Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN
2076-5363
(en línea)
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Artículo original
Espacio de trabajo matemático idóneo de un profesor universitario con
respecto a la derivada de una función real
Ideal Mathematical Workspace of a University Professor with respect to the
Derivative of a Real Function
Flor Isabel Carrillo Lara 1,a
Edwin Cristian Julian Trujillo 2,b
1 Pontificia Universidad Católica del Perú. Lima, Perú
a ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4181-3513
f.carrillo@pucp.edu.pe
2 Universidad San Ignacio de Loyola. Lima, Perú.
b ORCID: https://orcid.org/ 0000-0002-0642-589X
edwin.julian@usil.pe
Información
Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado: 26/05/2021.
La labor del profesor y su práctica en el aula nos muestra información sobre los espacios
de trabajo matemático que el profesor de matemática propicia. En este reporte de
investigación reflexionamos sobre el Espacio de Trabajo Matemático (ETM) idóneo de un
profesor universitario. El ETM idóneo se ocupa de estudiar la actividad matemática que el
profesor propicia en el aula cuando trabaja una sesión de clase del tema la derivada. Basado
en el método de estudio de caso como herramienta valiosa de investigación, la cual registra
la conducta del profesor involucrada en el fenómeno estudiado.
Palabras clave:
trabajo matemático,
profesor universitario,
derivada.
Information
Abstract
Keywords:
mathematical work,
university professor,
derivative.
The teacher's work and practice in the classroom provide us with information about the
mathematical workspaces that the mathematics teacher provides. In this research report
we reflect on the ideal Mathematical Workspace (MWS) of a university professor. The
ideal MWS is concerned with studying the mathematical activity that the teacher promotes
in the classroom when working on a class session on the subject of the derivative. Based
on the case study method as a valuable research tool, which records the teacher's behavior
involved in the studied phenomenon.
INTRODUCCIÓN
La labor del profesor y su práctica en el aula nos muestra información sobre los espacios de trabajo
matemático que el profesor de matemática propicia (Kuzniak, 2011). En este reporte de investigación
reflexionamos sobre el Espacio de Trabajo Matemático (ETM) idóneo de un profesor universitario. El
ETM idóneo se ocupa de estudiar la actividad matemática que el profesor propicia en el aula cuando
realiza un trabajo matemático (Kuzniak y Richard, 2014). El análisis del trabajo idóneo del profesor se
realiza mediante los paradigmas del Análisis (Montoya y Vivier, 2016). Basado en el método de estudio
de caso como herramienta valiosa de investigación, la cual registra la conducta de las personas
involucradas en el fenómeno estudiado (Yin, 1989).
Analizamos el caso de un profesor universitario, a quien llamamos Carlos, al abordar la derivada de una
función real. Dicho profesor, tiene una formación de pregrado y posgrado en Matemática Pura. Además,
labora en dos instituciones, una estatal y otra particular, con estudiantes de ciencias puras y ciencias
empresariales, respectivamente. Para este trabajo, se observó dos sesiones en la institución particular.
En la primera, Carlos recoge los saberes previos de los estudiantes, tales como ecuación de la recta,
rectas paralelas o perpendiculares y límites. En la segunda sesión, el profesor formaliza la noción de
derivada dando dos definiciones. La primera es una definición formal a partir del límite y la segunda
Quintaesencia 2021;12: 14-18
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.24
Carrillo Lara, F. I.; Julian Trujillo, E. C.
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como la pendiente de una recta. Luego, indica que la recta tangente de una función f en un punto a es la
recta que mejor se aproxima al gráfico de la función f en un entorno de dicho punto. Finalmente, muestra
un teorema con respecto a las reglas de derivación y finaliza con una tabla de derivadas.
Marco teórico: Aspectos del Espacio de Trabajo Matemático (ETM)
Con respecto al marco teórico para nuestra investigación, creemos conveniente emplear el Espacio de
Trabajo Matemático (Kuzniak, Tanguay y Elia 2016, Vivier, Kuzniak y Gómez-Chacón, 2016) pues se
desarrolló buscando vincular y preservar muy estrechamente los puntos de vista epistemológico y
cognitivo. Además, cabe señalar que está íntimamente ligado al desarrollo del aprendizaje en el aula.
