Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
82
Artículo original
Valoración de una propuesta educativa para el desarrollo del razonamiento
algebraico a través de la noción de linealidad
Evaluation of an educational proposal for the development of algebraic
reasoning through the notion of linearity
Raúl Alfredo Supo Orihuela 1,a
Cecilia Rosa Gaita Iparraguirre 2,b
1 Innova Schools. Lima, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2639-9569
raul.supo@innovaschools.edu.pe
2 Pontificia Universidad Católica del Perú. Lima, Perú
b ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7827-9262
cgaita@pucp.edu.pe
Información
Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 26/05/2021.
En esta conferencia presentamos una síntesis de una investigación cuyo objetivo fue
valorar, en términos de la evolución del Razonamiento Algebraico Elemental (RAE), la
propuesta de una institución educativa particular teniendo como foco la noción de
linealidad. Herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico son usados para elaborar
constructos teóricos que nos permitieron lograr nuestro objetivo. La noción de
configuración ontosemiótica fue aplicada para elaborar un significado de referencia de
la linealidad en la formación básica y los niveles del RAE que fueron adaptados a esta
noción para valorar su práctica matemática. Posteriormente, se analizaron documentos
oficiales de la institución educativa para determinar si está propicia la evolución del
RAE a través de dicha noción. Los resultados determinan que en dicha institución la
noción de linealidad se desarrolla en los diferentes grados del nivel primario y
secundario y, además, se propicia la evolución del RAE en los estudiantes.
Palabras clave:
Enfoque Ontosemiótico,
Razonamiento
Algebraico Elemental,
Linealidad, Enseñanza
de las matemáticas.
Information
Abstract
Keywords:
Ontosemiotic approach,
Elementary Algebraic
Reasoning, Linearity,
Mathematics teaching.
In this research we present a synthesis of an investigation whose objective was to
evaluate, in terms of the evolution of Elementary Algebraic Reasoning (EAR), the
proposal of a particular educational institution focusing on the notion of linearity.
Theoretical tools of the Ontosemiotic Approach are used to elaborate theoretical
constructs that allowed us to achieve our objective. The notion of ontosemiotic
configuration was applied to elaborate a reference meaning of linearity in basic
education and the RAE levels were adapted to this notion to assess its mathematical
practice. Subsequently, official documents of the educational institution were analyzed
to determine whether it favors the evolution of the RAE through this notion. The results
show that in this institution the notion of linearity is developed in the different grades of
the primary and secondary level and, in addition, the evolution of the RAE is favored in
the students.
INTRODUCCIÓN
El desarrollo del Razonamiento Algebraico Elemental (RAE) ha tomado relevancia en los últimos años,
esto ha significado un cambio en la concepción de a lo que enseñar Álgebra se refiere. El foco de este
este razonamiento dicta que la actividad matemática debe centrarse en la generalización y formalización
de patrones de regularidad, como bien señalan Godino, Gonzato, et al. (2014). Esta concepción del
álgebra, que le da mayor importancia a los procesos matemáticos antes que a los contenidos, ha sido a
adoptada por muchos sistemas de formación básica escolar. Particularmente, el Currículo Nacional del
Perú (MINEDU, 2016) plantea que para ser competente en matemática se debe desarrollar cuatro
competencias a lo largo de la formación básica regular. Consideramos que esta propuesta atiende a la
Quintaesencia 2021;12: 82-90
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.38
Supo Orihuela, R. A. y Gaita Iparraguirre, C. R.
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nueva concepción del Álgebra, ya que sobre la competencia Resuelve problemas de regularidad,
equivalencia y cambio el MINEDU (2016) señala: “Consiste en que el estudiante logre caracterizar
equivalencias y generalizar regularidades y el cambio de una magnitud con respecto a otra, a través de
reglas generales” (p.73). Esto va acorde a lo señalado por Godino, Aké, et al. (2014), ellos señalan que
el razonamiento algebraico implica formalizar y generalizar patrones y regularidades.
