Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
19
Artículo original
Función exponencial: análisis del trabajo matemático de estudiantes de
humanidades
Exponential function: analysis of the mathematical work of humanities
students
Jorge Luis, Vivas Pachas1,a
Jesús Victoria Flores Salazar 2,b
a Pontificia Universidad Católica del Perú. Lima, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7739-830X
jorge.vivas@pucp.edu.pe
2 Pontificia Universidad Católica del Perú. Lima, Perú
b ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0036-140X
jvflores@pucp.pe
Resumen
El presente reporte de investigación, presenta un recorte de la tesis de maestría del primer
autor; tiene como objetivo analizar el trabajo matemático de estudiantes de carreras de
humanidades cuando resuelven una tarea sobre función exponencial. Para ello, nos
fundamentamos en la teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y tomamos el
método del ETM para el análisis. La investigación se realizó con estudiantes del primer
ciclo de carreras de humanidades (16 y 18 años) de una universidad privada de Lima-
Perú, en la que se elaboró una tarea sobre función exponencial. En base al análisis de las
acciones matemáticas, se evidencia la activación de las génesis semiótica, instrumental
y discursiva, siendo las génesis semiótica y discursiva las más frecuentes. Asimismo, se
evidencia la activación de dos planos verticales el semiótico-discursivo y el
instrumental-discursivo del ETM.
Abstract
The research report, which is a summary of the first author's master's thesis, aims to
analyze the mathematical work of students in humanities majors when they solve a task
on the topic of exponential function. For this purpose, we are based on the theory of the
Mathematical Workspace (MWS) and we use the MWS method for the analysis. The
research was carried out with students of the first cycle of humanities careers (16 and 18
years old) of a private university in Lima-Peru, in which a task of the exponential
function topic was elaborated. Based on the analysis of the mathematical actions, the
activation of the semiotic, instrumental and discursive genesis is evidenced, being the
semiotic and discursive genesis the most frequent. Likewise, the activation of two
vertical planes, the semiotic-discursive and the instrumental-discursive of the ETM, is
evidenced.
INTRODUCCIÓN
Dado el interés por comprender el trabajo matemático de estudiantes de carreras de humanidades cuando
resuelven una tarea sobre función exponencial, se realizó un levantamiento bibliográfico en el que se
identificó investigaciones como las de Brucki (2011) que tiene como objetivo analizar como una
actividad relacionada con función exponencial favorece el aprendizaje de la función exponencial. Los
sujetos de la investigación fueron catorce estudiantes brasileños de primer año de nivel secundaria. La
actividad fue llevada a cabo en dos clases con una duración de 50 minutos cada una y tenía como foco
relacionar el modelo algebraico de función exponencial con el modelo de término general de la
progresión geométrica.
Quintaesencia 2021;12: 19-26
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.25
Vivas Pachas, J. L.; Flores Salazar, J. V.
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La metodología de la investigación de Brucki (2011) es cualitativa y la actividad se desarrolló
empleando la progresión geométrica en la construcción del concepto de función exponencial. Entre las
conclusiones más importantes de la investigación, la autora afirma lo siguiente: para que las actividades
extra-matemáticas favorezcan el aprendizaje, éstas deben contener ideas claras, esto, debido a que,
durante el desarrollo de la actividad, se percibió que algunos estudiantes no lograban fundamentar el
concepto de función y/o el concepto de progresión geométrica.
