Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
54
Artículo original
Propuesta didáctica basada en modelización matemática para el aula
multigrado. El caso de la topografía
Didactic proposal based on mathematical modeling for the multigrade
classroom. The case of topography
Miguel Ángel Rodríguez Mejía 1
Avenilde Romo Vázquez 2,b
1 Instituto Politécnico Nacional – Centro de Investigación en Ciencia
Aplicada y Tecnología Avanzada, México
miguel_rodme@hotmail.com
2 Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, México
b ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1364-5997
avenilde.romo@cinvestav.mx
Información
Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 26/05/2021.
Se presenta una investigación enfocada en el diseño e implementación de un dispositivo
didáctico conocido como Recorrido de Estudio e Investigación (REI), fundamentado en
el paradigma del cuestionamiento del mundo y en la Teoría Antropológica de lo
Didáctico, para un aula multigrado rural de una secundaria colombiana. El objetivo del
REI es indagar una cuestión principal, ¿cómo levantar un terreno para la siembra? Lo
que posibilita generar relaciones entre las matemáticas escolares y la topografía. En
particular, se considera el levantamiento topográfico de terrenos para el cultivo,
actividad que es de interés para la comunidad en la que se sitúa la escuela. La
metodología de investigación se inspira en la Ingeniería Didáctica (Artigue, 2020),
adecuando el análisis preliminar al estudio del levantamiento topográfico y elucidando
un modelo praxeológico de referencia, fundamental en la determinación de la cuestión
generatriz y en el diseño del REI. El análisis preliminar de la topografía permite generar
un diseño didáctico en el que se relacionan justificaciones matemáticas y topográficas
para llevar al aula con una actividad no escolar como lo es el levantamiento topográfico
con cinta.
Palabras clave:
Cuestionamiento del
mundo, recorrido de
estudio e investigación,
aula multigrado,
topografía, Teoría
Antropológico de lo
Didáctico.
Information
Abstract
Keywords:
Questioning the world,
study and research path,
multigrade classroom,
topography,
Anthropological Theory
of Didactics.
This research is focused on the design and implementation of a didactic device known
as Research and Study Route (REI), based on the paradigm of questioning the world and
the Anthropological Theory of Didactics, for a rural multigrade classroom in a
Colombian high school. The objective of the REI is to investigate a main question, how
to raise a field for planting? This makes it possible to generate relations between school
mathematics and topography. In particular, it considers the topographic survey of land
for cultivation, an activity that is of interest to the community in which the school is
located. The research methodology is inspired by Didactic Engineering (Artigue, 2020),
adapting the preliminary analysis to the study of the topographic survey and elucidating
a praxeological model of reference, fundamental in the determination of the generating
question and in the design of the REI. The preliminary analysis of topography allows
generating a didactic design in which mathematical and topographic justifications are
related to bring to the classroom with a non-school activity such as the topographic
survey with tape.
INTRODUCCIÓN
En Colombia, el sistema de educación formal se constituye a partir de 12 niveles de estudio, organizados
de forma secuencial y escalonada (ley 115 de 1994). Es decir que, es prerrequisito aprobar un año para
avanzar al siguiente y así mismo el nivel de complejidad de estudios se incrementa a medida que se
avanza en el curso de estudios. Mayoritariamente la educación se centra en un modelo de aula
Quintaesencia 2021;12: 54-61
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.29
Propuesta didáctica basada en modelización matemática para el aula multigrado. El caso de la topografía
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unigradual: es decir, que en cada salón de clases se organizan estudiantes pertenecientes al mismo nivel
de estudios. No obstante, es común que en las escuelas de zonas apartadas se implementen las aulas
multigrado a raíz de condiciones como la baja matrícula, el reducido número de maestros, la ubicación
geográfica, entre otros. Este es el caso de la escuela en la que se desarrolla este estudio. Las aulas
multigraduales están organizadas en grados de sexto y séptimo (entre 11 y 13 años), grados octavo y
noveno (14 a 15 años) y grados décimo y undécimo (16 a 17 años). Esta educación se define como
posprimaria y media rural (Ministerio de Educación Nacional [MEN], 2010). El docente enfrenta la
complejidad de plantear actividades comunes, debido a la fragmentación en grados y a mostrar el
potencial de las matemáticas para comprender, cuestionar y modificar el entorno.