El trabajo de Burgos y Godino (2020) señala que la naturaleza algebraica de la proporcionalidad y sus
diferentes significados permiten que emerjan distintos procesos y objetos algebraicos, tales como la
generalización y la función lineal, respectivamente. En la misma línea, Acosta (2011) muestra que el
desarrollo de la noción de linealidad se da a través de diversos significados, prestando mayor atención
a la noción de proporcionalidad y función lineal. Esto nos permitió suponer que la noción de linealidad
permite el desarrollo del RAE y que dicho desarrollo debe darse a lo largo de la formación básica. Es
así que esta investigación tiene por objetivo valorar la propuesta de una institución educativa en términos
del desarrollo del RAE, a partir del tratamiento que esta propone para la linealidad.
En esta investigación se hacen uso de algunas herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico del
conocimiento y la instrucción matemáticos (EOS) y se adaptan los niveles del RAE para la noción de
linealidad, teniendo en cuenta sus diferentes significados. Con dichos elementos se analiza la propuesta
educativa y se presentan los resultados.
MATERIAL Y MÉTODOS
En el EOS el significado de un objeto matemático, como la linealidad, está ligado a las prácticas
asociadas a él. Como bien señalan Godino et al. (2007), la práctica matemática es toda actuación que
realiza alguien al resolver un problema. Es así que se define el significado de referencia como un sistema
de prácticas operatorias y discursivas que permiten la construcción de algún significado matemático,
prestando atención a las situaciones – problemas (Godino, Rivas et al., 2014).
Investigaciones asociadas a la linealidad (Acosta, 2011; Burgos y Godino, 2020) nos han permitido
proponer un significado de referencia para dicha noción en la educación básica, cada significado es
descrito en base a las situaciones asociadas a ellos. Es así que, en el nivel primario y secundario de la
formación básica, la linealidad se presenta a través de distintos significados:
Significado informal: En este significado se deben trabajar situaciones que permitan desarrollar
patrones de percepción y de cambio. En este significado no contempla aún nociones
matemáticas de forma estricta, por lo tanto, el razonamiento es aún informal y apela al
conocimiento propio del estudiante.
Significado aritmético: Este significado representa un significado previo a la proporcionalidad.
Representa el primer contacto con nociones como: magnitudes, proporciones y razón unitaria
(razón constante de cambio), aunque sin hacer mención a dichas nociones.
Las situaciones se deben caracterizar por el uso de operaciones aritméticas (multiplicación y
división) para su debida solución, pero relacionado al comparar dos magnitudes. Es decir, no
son situaciones en las que solo se realicen operaciones aritméticas como “¿cuánto es ?”.
Significado proporcional: En este significado se trabajan nociones propias de las magnitudes
directamente proporcionales: proporción, fracciones equivalentes y constante de
proporcionalidad (razón unitaria). Podemos decir que es el significado en el que se debe tener
en cuenta conceptos matemáticamente formales.
Las situaciones deben estar asociadas a hallar un valor determinado en una proporción, al
cálculo de la constante de proporcionalidad o razón unitaria, completar tablas de
proporcionalidad y encontrar relaciones de proporcionalidad entre magnitudes (generalización
en ).
Significado funcional: Este significado representa una consolidación de la linealidad en la
formación básica. Se trabaja la noción de función lineal de manera formal y sus
propiedades:
Valoración de una propuesta educativa para el desarrollo del razonamiento algebraico a través de la noción de linealidad
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Las situaciones pueden presentarse en diversos contextos: gráficos, tabulares, conjuntos,
analíticos y en patrones lineales (secuencias gráficas y numéricas). Aunque dicho patrón de
carácter lineal puede encontrarse también en el significado proporcional, consideramos
oportuno incluirlo en este significado ya que las actividades con patrones tienen la característica
que demanda encontrar una regla general de formación, la cual debe ser una expresión lineal o
lineal afín.
Las situaciones de este significado se caracterizan por demandar encontrar una formalización
en lenguaje alfanumérico de la función lineal. Esta formalización debe darse a partir de
reconocer que “un aumento constante en la variable x” determina “un aumento constante en
la variable y”.
Por otro lado, en Godino, Aké et al. (2014) y Godino et al. (2015) se definen niveles de razonamiento
algebraico de las prácticas matemáticas escolares para el nivel primario y secundario, respectivamente.
Esta descripción muestra los procesos algebraicos que se deben movilizar ante cualquier objeto
algebraico:
Nivel 0: Ausencia de álgebra. Objetos extensivos (particulares) expresados en un lenguaje
natural. Es posible la aparición de algún símbolo, esto no implica la generalización.