También se considera la investigación de Sureda y Otero (2013), que analiza la conceptualización en el
aprendizaje de la función exponencial. La investigación se sustenta en la Teoría Antropológica de lo
Didáctico y en la Teoría de los Campos Conceptuales. En el análisis de la Actividad de Estudio e
Investigación (AEI) se muestra la tendencia de los estudiantes de nivel superior en resolver problemas
no lineales como si lo fueran, generando dificultades relacionadas con la enseñanza de variaciones no
lineales. En ese sentido, las investigadoras consideran que la enseñanza de función exponencial necesita
de un diseño de situaciones que articulen más de un sistema de representación. Las autoras planificaron,
diseñaron, implementaron y analizaron, en conjunto, situaciones constituidas en cinco sistemas de
representación diferentes con la finalidad de reconstituir el campo conceptual de la función exponencial
para estudiantes de cuarto año de nivel secundario. Posteriormente, las investigadoras afirman que la
investigación realizada no les proporciona los subsidios necesarios para afirmar que el proceso de
conceptualización, particular en cada estudiante, atraviesa inevitablemente por cada una de las etapas
que ellas identificaron en la investigación. Sin embargo, concluyeron que la explicitación, discusión y
formalización de los conceptos, en cada sistema de representación, tienen vital importancia en la
transformación de la etapa lineal a la etapa exponencial.
Por otro lado, el trabajo de Kuzniak, Tanguay, Vivier, Mena y Montoya (2016) presenta un estudio que
se profundiza en el ETM personal y en los paradigmas de profesores en formación inicial de Chile y
Francia en relación a la construcción de la función exponencial. En la formación inicial de profesores,
tanto en Chile como en Francia, la función exponencial es estudiada en diferentes cursos orientados a
diferentes objetivos. Los investigadores tienen por objetivo entender de qué manera los saberes en el
ETM de referencia son organizados por los programas de estudio y la influencia que esta organización
ejerce en el ETM idóneo. Los autores afirman que “Nuestra experiencia como formadores nos hace
pensar que es difícil integrar las dimensiones de la función exponencial, que son tratadas en forma
parcelada; y el ETM personal de los profesores en formación, en el caso de la función exponencial, está
desarticulado” (p.52).
En conclusión, las investigaciones presentadas (Brucki, 2011; Sureda y Otero, 2013; Kuzniak et al.,
2016) justifican la pertinencia de la investigación sobre la enseñanza y aprendizaje de la función
exponencial. Además de ello, el tema es pertinente porque en carrearas de humanidades de diferentes
universidades del Perú, se contempla el estudio de función exponencial. Por ejemplo, en los planes de
estudio de la Universidad Tecnológica del Perú (UTP), Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
(UPC) y Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP) el concepto de función exponencial está
presente.
Para analizar el trabajo matemático que realizan estudiantes de carreras de humanidades, al desarrollar
una tarea sobre función exponencial, se presentan a continuación, aspectos de la teoría del Espacio de
Trabajo Matemático-ETM.
Aspectos de la teoría Espacio de Trabajo Matemático-ETM
Kuzniak, Tanguay y Elia (2016) consideran que el trabajo matemático que realiza el estudiante le
permite la construcción de su propio conocimiento sobre la matemática. Sin embargo, afirman que este
proceso es gradual, interactivo y complejo; también sostienen que la evolución de los conocimientos
matemáticos dependerá de las tareas propuestas y de las actividades que el estudiante realice para
resolverlas. En relación con las nociones básicas del ETM, la investigación de Kuzniak, Montoya-
Delgadillo y Vivier (2015) presenta las nociones de paradigma, dominio, trabajo matemático y tarea.
Explicitando que paradigma es el conjunto de creencias, técnicas y valores que comparte un grupo
científico; dominio matemático es determinado según la naturaleza de los objetos estudiados y de los
paradigmas que lo caracterizan, por ejemplo, dominio de geometría, álgebra, aritmética, análisis,
Función exponencial: análisis del trabajo matemático de estudiantes de humanidades
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etcétera.; trabajo matemático consiste en resolver problemas matemáticos, identificar problemas y
organizar contenidos dentro de un dominio específico.
