem professores a buscarem outros caminhos para o
ensino e, neste sentido, outros exemplos, do tipo aqui tratado, podem ser encontrados em Silva e
Almouloud (2013) quando buscam a medida do volume de um octaedro regular obtido por truncatura
em um cubo e por relações entre suas partes, em que concluem que o octaedro tem um sexto da medida
do volume do cubo e, generalizam, esse resultado para obter a medida do volume do octaedro em função
da medida de sua aresta. Na sequência, os autores introduzem a construção de uma fórmula para o
cálculo da medida do volume de um cuboctaedro obtido a partir do octaedro.
Nesse mesmo sentido, Silva, Gaita e Salazar (2017) analisam uma praxeologia matemática para a
construção dessa fórmula, mas baseadas em um cuboctaedro obtido por truncaturas de um cubo, com
foco nos níveis de algebrização e modelização, em uma formação continuada de professores. Esta
situação foi verificada experimentalmente, com alunos do quarto ano do secundário (14 anos), por
Ferreira da Silva, M. J.
112
Gellimmer Gutierrez Castillo, em sua investigação de mestrado ainda não defendida na Universidad
Nacional de Piura, em que mostra que os alunos chegaram à fórmula e que o GeoGebra foi fundamental
para esse resultado. Almeida e Silva (2016) apresentam o estudo do octaedro truncado construído com
o software Cabri 3D e Silva (2020) tratando de relações entre geometria e álgebra discute a resolução
geométrica de equações quadráticas. Com relação à construção de modelos planos de pirâmides temos
Silva e Almouloud (2018, 2020).
Embora, alguns possam questionar o tempo para o desenvolvimento desse trabalho, a construção de
conhecimentos e os ganhos cognitivos dos alunos conduzem a serem mais produtivos e autônomos em
situações futuras.
DISCUSSÃO
As Atividades de Estudo e Investigação aqui apresentadas mostram que podemos relacionar geometria
e álgebra, tanto para o desenvolvimento do pensamento geométrico quanto do algébrico. Mostra ainda
que é possível trabalhar efetivamente a álgebra, para além do cálculo algébrico, a partir de problemas
de outras áreas, matemáticas ou não, pois as questões poderiam estar relacionadas a algum problema da
realidade. Outra questão importante que pode ser verificada nas situações é a construção de relações
geométricas sem interferência da métrica, ou seja, do tratamento numérico, que é comum no ensino
quando enfatiza a mudança de unidades de medida, sem se preocupar com as características da grandeza
propriamente dita. No caso, dos sólidos, por exemplo, as grandezas capacidade e volume se confundem
sem que o aluno perceba suas diferenças e a dependência da medida (número) da escolha da unidade,
que o levaria a perceber, em particular, que podemos ter dois sólidos de mesmo volume representados
por medidas diferentes.
O papel da linguagem natural para a construção de um discurso que descreva as relações construídas a
partir das apreensões das figuras têm importância, tanto na aprendizagem geométrica quanto algébrica,
porque permitem o desenvolvimento da ação e autonomia dos alunos que, por sua vez, permitem a
vivência de parte da conceituação de volumes e capacidade, e das etapas do processo de modelização
algébrica. Esse processo nos mostra a álgebra em seu papel de modelar uma situação, neste caso, com a
construção de uma fórmula, que pode ser ampliado para outros sólidos ou outras situações. O importante
é que as situações conduzam os alunos à ação na busca de respostas, que não podem ser imediatas, por
mobilização de conhecimentos já adquiridos na procura de um modelo algébrico (fórmula), ao contrário
do que, em geral, acontece no ensino, quando apenas realizam cálculos numéricos ou algébricos na
busca de uma medida específica.
Fica evidente ainda, nos momentos de exploração da situação, o papel das apreensões das figuras na
construção dos conhecimentos de cada aluno, porque elas são construídas ou mobilizadas
individualmente, pois os alunos não veem a mesma figura da mesma forma. É aqui que entra o papel de
mediador do professor para a construção de conhecimento.
A importância do dinamismo das representações construídas no GeoGebra é incontestável,
principalmente, no estudo de sólidos geométricos, porque permite olhar para a figura de diferentes
pontos de vista e medidas.
Enfim, temos que nos questionar a respeito do que se ensina e não focar apenas nas dificuldades dos
alunos, ou seja, por que eles têm dificuldades? Como estamos ensinando? Ou seja, voltar a Gascón
(2003) por que existe o que existe e porque não existe o que não existe?.
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