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Quintaesencia
Revista de Educación
ISSN 2076-5363 (en línea)
Artículo original
Análisis de la producción matemática de estudiantes de nivel secundario: una
mirada desde el espacio de trabajo matemático
Analysis of the mathematical production of high school students: a view from
the mathematical workspace
Marco Antonio Ticse Aucahuasi
1,a
Jesús Victoria Flores Salazar
2,b
1
Pontificia Universidad Católica del Perú. Lima, Perú
a
ORCID
:
https://orcid.org/0000-0003-1209-9944
2
Pontificia Universidad Católica del Perú. Lima, Perú
b
ORCID
:
https://orcid.org/0000-0002-0036-140X
marco.ticse@pucp.edu.pe
jvflores@pucp.pe
Información Resumen
Recibido: 14/03/2021.
Aceptado:
26/05/2021.
Palabras clave:
Espacio de trabajo
matemático, tasa de
variación, GeoGebra.
Investigaciones en Didáctica de la Matemática señalan cuán importante es conocer y
entender el quehacer matemático del estudiante –quehacer con o sin utilización de recursos
tecnológicos– ya sea desde una postura cognitivista o epistemológica. En ese sentido, en
este reporte se utiliza como herramienta teórica el Espacio de Trabajo Matemático (ETM)
para analizar la producción matemática de estudiantes chilenos de nivel secundario (16–
17 años). Para este propósito se presenta una situación de aprendizaje con tareas
relacionadas con la tasa de variación en la que se utiliza GeoGebra. A partir del análisis
de las producciones de los estudiantes, se evidencia que esta teoría proporciona
herramientas para caracterizar la producción matemática de estudiantes. En particular, este
marco teórico permite describir y analizar el proceso de construcción progresivo del
significado de la tasa de variación (que lleva a la noción intuitiva de derivada) a partir de
la activación de las génesis semiótica, instrumental y discursiva, la coordinación de planos
verticales semiótico-instrumental, semiótico-discursivo e instrumental-discursivo, así
como los paradigmas del Análisis privilegiados por los estudiantes.
Information Abstract
Keywords:
Mathematical
workspace, rate of
variation, GeoGebra.
Research in Didactics of Mathematics shows how important it is to know and understand
the student's mathematical task -whether with or without the use of technological
resources- either from a cognitivist or epistemological point of view. In this sense, this
report uses the Mathematical WorkSpace (MWS) as a theoretical tool to analyze the
mathematical production of Chilean high school students (16-17 years old). For this
purpose, a learning situation is presented with tasks related to the rate of variation in which
GeoGebra is used. From the analysis of the students' productions, it is shown that this
theory provides tools to characterize the mathematical production of students. In
particular, this theoretical framework allows describing and analyzing the process of
progressive construction of the meaning of the rate of variation (leading to the intuitive
notion of derivative) from the activation of the semiotic, instrumental and discursive
genesis, the coordination of semiotic-instrumental, semiotic-discursive and instrumental-
discursive vertical planes, as well as the paradigms of Analysis privileged by the students.
INTRODUCCIÓN
Desde la Didáctica de la Matemática, particularmente en el aprendizaje del Cálculo, existe una
preocupación por conocer sobre el quehacer matemático del estudiante –quehacer realizado con o sin
recurso tecnológicos. En efecto, resulta necesario comprender aquellos procesos a través de los cuales
los estudiantes movilizan sus conocimientos y dotan de significado a diferentes conceptos del Cálculo
(Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008; Gil, 2014).
Quintaesencia (2021), vol. 12, pp. 01-07
DOI: https://doi.org/10.54943/rq.v12i1.21
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Ticse Aucahuasi, M. A.; Flores Salazar, J. V.
Hace más de dos décadas, se informa que la enseñanza de los principios del Cálculo era una problemática
(Artigue, 1995). En consecuencia, se han venido desarrollado una gran cantidad de investigaciones, las
cuales han reportado –entre otros objetivos–, la construcción de conceptos del Cálculo, así como, las
dificultades y obstáculos epistemológicos que estos hechos involucran; todo ello a partir del análisis a
la producción matemática del estudiante.
En ese sentido, las investigaciones producidas se basaron principalmente en aspectos desde distintos
marcos teóricos, ya sea bajo posturas cognitivistas o epistemológicas. Por ejemplo, se basaron en la
Teoría de Registros de Representaciones Semióticas (Silva, 2012; Viseu, 2017), el Enfoque instrumental
(García-Cuéllar, Martínez-Miraval y Salazar, 2018), las Situaciones Didácticas (Calla, 2017), los Modos
de Pensamiento (Muñoz, 2015), entre otros.