También, indican que en el ETM se articulan los planos epistemológico y cognitivo, a través de las
génesis originadas por el trabajo matemático. La génesis semiótica es el proceso asociado a los signos
y representamen (o significantes), y que representa la relación dialéctica entre la sintáctica y las
perspectivas semánticas sobre los objetos matemáticos, desarrollado y organizado mediante sistemas
semióticos de representación. La génesis instrumental permite hacer a los artefactos operativos mediante
los procesos de construcción que contribuyen a alcanzar el trabajo matemático y; la génesis discursiva
utiliza las propiedades del sistema de referencia teórico para ponerlas al servicio del razonamiento
matemático y para una validación no solamente icónica, gráfica o instrumental.
Además, Kuzniak y Richard (2014) identificaron tres planos verticales en el ETM (ver figura 1) cada
uno de los cuales está definido por la interacción de dos génesis: semiótica e instrumental [Sem-Ins];
instrumental y discursiva [Ins-Dis] y, semiótica y discursiva [Sem-Dis].
Figura 1. Modelo ETM / Kuzniak y Richard (2014, p. 21) y Kuzniak, Tanguay y Elia (2016, p.726)
Con relación a los planos: [Sem-Ins] asociado a una génesis semiótica y a la génesis instrumental.
Existen dos formas de trabajo, una orientada hacia la construcción de los resultados (figuras, gráficos)
y la otra hacia la interpretación de los datos brindados por los artefactos; [Ins-Dis] asociado a una génesis
discursiva de la prueba y a la génesis instrumental y, [Sem-Dis] asociado a las génesis semiótica y
discursiva, en el cual se distinguen los razonamientos argumentativos. Por otro lado, el trabajo
matemático es caracterizado por sus respectivos paradigmas.
En ese sentido, Montoya y Vivier (2016) definen los tres paradigmas del dominio del Análisis: Análisis
Aritmético-Geométrico (AG), que permite interpretaciones y suposiciones implícitas sobre la base de la
Geometría o el mundo real; Análisis Calculatorio (AC), en el cual las reglas del Cálculo son algo
explicitas, pero no resulta necesario reflexionar sobre su naturaleza y; Análisis Real o infinitesimal (AR),
que involucran aproximación y vecindad, incluso topológico.
MATERIAL Y MÉTODOS
La investigación, que forma parte realizada es cualitativa y consta de una parte experimental que se llevó
a cabo con estudiantes del primer ciclo de carreras de humanidades de una universidad privada de Lima-
Perú. En la sesión participaron, además de los 57 estudiantes (16 y 18 años), el profesor (formador) y
dos profesores asistentes (observadores). Para el presente reporte de investigación, que es un recorte de
la investigación de Vivas (2021), se analiza la producción de un estudiante al que llamaremos Guido,
quien desarrolla la tarea de forma individual en un tiempo aproximado de 40 minutos.
Para el análisis del trabajo matemático de Guido se utiliza el análisis descendente del método diseñado
por Kuzniak y Nechache (2018), quienes consideran que:
El análisis descendente consiste en dividir la actividad de una persona durante la realización de
una tarea en una serie de acciones matemáticas. Estas acciones se analizan en detalle utilizando
herramientas de la teoría de los ETM y se describen utilizando los diferentes componentes del
Vivas Pachas, J. L.; Flores Salazar, J. V.
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diagrama de los ETM. Estas acciones y su interpretación en la teoría de ETM se resumen en una
tabla de doble entrada que permite seguir paso a paso, en el tiempo, la realización de la tarea y
la circulación del trabajo matemático a través de los diferentes planes del ETM. (p.8).
Los autores señalan que la acción matemática es objetivada y tomada del discurso escrito (producción
escrita) u oral (entrevista, etc.) y que un episodio está constituido por una serie de acciones matemáticas
que el estudiante realiza para llevar a cabo una tarea.
La tarea y su análisis
La tarea (ver figura 2) sobre función exponencial consta de dos preguntas. Para efectos del presente
reporte se analizará la pregunta 1 de la tarea.