Nivel 1: Intervienen objetos intensivos (generales) en un lenguaje natural, numérico o gestual.
En tareas funcionales la generalidad se expresa en lenguaje no alfanumérico.
Nivel 2: Uso de variables para representar un objeto intensivo. Se resuelven ecuaciones de la
forma y en tareas funcionales la generalización se expresa en lenguaje
alfanumérico, pero aún no se realizan transformaciones a dichas expresiones.
Nivel 3: La generalidad se formaliza en expresiones alfanuméricas y se realizan tratamientos
para encontrar expresiones equivalentes (transformaciones). Se resuelven ecuaciones de la
forma . Nivel consolidado de algebrización.
Nivel 4: Uso de parámetros para representar familias de funciones y ecuaciones, aunque el
parámetro es presentado en su forma básica: un valor constante que no cambia (Drijvers, 2003,
como se citó en Godino et al., 2015).
A partir de esta graduación general, proponemos lo siguiente:
Una adaptación de los niveles del RAE a la noción de linealidad, de acuerdo a los procesos
algebraicos propios de cada significado.
Una valoración en términos de la evolución del RAE a la institución educativa Innova Schoos,
respecto a los significados de la linealidad.
RESULTADOS
Niveles del Razonamiento Algebraico y su relación con los distintos significados de la linealidad
en la educación básica
En el apartado anterior mostramos que cada significado pone en juego distintos procesos y objetos
algebraicos, en base a ello se realiza una adaptación de los niveles del RAE para la noción de linealidad.
Es decir, se reconoce qué procesos algebraicos emergen al resolver situaciones propias de cada
significado y se les asocia un nivel del RAE. La adaptación que proponemos se limita al nivel 4 del
RAE, principalmente porque los niveles posteriores no son propios de la formación básica.
Nivel 0 del RAE para la noción de linealidad
Este nivel está asociado al significado informal, aritmético y a algunas situaciones de patrones lineales.
La actividad matemática se caracteriza por lo siguiente:
Supo Orihuela, R. A. y Gaita Iparraguirre, C. R.
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El uso del lenguaje natural, icónico, numérico y gestual.
El reconocimiento de patrones de percepción y cambio.
En patrones lineales, se puede hallar términos cercanos a los dados en las sucesiones mediante
operaciones aritméticas.
Nivel 1 del RAE para la noción de linealidad
Este nivel está asociado al significado aritmético, proporcional y a algunas situaciones de patrones
lineales. La actividad matemática se caracteriza por lo siguiente:
Aparece la generalización al hallar constantes de proporcionalidad (razones unitarias), aunque
expresado en un lenguaje no alfanumérico.
Aparecen objetos extensivos en equivalencias como
para hallar un valor desconocido en
una proporción, siendo posible el uso de una incógnita.
En patrones lineales, se reconoce el patrón de formación a partir de recuentos entre los términos
de la sucesión, pero este aún no se formaliza.
Nivel 2 del RAE para la noción de linealidad
Nivel asociado al significado proporcional, funcional y algunas situaciones de patrones
lineales. La actividad matemática se caracteriza por lo siguiente:
Se emplean intensivos al generalizar y formalizar situaciones de proporciones y funciones.
Aunque no se realizan transformaciones para obtener expresiones equivalentes.
Se resuelven ecuaciones de la forma o
que surgen de las proporciones que se
establecen para hallar un valor desconocido.
En tareas asociadas a los patrones lineales se expresa la regla de formación en un lenguaje
alfanumérico.
Nivel 3 del RAE para la noción de linealidad
Nivel asociado al significado funcional de la linealidad. La actividad matemática se caracteriza por:
Aparecen los procesos de generalización, formalización y transformación. La actividad se debe
desarrollar en un lenguaje alfanumérico propiamente.
Se resuelven ecuaciones de la forma ; por ejemplo, al igualar dos funciones.
Además de realizar transformaciones a sus expresiones para obtener equivalencias.
Nivel 4 del RAE para la noción de linealidad
Este nivel es propio del significado funcional y representa el primer acercamiento a la noción de
parámetros, por lo que el grado de generalización es mayor al nivel anterior. El parámetro puede ser
abordado en sus diferentes significados:
Como un valor constante que no cambia: se asigna un valor al parámetro “a” en la función lineal
.