Ante la cuestión ¿cuál es la razón de ser de la enseñanza de las matemáticas en el aula multigrado? El
análisis de los referentes curriculares en matemáticas (Estándares Básico de Competencias, Derechos
Básicos de Aprendizaje y el Manual de Implementación de la Posprimaria Rural) se ve limitado ya que
se basa en una educación por competencias y unigradual. La modelización matemática es considerada
una de las herramientas más útiles en el desarrollo de actividades comunitarias y profesionales. Sin
embargo, su integración en la enseñanza de las matemáticas al largo plazo difícilmente se alcanza.
Algunos trabajos han mostrado que el análisis de contextos comunitarios y profesionales (e.g., Covián
y Romo, 2014) permiten mostrar necesidades matemáticas reales y formas de enfrentarlas. Esto motivó,
el cambio de un problema docente a la construcción de un problema de investigación (Gascón, 2011),
eligiendo para ello, la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) y el paradigma educativo del
cuestionamiento del mundo (Chevallard, 2013). La pregunta de investigación establecida es la siguiente:
¿Qué condiciones y restricciones institucionales posibilitan la integración de una propuesta didáctica
enmarcada en el cuestionamiento del mundo en la que se relacionan saberes matemáticos y cotidianos
en el aula multrigrado?
Elementos de la Teoría Antropológica de lo didáctico
La TAD ofrece un modelo epistemológico para el análisis de la actividad humana en su dimensión
institucional. Toda actividad está enmarcada en al menos una institución, entendida como una
organización social estable que otorga a sus sujetos recursos materiales e intelectuales para el
enfrentamiento de tareas, de manera efectiva (Castela y Romo, 2011). El análisis de la actividad humana
se realiza mediante la praxeología, que se conforma por el tipo de tarea T –lo que se hace— y la técnica
τ –la forma en que se hace—, la tecnología
–discursos que justifican, producen y explican las
técnicas— y la teoría Θ–discursos más generales que justifican, explican y producen las tecnologías—.
Se componen así dos bloques: el práctico-técnico (praxis), el saber-hacer [T, τ] y el tecnológico-teórico
(logos) [
, Θ] o el saber.
Las praxeologías mixtas contienen elementos de al menos dos instituciones (Vázquez, et al., 2016) y
pueden ser analizadas o establecidas mediante el Modelo Praxeológico Extendido (MPE), surgido en
Castela y Romo (2011) y refinado desde entonces como se ilustra en Diego-Mantecón et al. (2021).
Considerando a E(M) como una institución de enseñanza de las matemáticas y a U como una institución
usuaria, no escolar y en la que las matemáticas son utilizadas para resolver ciertos tipos de tareas; el
MPE permite modelar el hecho de que una praxeología matemática sea importada a U para realizar
ciertos tipos de tarea Tu y que, en efecto, los elementos de esta praxeología matemática puedan
relacionarse con elementos praxeológicos de la praxeología usuaria que contiene a Tu, lo que puede ser
representado de la siguiente manera:
[𝑇𝑢𝜏𝑚
𝜏𝑢 𝜃𝑚
𝜃𝑢 𝛩𝑚
𝛩𝑢]← 𝐸 (𝑀)
← 𝑈
Así, la praxeología matemática [Tm, τm, θm, Θm], proviene de la matemática escolar y [Tu, τu, θu, Θu] es
una praxeología usuaria. Este modelo permite el análisis de instituciones U, la identificación de
praxeologías mixtas, con componentes matemáticos y usuarios: [Tu, τmu, θuq, Θmu]U, la ilustración de
las relaciones entre saberes de diferente índole y la forma en que dichas relaciones se han determinado,
bajo qué condiciones y propósitos. Esto, con el objetivo de reconocer cuestiones abiertas C, susceptibles
de motivar en su estudio la emergencia de praxeologías mixtas.