Figura 2. Tarea-pregunta 1 / Vivas (2021, p. 41)
El objetivo de la pregunta 1 se presenta en la siguiente tabla:
Tabla 1. Pregunta 1-objetivo y características
Pregunta
Objetivo
Detalle
1
Representar gráficamente una función
exponencial a partir de su
representación algebraica.
La representación de la función permitirá evidenciar la
activación del plano vertical [Sem-Ins] y la activación
del plano vertical [Sem-Dis].
RESULTADOS
Análisis de la producción esperada
A partir de la identificación de la regla de correspondencia de , se espera que reconozcan la
representación algebraica de una función exponencial de la forma 󰇛󰇜 . Es decir, que los
estudiantes activen como referencial la regla de correspondencia de para impulsar la activación de la
génesis semiótica. Además, que reconozcan y grafiquen la recta horizontal que representa la asíntota de
la gráfica de a partir de la identificación del valor del parámetro que aparece dentro de su regla de
correspondencia (󰇛󰇜󰇡
󰇢 ). Se espera que los estudiantes activen la génesis semiótica y
realicen un proceso de visualización, cuando reconozcan la ecuación de la recta horizontal que
representa su asíntota ( ) y que a partir de la identificación del parámetro que aparece dentro de
su regla de correspondencia (󰇛󰇜󰇡
󰇢 ), reconozcan que es estrictamente decreciente. En
términos de ETM, se espera que activen la génesis semiótica cuando tomen como representamen el valor
de la base y realicen un proceso de visualización al reconocer la monotonía de . En seguida, se espera
que los estudiantes elaboren una tabla que contenga algunos valores para . Esto evidenciará la
activación de la génesis instrumental al tomar como artefacto simbólico la regla de correspondencia de
, por consiguiente, la activación del plano vertical [Sem-Ins].
También, a partir de la representación tabular de , es posible que representen gráficamente los puntos
obtenidos, lo que activaría la génesis instrumental. Igualmente, podrían graficar una curva que contenga
todos los puntos de paso (ver figura 3).
Función exponencial: análisis del trabajo matemático de estudiantes de humanidades
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Figura 3. Representación gráfica de / Fuente: Vivas (2021, p. 47)
En términos del ETM, se espera que activen la génesis discursiva debido a que el referencial es el
dominio de (󰇛󰇜 ). También se piensa que los estudiantes activarán la génesis semiótica
cuando tomen como referencial la regla de correspondencia de o su representación gráfica para
determinar que la ecuación de su asíntota es .
Además, a partir de su representación gráfica, se piensa que los estudiantes determinarán el intervalo
󰇠󰇟 que representa el rango de . En términos del ETM, se espera que se active la génesis semiótica
al tomar la representación gráfica de su asíntota para realizar un proceso de visualización que les
permitan reconocer los valores que toman las imágenes de ; en consecuencia, el rango de . Con
relación a los interceptos se espera que los estudiantes determinen que no tiene intercepto con el eje
de abscisas a partir de su representación gráfica y su asíntota. Es decir, que realicen la activación de la
génesis discursiva al tomar como referencial la ecuación de la asíntota y el rango 󰇠󰇟 para
realizar un proceso de prueba permitiéndoles que realicen la justificación.
Así mismo, para hallar el intercepto de con el eje de ordenadas los estudiantes podrían determinarlo
al evaluar en , en caso no lo hayan realizado para obtener su representación tabular. Es decir, se
espera la activación del plano vertical [Ins-Dis] debido a que, por una parte, tomarían como artefacto la
representación algebraica de para realizar un proceso de construcción al evaluarla en y al mismo
tiempo esta representación algebraica sería tomada como referencial para realizar una prueba que
permita obtener el intercepto con el eje de ordenadas (cuando ).
Análisis del trabajo matemático de Guido
En el análisis del trabajo matemático de Guido, con base al método de Kuzniak y Nechache (2018), se
identificaron ocho acciones agrupadas en cinco episodios (ver tabla 2).