La expresión trabajo matemático quiere decir, el trabajo aparece como un conjunto de actividades
humanas organizadas para alcanzar objetivos; la orientación y el propósito de este trabajo se apoya en
las matemáticas. Por el contrario, las matemáticas, así consideradas, se transforman por el hecho mismo
de ser consideradas como una obra humana específica. La teoría articula dos planos: el plano
epistemológico, donde se da la interacción de tres componentes puramente matemáticos (representamen,
artefactos y referencial); y el plano cognitivo, en el que se centra en el sujeto que, a su vez, se contempla
como sujeto cognitivo; se precisan tres componentes cognitivas (visualización, construcción y prueba).
También, indican que en el ETM se articulan los planos epistemológico y cognitivo, a través de las
génesis originadas por el trabajo matemático. La génesis semiótica es el proceso asociado a los signos
y representamen (o significantes), y que representa la relación dialéctica entre la sintáctica y las
perspectivas semánticas sobre los objetos matemáticos, desarrollado y organizado mediante sistemas
semióticos de representación. La génesis instrumental permite hacer a los artefactos operativos mediante
los procesos de construcción que contribuyen a alcanzar el trabajo matemático y; la génesis discursiva
utiliza las propiedades del sistema de referencia teórico para ponerlas al servicio del razonamiento
matemático y para una validación no solamente icónica, gráfica o instrumental.
Además, Kuzniak y Richard (2014) identifican tres planos verticales en el ETM (ver figura 1) cada uno
de los cuales está definido por la interacción de dos génesis: semiótica e instrumental [Sem-Ins];
instrumental y discursiva [Ins-Dis] y, semiótica y discursiva [Sem-Dis].
Figura 1. Modelo del ETM / Kuzniak, Tanguay y Elia (2016, p.726)
Con relación a los planos: [Sem-Ins] asociado a una génesis semiótica y a la génesis instrumental,
existen dos formas de trabajo, una orientada hacia la construcción de los resultados (figuras, gráficos) y
la otra hacia la interpretación de los datos brindados por los artefactos; [Ins-Dis] asociado a una génesis
discursiva de la prueba y a la génesis instrumental y, [Sem-Dis] asociado a las génesis semiótica y
discursiva, en el cual se distinguen los razonamientos argumentativos. Por otro lado, el trabajo
matemático es caracterizado por sus respectivos paradigmas.
Por ello, Montoya y Vivier (2016) definen los tres paradigmas del dominio del Análisis: Análisis
Aritmético-Geométrico (AG), que permite interpretaciones y suposiciones implícitas sobre la base de la
Geometría o el mundo real; Análisis Calculatorio (AC), en el cual las reglas del Cálculo son algo
explicitas, pero no resulta necesario reflexionar sobre su naturaleza y; Análisis Real o infinitesimal (AR),
que involucran aproximación y vecindad, incluso topológico.
Espacio de trabajo matemático idóneo de un profesor universitario con respecto a la derivada de una función real
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MATERIAL Y MÉTODOS
A continuación, presentamos el procedimiento metodológico que utilizaremos para nuestra
investigación:
Realizar el planteamiento del problema (donde se considera las investigaciones de referencia), pregunta
y objetivos de la investigación. Revisar y organizar el desarrollo de la derivada en investigaciones del
área de la didáctica y en los libros de nivel superior; además revisaremos aspectos del ETM; con ello
tener bases teóricas para utilizar instrumentos de recolección de datos y material de curso. Recolectar la
información, se realiza a partir de la información proporcionada por el sujeto de investigación, docente
universitario del curso Cálculo Diferencial.
En ese sentido, se transcriben los datos, consiste en organizar la información obtenida y se realiza
después recolectar la información que necesitamos de la sesión de clase a través de los instrumentos de
investigación diseñados. Organizar la secuencia didáctica sobre el tema función derivada de una función
real. Interpretar y analizar el trabajo matemático del sujeto de estudio de acuerdo con el marco teórico
y metodológico. Elaborar las conclusiones generales e implicaciones de la investigación.
La investigación realizada es cualitativa y consta de una parte experimental que se llevó a cabo con un
profesor cuando imparte el tema de la derivada a estudiantes del primer ciclo de ciencias empresariales
de una universidad privada de Lima-Perú. Para el presente reporte de investigación se analiza la
producción del profesor al que llamaremos Carlos, quien desarrolla el tema de la derivada.