El cuestionamiento del mundo
Rodríguez Mejía, M. A. y Romo Vázquez, A.
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Lo didáctico está compuesto por situaciones didácticas que pueden entenderse como situaciones en las
que interviene una tripleta tipo (x, y, O). En este caso “x” se refiere a una persona que estudia y aprende
algo; “y” es otra persona que hace algo (gesto didáctico) para ayudar a “x” en su tarea de estudio y
aprendizaje; y “O” es aquello que “x” busca estudiar y aprender (apuesta didáctica) (Chevallard, 2013).
Desde el cuestionamiento del mundo se percibe al ciudadano como un sujeto indagador de cuestiones
de diversa índole que además se caracteriza por ser herbartiano, procognitivo y exotérico. Es herbartiano
porque mantiene una actitud receptiva hacia preguntas sin respuesta, en lugar de evadirlas. Es
procognitivo porque una vez que ha aceptado la pregunta avanza en la indagación sobre esta, intentando
descubrir y conquistar el conocimiento. Es exotérico en la medida en que acepta que para el estudio de
determinada cuestión requiere estudiar y aprender campos desconocidos hasta entonces, contrario a un
esotérico que presume poseer todo el conocimiento. En el proceso de indagación que x hace sobre C
para encontrar una respuesta sensata (R) surge lo que se denomina un Recorrido de Estudio e
Investigación (REI).
Los Recorridos de Estudio e Investigación
Dentro del cuestionamiento del mundo el camino que sigue un sujeto x para responder a una cuestión
generatriz C es un REI (Chevallard, 2013). El sujeto x (en actitud procognitiva) debe utilizar el
conocimiento relacionado con ciertas obras O y las respuestas existentes R◇ (creadas por determinadas
instituciones entorno a C) para avanzar en el camino hacia la construcción de una respuesta apropiada
R♥. Cabe mencionar que el REI adquiere un carácter codisciplinar debido a que el sujeto indagador
puede acudir a las O y a las R◇ de diversas instituciones, en la medida en que las considere relevantes
en la construcción de la respuesta apropiada R♥. En el REI los sujetos tienen la oportunidad de encontrar
nuevo conocimiento o de reencontrarse con conocimientos antiguos, y este encuentro es la forma en la
que se da el equipamiento praxeológico, que puede expresarse mediante el esquema herbartiano, donde
M es el medio didáctico que posibilita la elaboración de R♥.:
MATERIAL Y MÉTODOS
El contexto educativo donde se desarrolla esta investigación es un aula multigrado conformada por
estudiantes de grados octavo y noveno (13 a 15 años de edad) de una escuela de secundaria rural ubicada
en el municipio de Curití, en Colombia. La comunidad en la que se ubica la institución educativa es la
vereda Manchadores, donde las familias se dedican a labores de agricultura. La principal fuente de
ingresos se obtiene de los cultivos de café y fique. Los conocimientos relacionados a las prácticas de
siembra y cosecha provienen principalmente de la tradición, las familias poseen bajos niveles de
escolaridad y no cuentan con acompañamiento de expertos (desde un punto de vista occidental).
Diseño del REI para el aula multigrado
Para diseñar un REI es posible adaptar las fases de la ingeniería didáctica (Artigue, 2020), como lo
muestran García et al. (2019) y Galindo (en prensa). El análisis preliminar, primera fase de la ingeniería
didáctica, incluye el estudio de una praxeología de una institución no escolar, en este caso la topografía.