Como un valor cambiante: se interpreta cómo es el cambio de la función al cambiar
el parámetro “a”.
Como incógnita: se resuelven ecuaciones con parámetros al igualar dos expresiones de
funciones lineales.
Como generalizador: se usan los parámetros para generalizar familias de funciones.
Estos niveles fueron utilizados para valorar la propuesta educativa de Innova Schools. Esta valoración
fue en base a determinar si los ejercicios propuestos por dicha institución para cada significado de la
Valoración de una propuesta educativa para el desarrollo del razonamiento algebraico a través de la noción de linealidad
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linealidad propician la evolución del RAE desde el 1er grado de primaria hasta el 4to grado de
secundaria. En la siguiente sección se muestran los resultados de esta valoración.
Valoración de la institución Innova Schools respecto a la evolución del RAE
Con la finalidad de analizar si la institución educativa propicia la evolución del RAE, se analizaron las
situaciones asociadas a la linealidad. Estas situaciones fueron seleccionadas de las sesiones de clase que
la institución Innova Schools propone a sus estudiantes.
Dado que un mismo significado es abordado en diferentes grados, nuestro análisis se enfoca en
determinar si cuando se abordan situaciones asociadas a un mismo significado en diferentes grados,
estas demandan diferentes niveles del RAE. A continuación, presentamos los resultados de este análisis:
Evolución del RAE en situaciones asociadas al significado informal.
Figura 1. Situaciones del significado informal
Las situaciones asociadas a este significado aparecen en el 1er y 5to grado de la primaria. Estas
tareas tienen la finalidad de reconocer figuras semejantes por sus características (1er grado) y
cómo es el cambio de una figura respecto a otra (5to grado). En ambos casos no se requiere de
algún proceso algebraico para dar solución a los problemas, por lo que no se determina
evolución del RAE en tareas asociadas a este significado.
Evolución del RAE en situaciones asociadas al significado aritmético.
Este significado aparece en ambos niveles: primaria (2do, 3er, 4to, 5to y 6to grado) y secundaria
(1er y 2do grado). A continuación, unos ejemplares de dichos grados:
Figura 2. Situaciones del significado aritmético
En las situaciones propuestas de los primeros grados la actividad matemática se centra en
encontrar un valor desconocido, mediante operaciones aritméticas, a partir de la relación de dos
magnitudes. Algo similar ocurre en la situación del nivel secundario, se demanda multiplicar las
dimensiones de una figura. Dado que en estas situaciones se requiere del cálculo aritmético se
determina ausencia de álgebra (nivel 0 del RAE).
Evolución del RAE en situaciones asociadas al significado proporcional.
Este significado aparece en ambos niveles: primaria (3ro, 4to, 5to y 6to grado) y secundaria (1er
y 2do grado). A continuación, unos ejemplares de dichos grados:
Supo Orihuela, R. A. y Gaita Iparraguirre, C. R.
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Figura 3. Situaciones del significado proporcional
En este significado de la linealidad sí se evidencia un desarrollo del RAE. La situación del 3er
grado se limita a un cálculo aritmético (nivel 0), pero en la situación del 5to grado se observa
una actividad que demanda relacionar dos magnitudes y con ello hallar valores desconocidos
con ecuaciones de la forma
(nivel 2). Esto es más evidente en la actividad del 8vo
grado. Por otro lado, la actividad del 7mo grado demanda encontrar la razón unitaria entre dos
magnitudes y ver cómo esta varía, esta razón unitaria es una forma de generalizar sin hacer uso
de un lenguaje alfanumérico (nivel 1).
Evolución del RAE en situaciones asociadas al significado en patrones lineales.
Este significado aparece en ambos niveles: primaria: (1er, 2do, 3er, 4to y 6to grado) y secundaria
(2do y 3er grado). A continuación, unos ejemplares de dichos grados:
Figura 4. Situaciones del significado en patrones lineales
En este tipo de situaciones también se evidencia un desarrollo del RAE. En las situaciones del
1er grado, similares a las del 2do y 3er grado, la actividad se centra en hallar valores cercanos
de secuencias numéricas (nivel 0). Es a partir de las situaciones del 4to grado en que se observa
un aumento en la demanda de la tarea, es así que dicha situación requiere que se exprese la regla
de formación en un lenguaje natural (nivel 1). Niveles 2 y 3 del RAE se observa en la actividad
del 6to grado, en la que explícitamente se pide hallar una expresión para un término “n”. Así
también sucede en la actividad del 3er grado de secundaria.