Cabe señalar que, si bien la afirmación sobre la importancia en el uso de algún referencial teórico como
herramienta de análisis resulta ser predecible, esta depende fundamentalmente de las necesidades
investigativas, por lo que la pertinencia de procurar y usar un referencial teórico que nos permita dar
cuenta sobre el quehacer o el trabajo matemático del estudiante no es una tarea elemental.
Así pues, teniendo en cuenta lo anterior, hace algunos años la teoría de Espacio de Trabajo Matemático
ha cobrado interés por la comunidad en la Didáctica de la Matemática (Menares, 2016; Henríquez-Rivas
y Montoya-Delgadillo, 2016; Gaona, 2018; Salazar y Carrillo, 2019; Vivas, 2021; entre otros). Esta
teoría se describe como una herramienta teórica que permite analizar y caracterizar el conocimiento y la
producción matemática del estudiante cuando se enfrentan a tareas o problemas matemáticos.
De esta manera, para ejemplificar la pertinencia de este marco teórico, en este reporte presentamos un
extracto de la tesis de maestría del primer autor (Ticse, 2021), que evidencia los análisis a la producción
matemática de estudiantes chilenos de educación secundaria cuando resuelven tareas sobre la tasa de
variación ayudados con el GeoGebra.
MATERIAL Y MÉTODOS
A continuación, presentamos algunos aspectos generales a utilizar del Espacio de Trabajo Matemático.
Espacio de trabajo matemático
La teoría de Espacio de Trabajo Matemáticos (ETM de aquí en adelante), se precisa con el objetivo de
comprender y organizar mejor lo que se pone en juego alrededor del trabajo matemático en un marco
escolar. Es importante indicar que, las tareas y la producción matemática que se desarrollar para
enfrentar tales tareas, posibilita la evolución del ETM.
De esta forma, la organización del ETM permite transitar entre dos niveles o planos. Por un lado, el
plano epistemológico (pensando en los objetos, su naturaleza y el modelo matemático en el que se
encuentran inmersos) donde se hacen presentes elementos como el representante, los artefactos y el
referencial teórico; y, por el otro lado, el plano cognitivo (pensando en el sujeto y la utilización que da
a los objetos), compuesto por la visualización, la construcción y la prueba. (Kuzniak, 2011; Kuzniak,
Tanguay, y Elia, 2016).
La articulación de dichos planos se da mediante un conjunto de génesis que no son independientes una
de otras. La génesis semiótica está basada en los registros de representación semiótica que confiere a
los objetos tangibles del ETM un estatus de objeto matemático operacional; la génesis instrumental,
permite operacionalizar los artefactos en el proceso de construcción; y, la génesis discursiva que da
sentido a las propiedades para dejarlo al servicio del razonamiento matemático.
La coordinación entre dos o más génesis compone los llamados planos verticales. Así se considera, el
plano semiótico-instrumental ([Sem-Ins]), que privilegia la identificación y exploración de los objetos,
desarrollando una competencia ligada al descubrimiento; el plano instrumental-discursivo ([Ins-Dis]),
que desarrolla un razonamiento matemático en el que se considera la cuestión de la prueba a partir de
experimentos; y por último, el plano semiótico-discursivo ([Sem-Dis]), el cual es orientado hacia la
comunicación matemática de los resultados, ya sea, si la atención se centra en el lado semiótico bajo la
descripción de signos y un razonamiento perceptivo, o si la atención se centra, en una prueba o
demostración, bajo un razonamiento deductivo (ver Figura 1.) (Kuzniak et al., 2016).
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Análisis de la producción matemática de estudiantes de nivel secundario: una mirada desde el espacio de trabajo matemático
Figura 1. Diagrama del Espacio de Trabajo Matemático/ Adaptado de Kuzniak y Richard (2014, p. 11)
Adicional a lo anterior, para caracterizar el trabajo matemático que privilegia el estudiante, se hace
alusión a los paradigmas de un dominio matemático especifico. Particularmente, en el dominio del
Análisis se distinguen los siguientes paradigmas: Análisis Geométrico-Aritmético (AG), que permite
interpretaciones nacidas de la geometría, del cálculo aritmético o del mundo real; Análisis Calculatorio
(AC), donde las reglas de cálculo son definidas, más o menos explícitamente, y se aplican
independientemente de la reflexión de la existencia y naturaleza de los objetos introducidos; y el Análisis
Real (AR) que es caracterizado por un trabajo de aproximación: supremos e ínfimos, cotas; una entrada
a trabajos de proximidad (o una entrada más topológica): “cerca de 𝜀”, “lo despreciable”. (Montoya-
Delgadillo y Vivier; 2016).
Asimismo, se describe los tipos de ETM llamados: el ETM de referencia, que se refiere al espacio de
trabajo definido de manera ideal en función de criterios matemáticos; el ETM idóneo, que se refiere al
espacio definido en términos didácticos; y el ETM personal, que se refiere al trabajo efectivo de quien
resuelve una tarea matemática.