Con base en ello, es posible diseñar un REI y un análisis a priori (fase 2 de la ingeniería didáctica), para
posteriormente realizar un análisis in vivo y un análisis a posteriori (fase 3 y 4 de la ingeniería didáctica).
En esta comunicación mostramos particularmente la fase del análisis preliminar, basado en las Obras:
libro de texto Planimetría de Vargas y Rincón (2007), manual sobre métodos sencillos para la
acuicultura-topografía (FAO, 1998), el texto Definiciones Básicas de Topografía y l el libro Topografía
de Torres y Villate (1968). Asimismo, se entrevistó a un topógrafo profesional en varios momentos del
análisis de estas obras, con el objetivo de contar con una validación epistemológica y práctica, desde la
topografía, considerada como institución usuaria U.
RESULTADOS
En esta sección presentamos los resultados del análisis preliminar y la forma en que este permitió
identificar una cuestión C para diseñar un REI para el aula multigrado. Con el objetivo de identificar
Propuesta didáctica basada en modelización matemática para el aula multigrado. El caso de la topografía
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una institución U para ser analizada, inicialmente se identificaron las características de la comunidad en
la que se ubica la Institución Educativa Cantabara Manchadores. A partir de diálogos con el alumnado
se pudo establecer que para las familias es necesario conocer el área de los terrenos que se destinan para
el cultivo de sus productos. Dicho conocimiento podría enriquecer los saberes tradicionales y contribuir
al aprovechamiento que se hace del suelo. Asimismo, se consideró que el trabajo de Covián (2013)
mostraba que la topografía constituía una institución usuaria, susceptible de ser analizada para identificar
praxeologías mixtas y cuestiones abiertas que motiven su emergencia y, por tanto, su construcción o
reconstrucción en el aula.
De esta manera, la praxeología “levantamiento planimétrico de terrenos con cinta métrica” se identificó
de manera general en el libro Planimetría de Vargas y Rincón (2007) en el que se enuncia la técnica de
determinar el polígono que abarque la mayor cantidad de terreno:
Si el terreno tiene forma regular se divide en figuras geométricas, con el fin de que en campo se
midan sus ángulos y dimensiones necesarias para poder calcular el área y realizar la
representación correspondiente en un plano. Si el terreno no tiene una forma regular –este caso
es el que más se presenta–, se traza un polígono que abarque la mayor parte del terreno o que siga
de manera más cercana la forma del terreno –en campo se materializan los vértices de dicho
polígono–, lo que esté por fuera o por dentro del terreno se toma por el método de izquierdas o
derechas que consiste en medir las distancias –líneas perpendiculares– desde los puntos del
terreno al polígono trazado. Se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que
las medidas están adecuadamente realizadas. Para calcular el área total del terreno se calcula el
área del polígono y las áreas que se generaron con las perpendiculares, se sumarán o restarán
según sea el caso (p. 20).
Es posible notar que la tecnología topográfica se basa en las condiciones del terreno y en la posibilidad
de estimar el área del terreno con un error no muy grande. Los datos medidos en terreno, así como el
plano construido se consignan en lo que se conoce como cartera de campo. Vargas y Rincón (2007)
muestran el siguiente ejemplo de cartera de campo: Se realiza un bosquejo del terreno, ubicando sus
vértices y divisiones internas.
Figura 1. Ejemplo de plano / Vargas y Rincón (2007)
Rodríguez Mejía, M. A. y Romo Vázquez, A.
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Se diligencia una primera tabla con las mediciones que se requieren para calcular los ángulos internos.
Figura 2. Mediciones para hallar ángulos / Vargas y Rincón (2007)
En otra tabla se consignan los datos de las perpendiculares establecidas por izquierdas y derechas.