Valoración de una propuesta educativa para el desarrollo del razonamiento algebraico a través de la noción de linealidad
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Evolución del RAE en situaciones asociadas al significado funcional.
Este significado es característico del nivel secundario (1er, 2do, 3er y 4to grado), pero también
evidenciamos su uso en el 4to grado del nivel primaria. A continuación, unos ejemplares de dichos
grados:
Figura 5. Situación del significado funcional en primaria
La situación mostrada centra la actividad matemática en completar tablas de proporcionalidad y
reconocer la regla de formación en un lenguaje natural (nivel 1). Esta situación propone términos de
funciones, como valor de entrada y salida, de una forma más familiar a los estudiantes.
Figura 6. Situaciones del significado funcional en secundaria
Las situaciones para el nivel secundaria, en general, demandan encontrar la regla que exprese la
relación entre dos magnitudes haciendo uso de un lenguaje alfanumérico (nivel 2 del RAE).
Esto se evidencia en las situaciones del 8vo y 9no grado, de forma similar ocurren el 7mo grado.
Supo Orihuela, R. A. y Gaita Iparraguirre, C. R.
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Además, en algunos casos, como en la actividad del 8vo grado, la actividad demanda encontrar
para qué valor de “x” las funciones son iguales, por lo que se resuelven ecuaciones de la forma
(Nivel 3 del RAE).
Es en el 4to grado de secundaria en que la actividad matemática deja de lado el hallar
expresiones que generalicen la relación entre dos magnitudes, la actividad se centra en trabajar
con expresiones en un lenguaje puramente algebraico. Las situaciones demandan reconocer si
una función es creciente o decreciente, interpretar funciones por tramos, hallar pendientes y el
trabajo con parámetros. Por lo que se determina un nivel 4 del RAE
DISCUSIÓN
Nuestro estudio tuvo por interés valorar una propuesta educativa en términos de si está propicia la
evolución del Razonamiento Algebraico en actividades asociadas a la noción de linealidad. Para ello, se
elaboró un significado de referencia de la noción de linealidad para la formación básica. Este significado
responde a los elementos que surgen en toda práctica matemática y quedó caracterizado por cómo deben
ser sus situaciones. Así también, se adaptaron y relacionaron los niveles del RAE a los significados
propuestos para la noción de linealidad, a fin de poder valorar la práctica matemática que se desprende
de trabajar las situaciones de dicha noción matemática.
Los resultados muestran que la propuesta de la institución Innova Schools trabaja los diferentes
significados de la linealidad y, además, sí se propicia la evolución del RAE al trabajar situaciones
asociadas a la linealidad. En el nivel primario la actividad se centra en los significados informal,
aritmético y proporcional y en el nivel secundario, en el significado funcional. En relación a la evolución
del RAE, es en los primeros grados del nivel primario que la actividad algebraica es de nivel 0 y 1, luego
esta actividad aumenta hasta los niveles 2 y 3 en los grados posteriores de dicho nivel, y en el nivel
secundario la actividad matemática aumenta hasta el nivel 4. Sin embargo, pese a reconocer una
evolución del Razonamiento Algebraico consideramos que se debe evaluar la propuesta en los grados
del nivel secundario (7mo, 8vo y 9no), ya que muchas de las situaciones tienen el mismo rigor de
exigencia del RAE. Dichas tareas se centran en reconocer la regla de formación general, limitando la
actividad a un nivel 2 y 3 del RAE. Recién en el 10mo grado la actividad matemática permite reconocer
rasgos de un nivel 4.
Finalmente, consideramos que nuestro trabajo debe ser una referencia para futuras investigaciones que
tengan como objeto de estudio la evolución del RAE, el desarrollo de la linealidad y la implementación
de situaciones didácticas sobre dicha noción. Así también, consideramos que nuestros aportes teóricos
pueden ser utilizados para estudiar la actividad matemática de estudiantes en la formación básica.
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