Tabla 2. Episodios y acciones matemáticas
Episodio
Detalle del episodio
Nro. acciones
1.
1
Representación tabular de
1
2.
2
Representación gráfica de
3
3.
3
Justificación de la asíntota de
1
4.
4
Justificación del rango de
1
5.
5
Justificación de los interceptos de
2
Nota: Adaptado de Vivas (2021, p. 51)
Cada episodio es representado en una tabla que contiene dos columnas. La primera columna muestra las
acciones matemáticas y la segunda, corresponde a la interpretación de cada una de estas acciones en
términos del ETM.
Vivas Pachas, J. L.; Flores Salazar, J. V.
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Episodio 1: Representación tabular de
En este episodio, Guido realiza solamente una acción (ver figura 4).
Figura 4. Episodio 1 / Adaptado de Vivas (2021, p. 63)
Episodio 2: Representación gráfica de
Para este episodio (ver figura 3) se identifican, con base en el ETM, tres acciones.
Figura 5. Episodio 2 / Adaptado de Vivas (2021, p. 63-64)
Episodio 3: Justificación de la asíntota de
Este episodio contiene solamente una acción del estudiante Guido con su respectiva interpretación (ver
figura 6).
Función exponencial: análisis del trabajo matemático de estudiantes de humanidades
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Figura 6. Episodio 3 / Adaptado de Vivas (2021, p. 64)
Episodio 4: Justificación del rango de
Este episodio, al igual que el anterior, está constituido solamente por una acción que realiza Guido (ver
figura 4).
Figura 7. Episodio 4 / Adaptado de Vivas (2021, p. 65)
Episodio 5: Justificación de los interceptos de
En este último episodio, Guido realiza dos acciones (ver figura 8).
Figura 8. Episodio 5 / Adaptado de Vivas (2021, p. 65)
En la identificación de las acciones matemáticas de Guido, el estudiante no determinó explícitamente la
monotonía de la función . Sin embargo, la representación gráfica que realizó es adecuada, porque hizo
uso de la regla de correspondencia de para identificar su comportamiento asintótico y, por otro lado,
le permitió elaborar la construcción de algunos puntos de paso, tomando en consideración su dominio,
para esbozar una curva que cumpla con ambas condiciones.
Vivas Pachas, J. L.; Flores Salazar, J. V.
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Asimismo, se puede afirmar que la producción realizada por Guido, que se expresa en las acciones
matemáticas identificadas, describe un trabajo matemático que se posiciona en el paradigma Análisis
Aritmético-Geométrico (AG) porque realiza interpretaciones y suposiciones implícitas obtenidas a partir
de la regla de correspondencia de .
DISCUSIÓN
A partir de la interpretación de las acciones matemáticas de Guido, se reconoce la activación de las
génesis semiótica, instrumental y discursiva. Cabe destacar que las génesis semiótica y discursiva se
activan con mayor frecuencia.
Asimismo, a partir de la activación de las génesis en el episodio 2 se identifica la activación del plano
vertical Semiótico-Discursivo. Por su parte, en el episodio 5 se identifica que el plano vertical
Instrumental-Discursivo es activado.
El trabajo matemático de Guido se encuentra en el paradigma Análisis Aritmético-Geométrico (AG).
Además, la producción presentada por el estudiante coincide con la producción esperada a pesar de que
en sus acciones matemáticas no consideró el comportamiento asintótico de la función.
Agradecimientos
Nuestro agradecimiento a la Red Iberoamericana de Investigación en Trabajo Matemático-RIITMA,
especialmente a la Red RIITMA-Perú; a la línea de investigación Tecnologías y Visualización en Educación
Matemática-TecVEM, de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas y al Instituto de Investigación sobre
la Enseñanza de las Matemáticas-IREM, de la Pontificia Universidad Católica del Perú, por el apoyo
brindado para desarrollar la presente investigación.
REFERENCIAS
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