Figura 3. Medición de perpendiculares / Vargas y Rincón (2007)
A partir de la praxeología identificada se establecieron siete subtareas t1, t2, t3, t4, t5, t6, y t7 que componen
dicha praxeología. El análisis de las subtareas se complementó con las demás obras consultadas. Esto
permitió tener una primera idea de la praxeología topográfica e identificar las técnicas asociadas, así
como las tecnologías matemáticas y topográficas. Para este análisis praxeológico se tuvieron en cuenta
las fases de trabajo de campo y del trabajo de gabinete en el ejercicio del topógrafo. En el primero, se
va al terreno y se hace la recolección de datos necesarios y en el segundo, se realizan los cálculos
necesarios para poder hacer el levantamiento. El análisis se ilustra en dos tablas 1 y 2, las subtareas y
técnicas se muestran en la primera columna; mientras que las tecnologías matemáticas, en la segunda y
las tecnologías topográficas, en la tercera.
Fase de trabajo de campo:
Cuadro 1. Análisis praxeológico del levantamiento planimétrico con cinta: trabajo de campo
Subtareas y técnicas
Tecnología 𝜽𝒎 (justificación
matemática de la técnica)
Tecnología 𝜽𝒕 (justificación
topográfica de la técnica)
t1: Medir una distancia horizontal
sobre el terreno (FAO, 1968).
Se clava un jalón en el terreno, a partir
de este se van ubicando de forma
alineadas piquetes y se van tomando
las medidas entre piquetes para luego
Uso del concepto de línea
recta.
El establecimiento de
unidades de medida; el uso
de la operación de adición.
El uso de una cuerda o cinta, de
jalones y varios piquetes facilita la
aplicación de la técnica (Torres y
Villate (1968, p.17).
Propuesta didáctica basada en modelización matemática para el aula multigrado. El caso de la topografía
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sumarlas.
t2: Medir una distancia inclinada
sobre el terreno (FAO, 1968).
Se procede igual que en la medición
horizontal. Adicional, debe siempre
permanecerse la cinta métrica en
posición horizontal, para ubicar los
piquetes se usa la plomada, buscando
que se forme una perpendicular
respecto a la cinta.
Uso del concepto de
pendiente.
Reconocimiento de la
perpendicularidad entre
rectas.
Motivada en las condiciones del
terreno. Uso de la plomada para
establecer perpendicularidad
facilita la técnica (Torres y Villate,
1968, p.17).
t3: Estimar ángulos horizontales con
cinta (entrevista al experto). Se ubican
y miden en terreno los lados del
ángulo y el rayo entre estos.
Uso de las relaciones
trigonométricas; solución de
ecuaciones trigonométricas
(Torres y Villate, 1968, p.
24).
La técnica se motiva por el bajo
nivel de dificultad que representaría
para topógrafos aprendices. El uso
de la cinta métrica facilita la técnica
debido a que es una herramienta
conocida para el estudio del terreno
(Vargas y Rincón, 2007)
t4: Trazar una perpendicular sobre el
terreno (Vargas y Rincón, 2007, p.
15).
Se construyen triángulos isósceles en
terreno para el trazo de
perpendiculares.
Uso de la construcción de
triángulos isósceles ya que se
reconoce la relación entre la
perpendicular y la altura
como línea notable de un
triángulo.
El uso de la cinta métrica facilita la
realización de la tarea, debido a que
la técnica posee un bajo nivel de
dificultad. La técnica se motiva en el
hecho de que puede ser desarrollada
por personas con poca experticia
(entrevista al experto).
t5: Medir contornos irregulares
(IDEAM, s.f, p. 43-44). Se utilizan las
fórmulas de los trapecios; y la fórmula
de Simpson.
Uso fórmula de los trapecios;
uso de la fórmula de
Simpson.
En Vargas y Rincón (2007) y
en Torres y Villate (1968).
Las condiciones del terreno
justifican el uso de la técnica, que
entra en consideración cuando no es
posible modelar la porción de tierra
como un polígono. La técnica
facilita la estimación del área
aproximada de secciones con bordes
irregulares.
Nota. Elaboración propia.