Luego de describir algunos aspectos generales del ETM, en el siguiente apartado se muestra el proceso
de análisis a la producción matemática de unos estudiantes cuando resuelve una tarea, con el fin de
ejemplificar cómo este marco teórico permite dar cuenta sobre el trabajo matemático de dichos
estudiantes.
El análisis del trabajo matemático de estudiantes con base en el ETM
En esta parte nos basamos en la investigación de Ticse (2021), que estudia el trabajo matemático de
estudiantes chilenos de cuarto y último año de Educación Secundaria (16-17 años) al resolver tareas
relacionadas con la tasa de variación como velocidad (media e instantánea).
Recogiendo lo más importante, se diseñó una situación de aprendizaje y applets del GeoGebra, que
fueron proporcionados a tales estudiantes agrupados en dos binomios (B1 y B2), para su resolución y
uso, respectivamente.
Así, la situación de aprendizaje que tuvo el propósito de evidenciar las acciones de los estudiantes al
resolver dieciocho tareas para determinar la velocidad instantánea de un objeto, se traduce en articular
la construcción de la tasa de variación media e instantánea y el estudio de la pendiente de la recta secante
y recta tangente a una curva, respectivamente; la tasa de variación es considerada como la variación o
cambio de la velocidad en relación al tiempo. Vale la pena mencionar que, conceptos como pendiente,
velocidad y tasa de variación media son importantes en sí mismos, ya que constituyen la estructura del
Cálculo frente a las habilidades en el manejo de símbolos y expresiones algebraicas (Azcárate, 2000).
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Ticse Aucahuasi, M. A.; Flores Salazar, J. V.
En la Figura 2, se muestra el problema La carrera de sacos que está inscrito en la situación de
aprendizaje presentado a los estudiantes.
Figura 2. El problema presentado a los estudiantes / De Ticse (2021, p. 49)
A raíz que se pretende mostrar cómo el ETM es utilizado como una herramienta teórica para estudiar el
trabajo matemático de los estudiantes, al resolver tareas con la tasa de variación, en este reporte
seleccionamos y presentamos la última tarea, que incluyó el uso de herramientas del GeoGebra. A
continuación, mostramos los análisis.
RESULTADOS
Para mostrar los análisis a la producción matemática de los binomios B1 y B2, es importante realizar un
análisis didáctico de la situación de aprendizaje. Así pues, describimos el objetivo de la tarea
seleccionada y se realiza un análisis de las acciones esperadas (análisis-esperado). Luego, mostramos el
análisis de lo ocurrido durante la aplicación de la situación de aprendizaje (análisis-obtenido). Todo ello,
bajo las consideraciones del referencial teórico.
De esta manera, la tarea seleccionada, tiene como foco guiar a los estudiantes a establecer diferencias al
modo de cómo determinar la velocidad media e instantánea. Sin embargo, para alcanzar el propósito de
dicha tarea, es fundamental la ejecución de las tareas anteriores las cuales dependen principalmente de
procesos de visualización y construcción, junto a iteradas exploraciones e interpretaciones mediante la
manipulación de diferentes artefactos (tabla de valores, fórmula de la variación y velocidad, deslizador,
pendiente y vista gráfica del GeoGebra). A partir de ello, los estudiantes consiguieron realizar
tratamientos en el registro algebraico y el registro de lenguaje natural, para determinar la velocidad
media e instantánea con éxito.
Consecuencia de lo anterior, esperamos que los estudiantes puedan establecer y construir
organizadamente que, la velocidad media e instantánea corresponden a la pendiente de la recta secante
y tangente de una curva, respectivamente.
Figura 3. Tarea seleccionada / De Ticse (2021, p. 91)
Desde las componentes del ETM, decimos que la génesis semiótica es activada mediante el proceso de
visualización e interpretación a la gráfica de la curva en el GeoGebra y las pendientes de las rectas
(secante y tangente) obtenidas en las tareas anteriores. Así, a partir de la dinámica de la génesis
semiótica, se desarrolla un razonamiento perceptivo que permite identificar y construir organizadamente
la definición de la velocidad media e instantánea como una pendiente de recta secante y tangente,
respectivamente. De esta forma, la génesis discursiva es activada y con ello el plano vertical [Sem-Dis].
Asimismo, al realizar interpretaciones y validaciones justificadas en el significado de las velocidades
medias e instantáneas, se estaría privilegiando el paradigma del Análisis Real (AR).