Para el análisis del trabajo matemático idóneo de Carlos se utiliza los paradigmas del Análisis Montoya
y Vivier (2016).
Sesión del profesor Carlos y su análisis
Una de las primeras interpretaciones sobre la derivada que presenta el profesor Carlos, es la
interpretación geométrica.
Figura 1. Interpretación geométrica de la derivada.
Carrillo Lara, F. I.; Julian Trujillo, E. C.
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Figura 2. Recta tangente a la gráfica de una función.
Figura 3. Recta tangente en un punto de la función.
Además, en su clase el profesor Carlos considera idóneas las siguientes tareas:
Figura 4. Tarea 1
Figura 5. Tarea 2
Figura 6. Tarea 3
Figura 7. Tarea 4.
Espacio de trabajo matemático idóneo de un profesor universitario con respecto a la derivada de una función real
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RESULTADOS
A partir de lo observado, podemos manifestar que el ETM idóneo de Carlos es plantear las operaciones,
y realizar cálculos algebraicos para luego dar lugar a las relaciones con otros contenidos; es decir, se
manifiesta la génesis semiótica.
Con respecto a las tareas trabajadas por Carlos, corresponden al dominio del Análisis.
En la resolución de las tareas propuestas se activan la génesis semiótica y la génesis instrumental, con
ello la activación del plano [Sem-Ins]. Con ello la articulación de los planos epistemológico y cognitivo.
Además, identificamos los paradigmas del análisis Aritmético-geométrico (AG) ya que se da la
interpretación geométrica de la derivada, y el paradigma del análisis Calculatorio (AC) ya que se
emplean reglas para hallar la ecuación de la recta tangente, así como el uso de las reglas de derivadas.
Por otro lado, justifica la enseñanza en que el estudiante pueda dar un tratamiento matemático apropiado
al contenido. Al estudiante no se les menciona la denominación cociente de diferencias o cociente
incremental, el cual puede interpretarse como la velocidad media de variación de una función en cierto
intervalo o como la tasa de variación de la función en dicho intervalo; tampoco, se plantean problemas
de contexto extra matemático, esto a consecuencia del enfoque algorítmico de esta etapa de estudio de
la derivada.
DISCUSIÓN
Concluimos que la teoría del ETM es idóneo, porque pone énfasis en el profesor como una persona
resolutiva de los problemas asociados y como tutor de lo que supone necesitan los estudiantes para
implicarse en las tareas; en estas acciones identificamos la génesis instrumental.
Agradecimientos
Nuestro sincero agradecimiento a la Red Iberoamericana de Investigación en Trabajo Matemático-
RIITMA, especialmente a RIITMA-Perú; a la línea de investigación Tecnologías y Visualización en
Educación Matemática-TecVEM, de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas y al Instituto de
Investigación sobre la Enseñanza de las Matemáticas-IREM, de la Pontificia Universidad Católica del
Perú, por el apoyo brindado para desarrollar la presente investigación.
REFERENCIAS
Gómez-Chacón, I.M.; Alain Kuzniak, A.; Inés M. y Vivier, L. (2016). El rol del profesor desde la
perspectiva de los Espacios de Trabajo Matemático. Bolema: Bolema, Rio Claro (SP), 30(54), 1-
22. http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v30n54a01
Kuzniak, A. (2011). L'espace de travail mathématique et ses genèses. Annales de Didactique et
de Sciences Cognitives, 16, 9-24. Recuperado de : https://halshs.archives-
ouvertes.fr/halshs-01060043.
Kuzniak, A.; Richard, P. (2014). Espacios de trabajo matemático. Puntos de vista y perspectivas. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, México, 17,4-1, 5-15.
Kuzniak, A., Tanguay, D., & Elia, I. (2016). Mathematical Working Spaces in schooling: An
introduction. ZDM, 48. https://doi.org/10.1007/s11858-016-0812-x
Montoya, E. & Vivier, L. (2016). Mathematical working space and paradigms as an analysis tool for the
teaching and learning of analysis. En ZDM Mathematics Education, 48(6), 739-754. Recuperado
de: http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/~ecosetma/Images/MWS-ZDM.pdf
Yin, R.K. (1989). Case study research: design and methods. Sage.