Fase de trabajo de gabinete
En esta fase se realizan tres subtareas t5a establecer el valor promedio de cada distancia de los lados del
polígono, t6 estimar y corregir los ángulos y t7 calcular las áreas establecidas por izquierda y por derecha.
Luego se determina el área total del terreno sumando o restando áreas según sea el caso. Se presenta en
la tabla 2 el análisis de las subtareas t6 y t7, debido a que permiten mostrar tanto las tecnologías
matemáticas como topográficas.
Rodríguez Mejía, M. A. y Romo Vázquez, A.
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Cuadro 2. Análisis praxeológico del levantamiento planimétrico con cinta: Trabajo de gabinete
Subtareas y técnicas
Tecnología 𝜽𝒎 (justificación
matemática de la técnica)
Tecnología 𝜽𝒕 (justificación
topográfica de la técnica)
t6: Corregir los ángulos
internos del polígono trazado
(Entrevista al topógrafo),
(Vargas y Rincón, 2007, p.
21).
Corregir ángulos de forma
manual.
La sumatoria teórica de los
ángulos internos de un polígono =
(n-2)*180 donde n es el número de
ángulos (Vargas y Rincón, 2007,
p. 24).
El uso del concepto de error
absoluto representado por la
fórmula Error = Σ Teórica - Σ
Observada
La corrección de ángulos valida el
trabajo de campo. Corregir ángulos de
forma manual se motiva en el hecho de
que se ajusta a las técnicas en las que no
se usan herramientas de alta precisión (a
partir de la entrevista al experto).
t7: Estimar el área total del
terreno (Vargas y Rincón,
2007, p. 21).
Se divide el terreno en
secciones poligonales y se
emplean fórmulas para el
cálculo de áreas de las
figuras geométricas
identificadas.
Se reconocen las figuras
geométricas planas: triángulos,
cuadriláteros, círculos, etc. y las
fórmulas asociadas para calcular
su área.
Dividir el terreno en secciones
poligonales facilita la estimación de su
área total. La técnica se justifica en el
tipo de levantamiento realizado, debido
a que se ajusta a procesos topográficos
de baja complejidad (a partir de la
entrevista al topógrafo).
Cuando se han corregido los ángulos internos y se ha encontrado el área total del terreno, es posible
realizar la proyección del plano respetando las escalas establecidas. Los elementos aquí mostrados y
otros que figuran en el análisis, permiten generar un primer diseño del REI para ser implementado en el
aula multigrado.
Primer diseño del REI “Levantamiento de un terreno para la siembra”
Para el REI que se propone se ha establecido la cuestión abierta inicial C0 ¿Cómo estimar el área de un
terreno destinado para la siembra? El REI está compuesto por tres etapas: i) trabajo de campo sobre el
terreno para recolectar datos, ii) trabajo de gabinete para hallar ángulos y áreas, iii) estimación del área
del terreno y elaboración del plano.
DISCUSIÓN
Desde la educación tradicional se impone un modelo de educación fraccionada y que además se concibe
sin tomar en consideración el contexto social de la escuela. Lo que ha desencadenado una compleja
problemática en el aula multigrado, debido a que los maestros no encuentran referentes claros acerca de
cómo enseñar matemáticas de manera integrada o transversal (Ruíz-Rojas, Romo-Vázquez y Solares-
Rojas, 2020). Ante esta problemática el REI propuesto parece ofrecer posibilidades favorables, en la
medida en que se fundamentan en cuestiones que surgen del análisis contextual. Así mismo, el REI se
proyecta como una actividad integradora debido a que para responder a C0 el estudiantado podría trabajar
en equipo y sin importar el grado al cual se pertenezca. Pareciera que desarrollar el REI garantizará por
lo menos el estudio de obras de las matemáticas escolares presentes en los planes de estudio de los
grupos participantes. Sin embargo, debe dejarse claro que el objetivo no es supeditar el REI al plan de
estudios vigente, sino que con el REI se podrá evidenciar una posibilidad de enseñanza alternativa que
puede sustituirse por el currículo tradicional.