Trabajo matemático del binomio B1
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Análisis de la producción matemática de estudiantes de nivel secundario: una mirada desde el espacio de trabajo matemático
De acuerdo con la producción matemática de B1, se evidencia el proceso de visualización e
interpretación a la pendiente de la recta secante y tangente como la representación de las velocidades
pedidas. B1 reconoce la diferencia entre la velocidad media e instantánea a partir de cómo fueron
obtenidas. (Figura 4). Con ello, la dinámica en la génesis semiótica permite a B1 estructurar y organizar
la definición de tales velocidades, con lo cual es activado el plano vertical [Sem-Dis].
Figura 4. Producción matemática de B1 / Ticse (2021, p. 93)
Por otro lado, el par utiliza la gráfica de la curva𝑑
(
𝑡
)
para realizar interpretaciones y validaciones con
el fin de justificar el significado de las velocidades medias e instantáneas. Con ello, el paradigma del
Análisis Real (AR) es privilegiado por el par.
Trabajo matemático del binomio B2
A comparación de B1, en la producción matemática de B2, se evidencia el proceso de visualización e
interpretación de las velocidades media e instantánea, representadas como la razón entre la variación de
distancia y tiempo. Observamos que B2 establece una diferencia entre la velocidad media e instantánea
a partir de sus respectivas definiciones como cocientes. Según el par, “la velocidad media es el valor
entre la variación de la distancia en un intervalo de tiempo (V = vd/vt), en cambio, la velocidad
instantánea es un punto específico, con un tiempo específico X/T ”, tal y como se ve en la Figura 5. Así,
la génesis semiótica es activada.
Figura 5. Producción matemática de B2 / Ticse (2021, p. 94)
Vale la pena decir que, si bien B2 no señala su repuesta en base a nuestro análisis de las acciones
esperadas (ya que representa a las velocidades pedidas como el cociente entre las magnitudes de
distancia-tiempo y no involucra un trabajo con pendientes) la dinámica en la génesis semiótica le permite
al par organizar la definición de tales velocidades, con lo cual es también activado el plano vertical
[Sem-Dis].
DISCUSIÓN
Los análisis realizados a las producciones matemáticas de los estudiantes, bajo la lupa del ETM,
confirman la pertinencia de este marco al ser una herramienta teórica para caracterizar dicha producción
cuando se resuelven tareas. En efecto, el diseño del ETM facilita una organización que considera
simultáneamente tanto aspectos epistemológicos de la matemática como aspectos cognitivos del trabajo
requerido por los estudiantes al resolver una tarea dada. De esta forma, este marco permitió describir y
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Ticse Aucahuasi, M. A.; Flores Salazar, J. V.
analizar el proceso de construcción progresivo del significado de la tasa de variación media e
instantánea, siento esta construcción el camino hacia la noción intuitiva de derivada.
Es importante mencionar que, la tesis considerada (Ticse, 2021), afirma que las acciones y producciones
matemáticas se ven caracterizados principalmente por la activación de las génesis semiótica,
instrumental y discursiva, y con ello los planos verticales [Sem-Ins] y [Ins-Dis], así como los paradigmas
privilegiados del Análisis AG y AC. Sin embargo, la tarea mostrada en este reporte, refleja la
coordinación de las génesis semiótica y discursiva en la activación del plano vertical [Sem-Dis] a partir
del proceso de visualización e interpretación, tanto a la pendiente de la recta secante y tangente, como
al cociente entre las magnitudes de distancia-tiempo. Con ello, se realizan argumentaciones y
validaciones para establecer y construir organizadamente la definición de velocidad media e instantánea.
Asimismo, si bien el paradigma del Análisis Real (AR) fue privilegiado por un binomio, este no fue
constante. Este hecho se explica ya que los estudiantes de Educación Secundaria suelen basar sus
justificaciones y validaciones a partir de interpretaciones basados en la Geometría y breves nociones de
variación. En este punto es importante destacar el rol de los artefactos (tabla de valores, fórmula de la
variación y velocidad, deslizador, pendiente y vista gráfica del GeoGebra).
Al concluir este reporte, reconocemos que la problemática dada en el aprendizaje del Cálculo por
conocer el quehacer matemático del estudiante no es reciente; no obstante, subrayamos la posición y
relevancia que el ETM ha ganado en la comunidad científica de la Didáctica de la Matemática. Con ello,
se muestra la posibilidad de considerar el ETM como una opción para enfrentar esta y otras
problemáticas suscitadas en distintos dominios de la matemática.
Agradecimientos
Agradecemos a la Red Iberoamericana de Investigación en Trabajo Matemático-RIITMA, especialmente
a la Red RIITMA-Perú; a la línea de investigación Tecnologías y Visualización en Educación
Matemática-TecVEM, de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas y al Instituto de Investigación
sobre la Enseñanza de las Matemáticas-IREM, de la Pontificia Universidad Católica del Perú, por el
apoyo brindado para desarrollar la presente investigación.
REFERENCIAS
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