El diseño del REI “Levantamiento de un terreno de siembra” permite reflexionar sobre las tensiones que
emergen entre la educación hegemónica y el cuestionamiento del mundo, al momento de incorporar el
Propuesta didáctica basada en modelización matemática para el aula multigrado. El caso de la topografía
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REI a una escuela pública. De manera más general, el diseño de este dispositivo, constituye una vía
teórico-metodológica para la integración de la modelización matemática al aula multigrado, que debe
seguirse analizando, pero que desde ahora parece ofrecer posibilidades interesantes.
REFERENCIAS
Artigue, M. (2020). Didactic Engineering in Mathematics Education. In S. Lerman (Ed.), Encyclopedia
of Mathematics Education (2nd ed.) (pp. 202–206). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-030-
15789-0_44
Barquero, B., Romo, A., Bosch, M. (2019). El uso del esquema herbartiano para analizar un REI online
para la formación de profesores de secundaria. Educacao Matemática Pesquisa, 21(4), 493-509.
http://dx.doi.org/10.23925/1983-3156.2019v21i4p493-509
Castela, C., & Romo, A. (2011). Des mathématiques a l'automatique : étude des effets de transposition
sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recherches en Didactique des
Mathématiques, 31(1), 79-130
Covián, O. y Romo, A. (2014). Modelo Praxeológico Extendido una Herramienta para Analizar las
Matemáticas en la Práctica: el caso de la vivienda Maya y levantamiento y trazo topográfico.
Bolema: Boletim de Educação Matemática. 28(48), 128-148
Covián, O. (2013). La formación matemática de futuros profesionales técnicos en construcción [Tesis
de doctorado no publicada]. Cinvestav, México.
Chevallard, Y. (1999). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(2), 221–266.
Chevallard, Y. (2013). Enseñar Matemáticas en la Sociedad de Mañana: Alegato a Favor de un
Contraparadigma Emergente. Journal of Research in Mathematics Education, 2(2), 161 -182.
https://doi.org/10.4471 /redimat.2013.2
García, F., Barquero, B., Florensa, I, & Bosch, M. (2019). Diseño de tareas en el marco de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico. Avances de Investigación en Educación Matemática (AIEM), (15),
75-94. https://www.aiem.es/index.php/aiem/article/view/267
Gascón, J. (2011). Las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico. El caso del álgebra
elemental. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 14(2), 203-231.
Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales de Colombia [IDEAM]. (s.f.).
Definiciones básicas de topografía.
http://documentacion.ideam.gov.co/openbiblio/bvirtual/011649/Definiciones.pdf
Ministerio de Educación Nacional (2010). Manual de implementación postrimaria rural,
http://redes.colombiaaprende.edu.co/ntg/men/archivos/Referentes_Calidad/Modelos_Flexibles/Po
stprimaria/Guias%20del%20docente/Manual%20de%20implementacion.pdf
Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura [FAO]. (1998). Métodos
sencillos para la acuicultura-Topografía.
http://www.fao.org/fishery/static/FAO_Training/FAO_Training/General/x6707s/Index.htm
Ruíz-Rojas, A., Romo-Vázquez, A., & Solares-Rojas, A. (2020). Proyecto de construcción de una barda
escolar: Un dispositivo didáctico interinstitucional para Telesecundaria. Avances de Investigación
en Educación Matemática, (18), 119–135. https://doi.org/10.35763/aiem.v0i18.280
Torres, A., y Villate, E. (1968). Topografía. Editorial Norma.
https://oopmufps.files.wordpress.com/2014/08/topografc3ada-torres-y-villate1.pdf
Vargas, W., y Rincón, M. (2007). Planimetría. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
https://www.coursehero.com/file/45478496/137182863-1-Libro-Planimetria-Universidad-
Distritalpdf/
